平面向量练习题集答案

平面向量练习题集答案 典例精析 题型一 向量的有关概念 例 1 下列命题 向量AB的长度与BA的长度相等 向量 a 与向量 b 平行 则 a 与 b 的方向相同或相反 两个有共同起点的单位向量 其终点必相同 向量AB与向量CD是共线向量 则 A B C D 必在同一直线上 其中真命题的序号是 解析 对 零向量与任一向量是平行向量 但零向量的方向任意 故 错 显然错 AB与 CD是共线向量 则 A B C D 可在同一直线上 也可共面但不在同一直线上 故 错 故是真命题的 只有 点拨 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键 注意到特殊情况 否定某个命题只要举出一 个反例即可 变式训练 1 下列各式 a aa a b c a b c OA OB BA 在任意四边形 ABCD 中 M 为 AD 的中点 N 为 BC 的中点 则AB DC 2MN a cos sin b cos sin 且 a 与 b 不共线 则 a b a b 其中正确的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析 选 D a aa 正确 a b c a b c OA OB BA正确 如下图所示 MN MD DC CN且MN MA AB BN 两式相加可得 2MN AB DC 即命题 正确 因为 a b 不共线 且 a b 1 所以 a b a b 为菱形的两条对角线 即得 a b a b 所以命题 正确 题型二 与向量线性运算有关的问题 例 2 如图 ABCD是平行四边形 AC BD交于点O 点M在线段DO上 且DM DO 3 1 点N在线段OC上 且ON OC 3 1 设AB a AD b 试用 a b 表示AM AN MN 解析 在 ABCD 中 AC BD 交于点 O 所以DO DB AB AD a b 1 2 1 2 1 2 AO OC AC AB AD a b 1 2 1 2 1 2 又DM DO ON OC 1 3 1 3 所以AM AD DM b DO 1 3 b a b a b 1 3 1 2 1 6 5 6 AN AO ON OC OC 1 3 OC a b a b 4 3 4 3 1 2 2 3 所以MN AN AM a b a b a b 2 3 1 6 5 6 1 2 1 6 点拨 向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表 示 即平面向量基本定理的应用 在运用向量解决问题时 经常需要进行这样的变形 变式训练 2 O 是平面 上一点 A B C 是平面 上不共线的三点 平面 内的动点 P 满足 OP OA AB AC 若 时 则PA PB PC 的值为 1 2 解析 由已知得OP OA AB AC 即AP AB AC 当 时 得AP AB AC 1 2 1 2 所以 2AP AB AC 即AP AB AC AP 所以BP PC 所以PB PC PB BP 0 所以PA PB PC PA 0 0 故填 0 题型三 向量共线问题 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线 1 若AB a b BC 2a 8b CD 3 a b 求证 A B D 三点共线 2 试确定实数 k 使 ka b 和 a kb 共线 解析 1 证明 因为AB a b BC 2a 8b CD 3 a b 所以BD BC CD 2a 8b 3 a b 5 a b 5AB 所以AB BD共线 又因为它们有公共点 B 所以 A B D 三点共线 2 因为 ka b 和 a kb 共线 所以存在实数 使 ka b a kb 所以 k a k 1 b 因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量 所以 k k 1 0 所以 k2 1 0 所以 k 1 点拨 1 向量共线的充要条件中 要注意当两向量共线时 通常只有非零向量才能表示与之共线 的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想 2 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向 量共线且有公共点时 才能得出三点共线 变式训练 3 已知 O 是正三角形 BAC 内部一点 OA 2OB 3OC 0 则 OAC 的面积与 OAB 的面积之比是 A B 3 2 2 3 C 2D 1 3 解析 如图 在三角形 ABC 中 OA 2OB 3OC 0 整理可得OA OC 2 OB OC 0 令三角形 ABC 中 AC 边的中点为 E BC 边的中点为 F 则点 O 在点 F 与点 E 连线的 处 即 OE 2OF 1 3 设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h 则 S OAC S OAE S OEC OE OE h 1 2 h 2 h 2 1 2 S OAB AB h AB h 1 2 1 2 1 4 由于 AB 2EF OE EF 所以 AB 3OE 