江苏省南京市四区县2012-2013学年高三数学上学期联考试卷苏教版

1 2012 20132012 2013 学年江苏省南京市四区县高三 上 联考数学试卷学年江苏省南京市四区县高三 上 联考数学试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 请把答案填写在答题纸相应位置分 请把答案填写在答题纸相应位置 上 上 1 5 分 2013 镇江一模 已知集合 M 1 2 3 4 5 N 2 4 6 8 10 则 M N 2 4 考点 交集及其运算 分析 两个集合都是用列举法表示的 根据交集的定义 M N 的元素是集合 M N 的相同元 素 解答 解 集合 M 1 2 3 4 5 N 2 4 6 8 10 根据交集的定义得 M N 2 4 故答案是 2 4 点评 本题主要考查交集的定义 2 5 分 若 1 2i i a bi a b R i 为虚数单位 则 ab 2 考点 复数相等的充要条件 专题 计算题 分析 把等式左边展开后运用复数相等的概念得到 a b 的值 解答 解 由 1 2i i a bi 得 2 i a bi 所以 a 2 b 1 所以 ab 2 故答案为 2 点评 本题考查了复数相等的充要条件 两个复数相等 当且仅当它们的实部等于实部 虚部等于虚部 是基础题 3 5 分 函数 f x 的定义域为 1 考点 对数函数的定义域 专题 函数的性质及应用 分析 根据函数的结构列出限制条件 求解不等式组得到定义域 解答 解 由题意知 解得 x 1 2 所以函数的定义域为 1 故答案为 1 点评 本题考察函数定义域的求解 属基础题 其中有对数不等式的求解 注意应先将实 数化为同底的对数 再利用对数函数的单调性求解 4 5 分 2009 安徽 程序框图 即算法流程图 如图所示 其输出结果是 127 考点 设计程序框图解决实际问题 分析 分析程序中各变量 各语句的作用 再根据流程图所示的顺序 可知 该程序的作 用是利用循环计算 a 值 并输出满足条件 a 100 的第一个 a 值 模拟程序的运行过 程 用表格将程序运行过程中变量 a 的值的变化情况进行分析 不难给出答案 解答 解 程序在运行过程中各变量的值如下表示 a 是否继续循环 循环前 1 第一圈 3 是 第二圈 7 是 第三圈 15 是 第四圈 31 是 第五圈 63 是 第六圈 127 否 故最后输出的 a 值为 127 故答案为 127 点评 根据流程图 或伪代码 写程序的运行结果 是算法这一模块最重要的题型 其处 理方法是 分析流程图 或伪代码 从流程图 或伪代码 中即要分析出计算 的类型 又要分析出参与计算的数据 如果参与运算的数据比较多 也可使用表格 对数据进行分析管理 建立数学模型 根据第一步分析的结果 选择恰当的数 学模型 解模 3 5 5 分 2008 江苏 若将一颗质地均匀的骰子 一种各面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方体玩具 先后抛掷两次 则出现向上的点数之和为 4 的概 率是 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 计算题 分析 分别求出基本事件数 点数和为 4 的种数 再根据概率公式解答即可 解答 解析 基本事件共 6 6 个 点数和为 4 的有 1 3 2 2 3 1 共 3 个 故 故填 点评 本小题考查古典概型及其概率计算公式 考查概率的求法 如果一个事件有 n 种可 能 而且这些事件的可能性相同 其中事件 A 出现 m 种结果 那么事件 A 的概率 P A 6 5 分 2013 大连一模 在 ABC 中 sinA sinB sinC 2 3 4 则 cosC 的值为 考点 正弦定理 余弦定理 专题 计算题 分析 由正弦定理可得 可设其三边分别为 2k 3k 4k 再由余弦定理求得 cosC 的值 解答 解 在 ABC 中 sinA sinB sinC 2 3 4 由正弦定理可得 可设其三边分别为 2k 3k 4k 由余弦定理可得 16k2 4k2 9k2 12k2cosC 解方程可得 cosC 故答案为 点评 本题考查正弦定理 余弦定理的应用 设出其三边分别为 2k 3k 4k 是解题的关 键 7 5 分 2013 镇江一模 在等比数列 an 中 Sn为其前 n 项和 已知 a5 2S4 3 a6 2S5 3 则此数列的公比 q 为 3 4 考点 等比数列的前 n 