2012届高考数学 好题精讲精练仅供非常优秀的班级参考素材

用心 爱心 专心1 20122012 届数学好题精讲精练届数学好题精讲精练 仅供非常优秀的班级参考仅供非常优秀的班级参考 1 1 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知定义在已知定义在 R R 上的函数上的函数 f x满足 满足 1 2f 0 1xf x 当时 对任意的对任意的 Ryx 都有 都有 f xyf xf y 求证 求证 0 1f 且对任意 且对任意0 x 时 时 0 1f x 求证 求证 f x在在 R R 上是单调递增函数 上是单调递增函数 求满足 求满足4 3 2 xxf的所有的所有x的值 的值 证 证 I 1 2f 且对任意的Ryx 都有 1 0 1 0 fff 即2 0 2f 0 1f 2 分 又当又当0 x 时 有0 x 且 0 xx 1fx 0 1f xfxf xxf 即 1 f x fx 0 1f x 5 分 任取 则 且1 0 12122121 xxfxxxxRxx 6 分 111212 xfxxxfxfxf 2111 f xxf xf x 211 1 0f xxf x 即 21 f xf x 9 分 所以 f x在 R 上是单调递增函数 10 分 1 2f 2 1 1 1 1 4ffff 2 3 4 2 fxxf 11 分 由 知 f x在 R 上是单调递增函数 2 32xx 解得 12x 13 分 满足4 3 2 xxf的所有x的取值为 1 2 14 分 2 2 本小题满分 本小题满分 1616 分 分 已知已知 23f xx xax 当 当4a 25x 时 问时 问x分别取何值时 函数分别取何值时 函数 f x取得最大值和最小值 并求出取得最大值和最小值 并求出 相应的最大值和最小值 相应的最大值和最小值 若 若 f x在在 R R 上恒为增函数 试求上恒为增函数 试求a的取值范围的取值范围 用心 爱心 专心2 已知常数 已知常数4a 数列 数列 n a满足满足 1 3 n n n f a anN a 试探求试探求 1 a的值 使得数的值 使得数 列列 n anN 成等差数列 成等差数列 解 解 当4a 时 4 23f xx xx 1 分 1 24x 时 2 4 23 3 6f xxxxx 当2x 时 min 5f x 当3x 时 max 6f x 2 分 2 当45x 时 2 4 23 1 4f xx xxx 当4x 时 min 5f x 当5x 时 max 12f x 4 分 综上所述 当2x 或 4 时 min 5f x 当5x 时 max 12f x 5 分 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 24 2 3 2 2 3 24 aa xxa xa xxa f x xa xxaaa xxa 7 分 f x在R上恒为增函数的充要条件是 2 2 2 2 a a a a 解得22a 10 分 1 3 4 2 n nn n f a aanN a 当4 n a时 1 6 nn aa 即 1 6 nn aa 1 当 n 1 时 6 21 aa 当 n 2 时 6 1 nn aa 2 1 2 得 n 2 时 11 0 nn aa 即 11nn aa 又 n a为等差数列 3 n a Nn 此时 1 3a 13 分 当4 n a 时 1 2 nn aa 即 1 2 nn aa 2d 若2d 时 则 1 2 nn aa 3 将 3 代入 1 得4 4 nn aa 4 n a 对一切 nN 都成立 另一方面 1 2 1 n aan 4 n a 当且仅当 1 1 2 a n 时成立 矛盾 2d 不符合题意 舍去 15 分 综合 知 要使数列 n anN 成等差数列 则 1 3a 16 分 3 设函数 10 32 3 1 223 Rbabxaaxxxf 求函数f x 的单调区间和极值 若对任意的 2 1 aax不等式 f x a 恒成立 求 a 的取值范围 解 22 34 aaxxxf 1 分 令 0 x f得 xf的单调递增区间为 a 3a 用心 爱心 专心3 令 0 x f得 xf的单调递减区间为 a 和 3a 4 分 当x a时 xf 极小值 4 3 3 ba 当x 3a时 xf 极小值 b 6 分 由 x f a 得 a x2 4ax 3a2 a 7 分 0 a2a 2 1 34 22 aaaaxxxf在上是减函数 9 分 4 4 2 1 2 1 minmax aafxfaafxf 于是 对任意 2 1 aax 不等式 恒成立 等价于 1 5 4 1 2 44 a aa aa 解得 又 10 a 1 5 4 a 12 分 4 如果 xf在某个区间 I 内满足 对任意的 2 2 1 21 2121 xx fxfxfIxx 都有 则称 xf在 I 上为下凸函数 已知函数 ln 1 xa x xf 证明 当0 a时 xf在 0 上为下凸函数 若 x f 为 xf的导函数 且 2 2 1 x时 1 x f求实数a的取值范围 解 任取 0 21 xx 则 2 1 21 xfxf ln 1 ln 1 2 1 2 2 1 1 xa x xa x ln 2 21 21 21 xxa xx xx 2 分 用心 爱心 专心4 2 ln 2 2 21 21 21 xx a xx xx f 3 分 4 2 21 2 2121 2 2 2 1 xxxxxxxx 又 2 2 0 0 2121 21 21 xxxx xx xx 4 分 又 0 2 21 21 axx xx 2 lnln 21 21 xx axxa 5 分 即 2 2 1 21 21 xx fxfxf 6 分 0 为xf上的下凸函数 x a x xf 2 1 8 分 1 1 1 2 x a x xf即 10 分 1 1 x xa x x 1 2 2 1 xfx时 恒成立 2 3 2 a 12 分 5 设Ra 函数eaax e xf x 1 2 2 为自然对数的底数 判断 xf的单调性 若 2 1 1 2 x e xf在上恒成立 求a的取值范围 解 由已知 2 2 1 1 2 1 2 axeaaxexf xx 12 2 1 2 aaxaxe x 2 分 令 1 2 2 aaxaxxg 当 0 01 0 xfxfxga 时在 R 上为减函数 用心 爱心 专心5 当 04 440 0 22 aaaaxga的判别地 0 0 xfxfxg 即在 R 上为减函数 4 分 当0 a时 由 012 2 aaxax 得 1 1 1 1 a x a x 或 由 012 2 aaxax 得 1 1 1 1 a x a a aa a aa xf在上为增函数 a aa a aa xf 在上为减函数 6 分 当 2 1 0在时xfa 上为减函数 5 11 2 15 2 15 2 222 min a ee a e a fxf得由 10 分 当 22 2 1 2 15 2 0 ee a fa 时 2 1 e xf 在 1 2 上不恒成立 a的取值范围是 5 1 12 分 6 设 21 x x是函数 0 23 223 axax b x a xf的两个极值点 且2 21 xx 求 a 的取值范围 求证 9 34 b 解证 I 易得 22 abxaxxf 1 分 21 xfxx是 的两个极值点 0 21 xfxx是的两个实根 又 a 0 用心 爱心 专心6 a b xxaxx 2121 0 3 分 a a b xxxx4 2 2 2121 2 21 xx 1 44444 2322 2 2 aaaaba a b 即 100 2 ab 7 分 设 44 322 aaagb 则 32 4128 2 aaaaag 由1 3 2 0 3 2 0 0 aagaag得由得 1 3 2 3 2 0 在单调递增 在 在ag 上单调递增 10 分 27 16 3 2 max gag 9 34 b 12 分 7 已知函数xxfln 若 Ra x axf xF 求 xF的极大值 若kxxfxG 2 在定义域内单调递减 求满足此条件的实数k的取值范围 解 x ax x axf xF ln 定义域为 0 x 2 ln 1 x xa xF 2 分 令 a exxF 1 0 得 由 a exxF 1 00 得 由 a exxF 1 0 得 4 分 即 0 1 a exF 在上单调递增 在 1 a e上单调递减 a ex 1 时 F x 取得极大值 11 1 a a a e e aa eF 6 分 用心 爱心 专心7 kxxxG 2 ln 的定义域为 0 k x x xG ln2 由G x 在定义域内单调递减知 0 ln2 k x x xG在 0 内恒成立 8 分 令kx x xH ln 2 则 2 ln1 2 x x xH 由exxH 得0 当 0 ex 时 0 xHxH 为增函数 当 ex时0 x H xH为减函数 10 分 当x e时 H x 取最大值k e eH 2 故只需0 2 k e 恒成立 e k 2 又当 e k 