项和 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 分 q 1 及 q 1 两种情况 结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知 解方程可求 q 解答 解 a5 2S4 3 a6 2S5 3 若 q 1 则 不符合题意 若 q 1 两式相减整理可得 q 3 故答案为 3 点评 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用 解题的关键 是根据已知方 程进行求解公比 q 的技巧 8 5 分 已知向量 5 3 9 6 cos 是第二象限角 2 则 tan 考点 平面向量数量积的运算 同角三角函数间的基本关系 专题 计算题 分析 由题意可得向量的坐标 进而由向量平行的条件可得 cos 结合 a 是 第二象限角可得 sin 由三角函数关系可得答案 解答 解 由题意可得 2 5 3 9 6 cos 1 cos 2 5cos 3 1 0 解得 cos 又因为 是第二象限角 sin 故 tan 5 故答案为 点评 本题为三角函数与向量的综合应用 涉及向量平行的充要条件 属基础题 9 5 分 设 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列命题 若 m 则 m 若 m m 则 若 则 若 m n m n 则 上面命题中 真命题的序号是 写出所有真命题的序号 考点 平面与平面之间的位置关系 专题 证明题 分析 根据空间中线面的位置关系可得 m 或者 m 或者 m 根据面面垂直的判定定理可知 根据空间中平面与平面的位置关系可得 或者 与 相交或者 根据三棱柱的三个侧面可得 与 相交 根据四棱柱的四个侧面可得 解答 解 若 m 则根据空间中线面的位置关系可得 m 或者 m 或 者 m 所以 错误 若 m m 则根据面面垂直的判定定理可知 所以 正确 若 则根据空间中平面与平面的位置关系可得 或者 与 相交或者 所以 错误 若 m n m n 则可以根据三棱柱的三个侧面可得 与 相交 根据四棱柱的四个侧面可得 所以 错误 故答案为 点评 解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与空间中点 线 面得位置关系 考查 学生分析问题解决问题的能力与空间想象能力 逻辑推理能力 此题属于基础题 10 5 分 函数 y cos2x sin2x 2sinx cosx x的最大值为 考点 二次函数在闭区间上的最值 专题 函数的性质及应用 分析 利用两角和的正弦公式二倍角公式化简函数的解析式为 sin 2x 由 x 可得 2x 的范围 从而得到 sin 2x 的范围 由此求得 函数的最大值 解答 解 函数 y cos2x sin2x 2sinx cosx cos2x sin2x sin 2x x 6 2x sin 2x 1 故函数的最大值为 故答案为 点评 本题主要考查两角和的正弦公式 正弦函数的定义域和值域 属于中档题 11 5 分 设椭圆 C 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 上顶点为 A 过 点 A 与 AF2垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q 且 2 则椭圆 C 的离心率为 考点 椭圆的简单性质 平行向量与共线向量 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 依题意可求得直线 AQ 的方程 从而求得 Q 点的坐标 利用向量的坐标运算由 2 可求得 a c 之间的关系式 从而可求得椭圆 C 的离心率 解答 解 A 0 b F1 c 0 F2 c 0 直线 AF2的斜率为 k AQ AF2 kAQ 直线 AQ 的方程为 y b x 0 x 令 y 0 得 x Q 点的坐标为 0 2 2 2c 0 c 0 0 0 3c 3c2 b2 a2 c2 7 e 故答案为 点评 本题考查椭圆的简单性质 考查向量的坐标运算 求得 Q 点的坐标是关键 属于中 档题 12 5 分 过圆 x2 y2 1 上一点 P 作圆的切线与 x 轴和 y 轴分别交于 A B 两点 O 是坐标 原点 则 2 的最小值是 3 考点 基本不等式 平面向量数量积的运算 直线与圆的位置关系 专题 计算题 