2 时 只有一点x e使得0 xHxG不影响其单调性 2 e k 12 分 8 8 已知A B C是直线l上的三点 向量 满足 y 2f 1 ln x 1 0 OA OB OC OA OB OC 1 求函数y f x 的表达式 2 若x 0 证明 f x 2x x 2 3 若不等式x2 f x2 m2 2bm 3 时 x 1 1 及b 1 1 都恒成立 1 2 求实数m的取值范围 解 1 y 2f 1 ln x 1 0 y 2f 1 ln x 1 OA OB OC OA OB OC 由于A B C三点共线 即 y 2f 1 ln x 1 1 2 分 y f x ln x 1 1 2f 1 f x 得f 1 故f x ln x 1 4 分 1 x 1 1 2 2 令g x f x 由g x 2x x 2 1 x 1 2 x 2 2x x 2 2 x2 x 1 x 2 2 x 0 g x 0 g x 在 0 上是增函数 6 分 故g x g 0 0 即f x 8 分 2x x 2 3 原不等式等价于x2 f x2 m2 2bm 3 1 2 令h x x2 f x2 x2 ln 1 x2 由h x x 10 分 1 2 1 2 2x 1 x2 x3 x 1 x2 当x 1 1 时 h x max 0 m2 2bm 3 0 用心 爱心 专心8 令Q b m2 2bm 3 则 Q 1 m2 2m 3 0 Q 1 m2 2m 3 0 得m 3 或m 3 12 分 9 本小题满分 12 分 已知函数 3 2f xxax 与 2 g xbxcx 的图象都过点 P 2 0 且在点 P 处有公共切 线 1 求 f x 和 g x 的表达式及在点 P 处的公切线方程 2 设 ln 1 8 mg x F xx x 其中0m 求 F x 的单调区间 解 1 3 2f xxax 过点 2 0 P a 8 3 28f xxx 2 分 2 68fxxx 切线的斜率 2 16k f 3 分 2 g xbxcx 的图像过点 2 0 P 4b 2c 0 2 2 2 416g xbxc fgbc 解得 b 8 c 16 4 分 2 816g xxx 5 分 切线方程为16y x 2 即 16x y 32 0 6 分 2 2 ln 1 1 F xm xxx 11 1 11 mxm F xmx xx 8 分 当 m 0 时 1 1 1 m x m F x x m1 当 1 1 1 x m 时 0F x 当 1 1 x m 时 0F x F x 的单调减区间是 1 1 m F x 的单调增区间是 1 1 1 m 11 分 即 m5 ln2 x 0 时 f x 在 0 3 上最小值 f x 5 ln2 II 令bx x xf 2 2 1 0 得 b 2x 2 1 x 在 0 m 上恒成立而 y 2x 2 1 x 在 0 m 上单调递增 最大值为 2m 2 1 m b 2m 2 1 m 令bx x xf 2 2 1 0 得 b 2x 2 1 x 用心 爱心 专心10 而 y 2x 2 1 x 在 0 m 单增 最小为 y 2 1 b 2 1 故 b 2m 2 1 m 或 b 2 1 时 f x 在 0 m 上单调 12 本小题满分 12 分 已知函数 f x ax x a 1 1 求函数 f x 的最小值 并求最小值小于 0 时 a 的取值范围 2 令 S n Cn1f 1 Cn2f 2 Cnn 1f n 1 证明 S n 2n 2 f n 2 解 1 由 f x axlna 1 f x 0 即 axlna 1 ax 又 a 1 x logalna 1 lna 同理 f x 0 有 x logalna 所以 f x 在 logalna 上递减 在 logalna 上递增 所以 f x max f logalna 若 f x max 0 即 0 则 1 ln lna lna 1 ln lna lna ln lna 1 lna a 的取值范围是 1 a 1 a e 1 a 2 S n Cn1 alna 1 Cn2 a2lna 1 Cnn 1 an 1lna 1 Cn1a Cn2a2 Cnn 1an 1 lna Cn1 Cn2 Cnn 1 Cn1 a an 1 Cn2 a2 an 2 Cnn 1 an 1 a lna 2n 2 1 2 2 2 2 ln 22 n nn aa 2 22 ln1 22 2 n nn n aaf 不等式成立 13 已知函数xxxf 1ln 1 求函数 xf的单调递减区间 2 若1 x 