平面向量及应用 分析 设 OBP 由 O OAP 知 2 然后利用向量的模以及基本不等式求出表达式的最小值即可 解答 解 设 OAP O OBP 2 3 当且仅当 tan2时 表达式取得最小值 故答案为 3 点评 本题考查直线和圆的方程的应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 注意 合理地运用均值不等式进行解题 13 5 分 2012 江苏二模 已知 ABC 的三边长 a b c 成等差数列 且 a2 b2 c2 84 则实数 b 的取值范围是 8 考点 等差数列的性质 专题 等差数列与等比数列 分析 设 a b d c b d 代入已知等式化简可得 3b2 2d2 84 由此求得 b 的最大值为 2 再由 a b c 可得 b 2d 结合已知的等式得 3b2 2 84 解得 b 2 再把这两个 b 的范围取交集求得数 b 的取值范围 解答 解 设公差为 d 则有 a b d c b d 代入 a2 b2 c2 84 化简可得 3b2 2d2 84 故当 d 0 时 b 有最大值为 2 由于三角形任意两边之和大于第三边 故较小的两边之和大于最大边 即 a b c 可得 b 2d 3b2 2 84 解得 b 2 故实数 b 的取值范围是 故答案为 点评 本题主要考查等差数列的定义和性质的应用 解不等式 属于中档题 14 5 分 设函数 f x 的定义域为 D 若存在非零实数 l 使得对于任意 x M M D 有 x t D 且 f x t f x 则称 f x 为 M 上的 t 高调函数 如果定义域为 R 的函 数 f x 是奇函数 当 x 0 时 f x x a2 a2 且 f x 为 R 上的 4 高调函数 那么实数 a 的取值范围是 1 a 1 考点 函数单调性的性质 专题 压轴题 数形结合 分析 根据分段函数的意义 对 f x 的解析式分段讨论 可得其分段的解析式 结合其 奇偶性 可得其函数的图象 进而根据题意中高调函数的定义 可得若 f x 为 R 上的 4 高调函数 则对任意 x 有 f x 4 f x 结合图象分析可得 4 4a2 解 可得答案 解答 解 根据题意 当 x 0 时 f x x a2 a2 则当 x a2时 f x x 2a2 0 x a2时 f x x 由奇函数对称性 有则当 x a2时 f x x 2a2 a2 x 0 时 f x x 图象如图 易得其图象与 x 轴交点为 M 2a2 0 N 2a2 0 因此 f x 在 a2 a2 是减函数 其余区间是增函数 f x 为 R 上的 4 高调函数 则对任意 x 有 f x 4 f x 故当 2a2 x 0 时 f x 0 为保证 f x 4 f x 必有 f x 4 0 即 x 4 2a2 有 2a2 x 0 且 x 4 2a2可得 4 4a2 9 解可得 1 a 1 故答案为 1 a 1 点评 考查学生的阅读能力 很应用知识分析解决问题的能力 考查数形结合的能力 用 图解决问题的能力 属中档题 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 14 分 2010 徐州模拟 在三角形 ABC 中 已知 设 CAB 1 求角 的值 2 若 其中 求 cos 的值 考点 平面向量数量积的运算 同角三角函数基本关系的运用 两角和与差的余弦函数 专题 计算题 分析 1 根据向量之间的关系 把向量的数量积用公式表示出来 两边比较 得到角的 余弦值 根据角的范围 确定角的值 2 根据角 和角 的函数值和角的范围 把要求的角变化为两个已知角的 关系 解题过程中需要的角的三角函数值 结合角的范围求出 本题的关键是角的 变换 解答 解 1 0 为三角形 ABC 的内角 2 由 1 知 且 10 故 cos cos cos cos sin sin 点评 本题表面上是对向量数量积的考查 根据两个向量的夹角和模 用数量积列出式子 但是这步工作做完以后 题目的重心转移到角的变换问题 注意解题过程中角的范 围 16 14 分 2012 枣庄一模 如图 已知 AB 平面 ACD DE AB ACD 是正三角形 AD DE 2AB 且 F 是 CD 的中点 求证 AF 平面 BCE 求证 平面 BCE 平面 CDE 考点 平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 专题 证明题 分析 取 CE 中点 P 连接 FP