求证 1 1 1 x 1ln x x 1 解 函数f x 的定义域为 1 1 1 1 1 x x x xf2 分 由0 x f 得 1 0 1 x x x x 0 f x 的单调递减区间为 0 4 分 用心 爱心 专心11 2 证明 由 1 得x 1 0 时 0 x f 当x 0 时 0 x f 且 0 0 f x 1 时 f x f 0 xx 1ln 0 1ln x x8 分 令1 1 1 1ln x xxg 则 22 1 1 1 1 1 x x x x xg10 分 1 x 0 时 0 x g x 0 时 0 x g 且0 0 g x 1 时 g x g 0 即1 1 1 1ln x x 012 分 1ln x 1 1 1 x x 1 时 1 1 1 x 1ln x x 13 分 14 本小题满分 12 分 已知 2 0 ln xaxxxf 1 求 f x 的值域 2 若f x a2 3 对于任意x 2 0 恒成立 求实数a的取值范围 解 1 f x x 1 1 令 f x 0 得 x 1 fmax x a 1 3 分 值域是 a 1 6 分 2 f x a2 3 恒成立 fmax x 0 a 2 或 a 1 时 m 1 由0 x h得x 1 时 在 1 2 2 上单增 在 m 1 单减 14 分 1818 山东省泰安市 本小题满分 山东省泰安市 本小题满分 1212 分 分 已知函数 2 0 23 xfaRxdcxbxaxxf是 的一个零点 又 xf在x 0 处 有极值 在区间 6 4 和 2 0 上是单调的 且在这两个区间上的单调性相反 I 求c的值 II 求 a b 的取值范围 III 当 2 3 23 3 xxfyyab求使时成立的实数a的取值范围 解 I cbxaxxfdcxbxaxxf 23 223 又f x 在x 0 处有极值 0 0 cxf即 2 分 II 由 I 知 0 23 2 xfbxaxxf令 a b xx 3 2 0 或 3 分 又 f x 在区间 6 4 和 2 0 上单调且单调性相反 用心 爱心 专心15 632 3 2 4 a b a b 故 6 分 III daxaxxfab 23 3 2 3是且 的一个零点 addaaf40128 2 7 分 从而aaxaxxf43 23 2 0 0 63 2 xxxfaxaxxf或令 8 分 列表讨论如下 3 2 2 0 0 2 x 3 a 0a 0a 0 0 a 0a 0 时 若 3 x 2 则 4 a f x 16 a 当a 0 时 若 3 x 2 则 16 a f x 4 a 从而 24 316 0 34 216 0 a a a a a a 或 即0 16 3 8 1 0 aa或 11 分 存在实数 8 1 0 0 16 3 a 满足题目要求 12 分 19 本题满分 14 分 已知函数f x 2 1 ln 2 2 ax xaR x x 当 1 2 4 a 时 求 f x的最大值 设 2 ln g xf xxx k是 g x图象上不同两点的连线的斜率 否存在实数a 使得 1k 恒成立 若存在 求a的取值范围 若不存在 请说明理由 解 当 2 a 4 1 时 由 fx 0 得x1 2 114114 22 aa x 3 分 显然 1 x1 2 1 2 1 x2 2 12 11 2 2 22 xx 用心 爱心 专心16 又 fx 12 2 xxxx x 当 2 1 x x2时 fx 0 f x单调递增 当x2 x 2 时 fx 0 f x单调递减 5 分 f x max f x2 2114114 ln 22114 aaa a 114 14ln 2 a a 7 分 答 存在 13 a 符合条件 8 分 解 因为 2 ln g xf xxx 3 axx 不妨设任意不同两点 111222 p x ypxy 其中 12 xx 则 33 22 121221 1122 1212 yya xxxx kaxx xx xxxx 11 分 由 1k 知 a 1 22 1122 xx xx x 3 4 3 32 f x x 证 1 设 12 0 xx 12 12 10 f xf x k xx 12 f xf x f x 为增函 数 3 分 2 若存在 0 0 x 使 00 f xx 则 当 0 f x 0 x 0 时 则 f 0 f x 0 f x 即 2 0 x 0 x 0 x 0 与 0 x 0 矛 盾 5 分 当 0 f x 0 x时 由 1 知 f x 为增函数 f 0 f x 0 f x即 2 0 x