BP 欲证 AF 平面 BCE 根据直线与平面平行的判定 定理可知只需证 AF 与平面平面 BCE 内一直线平行 而 AF BP AF 平面 BCE BP 平面 BCE 满足定理条件 欲证平面 BCE 平面 CDE 根据面面垂直的判定定理可知在平面 BCE 内一直线 与平面 CDE 垂直 而根据题意可得 BP 平面 CDE BP 平面 BCE 满足定理条件 解答 证明 取 CE 中点 P 连接 FP BP F 为 CD 的中点 FP DE 且 FP 又 AB DE 且 AB AB FP 且 AB FP ABPF 为平行四边形 AF BP 4 分 又 AF 平面 BCE BP 平面 BCE AF 平面 BCE 6 分 ACD 为正三角形 AF CD AB 平面 ACD DE AB DE 平面 ACD 又 AF 平面 ACD DE AF 又 AF CD CD DE D AF 平面 CDE 10 分 又 BP AF BP 平面 CDE 又 BP 平面 BCE 11 平面 BCE 平面 CDE 12 分 点评 本小题主要考查空间中的线面关系 考查线面平行 面面垂直的判定 考查运算能 力和推理论证能力 考查转化思想 属于基础题 17 14 分 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面 如图所示 上进行开发建设 阴影部 分为一公共设施建设不能开发 且要求用栏栅隔开 栏栅要求在一直线上 公共设施边界 为曲线 f x 1 ax2 a 0 的一部分 栏栅与矩形区域的边界交于点 M N 交曲线于 点 P 设 P t f t 1 将 OMN O 为坐标原点 的面积 S 表示成 t 的函数 S t 2 若在 t 处 S t 取得最小值 求此时 a 的值及 S t 的最小值 考点 定积分 函数的值域 专题 计算题 分析 1 求 f x 的导函数 设出 P 的坐标 确定过点 P 的切线方程 进而可得 M N 的坐标 表示出三角形的面积 2 把 t 代入 S t 利用导数研究 S t 的最值问题 即可确定 OMN O 为坐 标原点 的面积的最小值 解答 解 1 曲线 f x 1 ax2 a 0 可得 f x 2ax P t f t 直线 MN 的斜率为 k f t 2at 可得 LMN y f t k x t 2at x t 令 y 0 可得 xM t 可得 M t 0 12 令 x 0 可得 yM 1 at2 可得 N 0 1 at2 S t S OMN 1 at2 2 t 时 S t 取得最小值 S t S 0 可得 12a2 4a 0 可得 a 此时可得 S t 的最小值为 S 点评 本题考查导数知识的运用 解题的关键是确定切线方程 求出三角形的面积 利用 导数法求最值 属于中档题 18 16 分 如图 已知 A B 是圆 x2 y2 4 与 x 轴的交点 P 为直线 l x 4 上的动点 PA PB 与圆 x2 y2 4 的另一个交点分别为 M N 1 若 P 点坐标为 4 6 求直线 MN 的方程 2 求证 直线 MN 过定点 考点 恒过定点的直线 专题 直线与圆 分析 1 直线 PA 方程为 y x 2 由 解得 M 0 2 直线 PB 的方程 13 y 3x 6 由 解得 N 用两点式求得 MN 的方程 2 设 P 4 t 则直线 PA 的方程为 y x 2 直线 PB 的方程为 y x 2 解方程组求得 M N 的坐标 从而得到 MN 的方程为 y x 显然 过定点 1 0 解答 解 1 直线 PA 方程为 y x 2 由 解得 M 0 2 2 分 直线 PB 的方程 y 3x 6 由 解得 N 4 分 用两点式求得 MN 的方程 并化简可得 y 2x 2 6 分 2 设 P 4 t 则直线 PA 的方程为 y x 2 直线 PB 的方程为 y x 2 由 得 M 同理 N 10 分 直线 MN 的斜率 k 12 分 直线 MN 的方程为 y x 化简得 y x 14 分 所以直线 MN 过定点 1 0 16 分 点评 本题主要考查直线过定点问题 求直线的方程 求两条直线的交点坐标 属于中档 题 19 16 分 2012 河北模拟 已知函数 f x ax x2 xlna a 0 a 1 当 a 1 时 求证 函数 f x 在 0 上单调递增 若函数 y f x t 1 有三个零点 求 t 的值 若存在 x1 x2 1 1 使得 f x1 f x2 e 1 试求 a 的取值范围 14 考点 函数零点的判定定理 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 专题 计算题 压轴题 分析 证明 a 1 时函数的导数大于 0 先判断函数 f x 的极小值 再由 y f x t 1 有三个零点 所以方程 f x t 1 有三个根 根据 t 1 应是 f x 的极小值 解出 t f x 的最大值减去 f x 的最小值大于或等于 e 1 由单调性知 f x 的最大值是 f 1 或 f 1 最小值 f 0 1 由 f 1 f 1 的单调性 判断 f 1 与 f 1 的大小关系 再由 f x 的最大值减去最小值 f 0 大于或等于 e 1 求出 a 的取值范围 解答 解 f x axlna 2x lna 2x ax 1 lna 3 分 由于 a 1 故当 x 0 时 lna 0 ax 1 0 所以 f x 0 故函数 f x 在 0 上单调递增 5 分 当 a 0 a 1 时 因为 f 0 0 且 f x 在 R 上单调递增 故 f x 0 有唯一解 x 0 7 分 所以 x f x f x 的变化情况如下表所示 又函数 y f x t 1 有三个零点 所以方程 f x t 1 有三个根 而 t 1 t 1 所以 t 1 f x min f 0 1 解得 t 2 11 分 因为存在 x1 x2 1 1 使得 f x1 f x2 e 1 所以当 x 1 1 时 f x max f x min f x max f x min e 1 12 分 由 知 f x 在 1 0 上递减 在 0 1 上递增 所以当 x 1 1 时 f x min f 0 1 f x max max f 1 f 1 而 记 因为 当 t 1 时取等号 所以在 t 0 上单调递增 而 g 1 0 所以当 t 1 时 g t 0 当 0 t 1 时 g t 0 也就是当 a 1 时 f 1 f 1 当 0 a 1 时 f 1 f 1 14 分 当 a 1 时 由 f 1 f 0 e 1 a lna e 1 a e 当 0 a 1 时 由 15 综上知 所求 a 的取值范围为 16 分 点评 本题考查函数的零点 用导数判断函数单调性 利用导数研究函数极值 20 16 分 设等差数列 an 的公差 d 0 数列 bn 为等比数列 若 a1 b1 a a3 b3 a7 b5 1 求数列 bn 的公比 q 2 若 an bm n m N 求 n 与 m 之间的关系 3 将数列 an bn 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 cn 是否存 在正整数 p q r p q r 使得 p q r 和 cp p cq q cr r 均成等差数列 说明理 由 考点 等差数列与等比数列的综合 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 等差数 列的性质 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 1 依题意 通过解方程组即可求得数列 bn 的公比 q 2 由 an bn可求得 d 代入整理有 n 1 1 m 1 可分析 1 m 1 0 从而可得 n 与 m 之间的关系 3 设 an bn 令 m 2k 1 k N 可求得 bm a 2k 1 令 cn 2n 1a 若存在正整 数 p q r p q r 满足题意 由基本不等式可得出矛盾 从而可得结论 解答 解 1 设 bn 的公比为 q 由题意即 2 分 q 1 不合题意 故 解得 q2 2 q 4 分 2 由 an bn得 a n 1 d aqn 1 又 2d aq2 a a d 6 分 16 1 即 n 1 1 m 1 8 分 n 1 N 1 m 1 0 m 为奇数 且 n 1 10 分 3 若 an 与 bn 有公共项 不妨设 an bn 由 2 知 m 为奇数 且 n 1 令 m 2k 1 k N 则 bm a a 2k 1 cn 2n 1a 12 分 若存在正整数 p q r p q r 满足题意 则 2q 2p 1 2r 1 又 2p 1 2r 1 2 当且仅当 p r 时取 又 p r 2p 1 2r 1 14 分 又 y 2x在 R 上增 q 与题设 q 矛盾 不存在 p q r 满足题 意 16 分 点评 本题考查等差数列的通项公式与等比数列的通项公式的综合应用 考查方程思想与 化归思想的综合运用 突出抽象思维与逻辑推理能力的考查 属于难题 三 选做题三 选做题 21 40 分 在 A B C D 四小题中只能选做 2 题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答题 纸指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 从 O 外一点 P 作圆 O 的两条切线 切点分别为 A B AB 与 OP 交于点 M 设 CD 为过点 M 且不过圆心 O 的一条弦 求证 O C P D 四点共圆 B 选修 4 2 矩阵与变换 已知二阶矩阵 M 有特征值 3 及对应的一个特征向量 e1 并且矩阵 M 对应的变换将 点 1 2 变换成 9 15 求矩阵 M 17 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线 C 的极坐标方程为 p 2sin 以极点为原点 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 直线 l 的参数方程为 t 为参数 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长 D 选修 4 5 不等式选讲 已知实数 x y z 满足 x y z 2 求 2x2 3y2 z2的最小值 考点 与圆有关的比例线段 简单的等周问题 简单曲线的极坐标方程 参数方程化成普 通方程 专题 计算题 不等式的解法及应用 直线与圆 圆锥曲线中的最值与范围问题 分析 A 因为 PA PB 为圆 O 的两条切线 所以 OP 垂直平分弦 AB 在 Rt OAP 中 OM MP AM2 圆 O 中 AM BM CM DM 由此能够证明 O C P D 四点共圆 B 设 M 则 3 由此能求出 M C 将 2sin 分别化为普通方程 x2 y2 2x 2y 0 3x 4y 1 0 由此能求出弦长 D 由柯西不等式知 x y z 2 2 2 z2 2 2 12 故 由此能求出 2x2 3y2 z2的最小值 解答 A 选修 4 1 几何证明选讲 证明 因为 PA PB 为圆 O 的两条切线 所以 OP 垂直平分弦 AB 在 Rt OAP 中 OM MP AM2 4 分 在圆 O 中 AM BM CM DM 所以 OM MP CM DM 8 分 又弦 CD 不过圆心 O 所以 O C P D 四点共圆 10 分 B 选修 4 2 矩阵与变换 设 M 则 3 18 故 4 分 故 7 分 联立以上两方程组解得 a 1 b 4 c 3 d 6 故 M 10 分 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 将方程 2sin 分别化为普通方程 x2 y2 2x 2y 0 3x 4y 1 0 6 分 由曲线 C 的圆心为 C 1 1 半径为 所以圆心 C 到直线 l 的距离为 故所求弦长为 10 分 D 选修 4 5 不等式选讲 解 由柯西不等式可知 x y z 2 2 2 z2 2 2 12 5 分 故 当且仅当 即 x y z 时 2x2 3y2 z2取得最小值为 10 分 点评 A 考查与圆有关的比例线段的应用 B 考查矩阵与变换的应用 C 考查极坐标与参数 方程的应用 D 考查柯西不等式的应用 解题时要认真审题 仔细解答 注意等价转 化思想的灵活运用 19 四 必做题 第四 必做题 第 2222 题 第题 第 2323 题 每小题题 每小题 1010 分 共计分 共计 2020 分 请在答题纸指定区域内作答 分 请在答题纸指定区域内作答 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 10 分 2011 苏州二模 袋中装着标有数字 1 2 3 4 的卡片各 1 张 甲从袋中任 取 2 张卡片 每张卡片被取出的可能性都相等 并记下卡面数字和为 X 然后把卡片放回 叫做一次操作 1 求在一次操作中随机变量 X 的概率分布和数学期望 E X 2 甲进行四次操作 求至少有两次 X 不大于 E X 的概率 考点 离散型随机变量及其分布列 互斥事件的概率加法公式 专题 计算题 压轴题 分析 1 由题设知 X 可能的取值为 3 4 5 6 7 计算出随机变量 X 的概率分布进 而利用求数学期望的公式得到 X 的数学期望 E X 2 记 一次操作所计分数 X 不大于 E X 的事件记为