2 3 所以 h h AB OE 4 1 2 1 故选 B S OAC S OAB 2 3 总结提高 1 向量共线也称向量平行 它与直线平行有区别 直线平行不包括共线 即重合 的情形 而向量平行 则包括共线 即重合 的情形 2 判断两非零向量是否平行 实际上就是找出一个实数 使这个实数能够和其中一个向量把另外一个 向量表示出来 3 当向量 a 与 b 共线同向时 a b a b 当向量 a 与 b 共线反向时 a b a b 当向量 a 与 b不共线时 a b a b 典例精析 题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 如图 ABCD 中 M N 分别是 DC BC 中点 已知AM a AN b 试用 a b 表示AB AD与 AC 解析 易知AM AD DM AD AB 1 2 AN AB BN AB AD 1 2 即 2 1 2 1 b a ADAB ABAD 所以AB 2b a AD 2a b 2 3 2 3 所以AC AB AD a b 2 3 点拨 运用平面向量基本定理及线性运算 平面内任何向量都可以用基底来表示 此处方程思想的 运用值得仔细领悟 变式训练 1 已知 D 为 ABC 的边 BC 上的中点 ABC 所在平面内有一点 P 满足PA BP CP 0 则 AD PD 等于 A B C 1 D 2 1 3 1 2 解析 由于 D 为 BC 边上的中点 因此由向量加法的平行四边形法则 易知PB PC 2PD 因 此结合PA BP CP 0 即得PA 2PD 因此易得 P A D 三点共线且 D 是 PA 的中点 所以 AD PD 1 即选 C 题型二 向量的坐标运算 例 2 已知 a 1 1 b x 1 u a 2b v 2a b 1 若 u 3v 求 x 2 若 u v 求 x 解析 因为 a 1 1 b x 1 所以 u 1 1 2 x 1 1 1 2x 2 2x 1 3 v 2 1 1 x 1 2 x 1 1 u 3v 2x 1 3 3 2 x 1 2x 1 3 6 3x 3 所以 2x 1 6 3x 解得 x 1 2 u v 2x 1 3 2 x 1 3 2 12xx 2x 1 3 2 x 0 x 1 点拨 对用坐标表示的向量来说 向量相等即坐标相等 这一点在解题中很重要 应引起重视 变式训练 2 已知向量 an cos sin n N b 1 则函数 n 7 n 7 y a1 b 2 a2 b 2 a3 b 2 a141 b 2的最大值为 解析 设 b cos sin 所以 y a1 b 2 a2 b 2 a3 b 2 a141 b 2 a1 2 b2 2 cos sin cos sin a141 2 b2 2 cos sin cos sin 282 2cos 7 7 141 7 141 7 7 所以 y 的最大值为 284 题型三 平行 共线 向量的坐标运算 例 3 已知 ABC 的角A B C 所对的边分别是a b c 设向量m a b n sin B sin A p b 2 a 2 1 若 m n 求证 ABC 为等腰三角形 2 若 m p 边长 c 2 角 C 求 ABC 的面积 3 解析 1 证明 因为 m n 所以 asin A bsin B 由正弦定理 得 a2 b2 即 a b 所以 ABC 为等腰三角形 2 因为 m p 所以 m p 0 即 a b 2 b a 2 0 所以 a b ab 由余弦定理 得 4 a2 b2 ab a b 2 3ab 所以 ab 2 3ab 4 0 所以 ab 4 或 ab 1 舍去 所以 S ABC absin C 4 1 2 1 2 3 23 点拨 设 m x1 y1 n x2 y2 则 m n x1y2 x2y1 m n x1x2 y1y2 0 变式训练3 已知a b c 分别为 ABC 的三个内角A B C 的对边 向量m 2cosC 1 2 n cos C cos C 1 若 m n 且 a b 10 则 ABC 周长的最小值为 A 10 5B 10 5 33 C 10 2D 10 2 33 解析 由 m n 得 2cos2C 3cos C 2 0 解得 cos C 或 cos C 2 舍去 所以 1 2 c2 a2 b2 2abcos C a2 b2 ab a b 2 ab 100 ab 由 10 a b 2 ab 25 所以 c2 75 ab 即 c 5 所以 a b c 10 5 当且仅当 a b 5 时 等号成立 故选 B 33 典例精析 题型一 利用平面向量数量积解决模 夹角问题 例 1 已知 a b 夹角为 120 且 a 4 b 2 求 1 a b 2 a 2b a b 3 a 与 a b 的夹角 解析 1 a b 2 a2 b2 2a b 16 4 2 4 2 12 1 2 所以 a b 2 3 2 a 2b a b a2 3a b 2b2 16 3 4 2 2 4 12 1 2 3 a a b a2 a b 16 4 2 12 1 2 所以 cos baa baa 所以 12 4 2 3 3 2 6 点拨 利用向量数量积的定义 性质 运算律可以解决向量的模 夹角等问题 变式训练 1 已知向量 a b c 满足 a 1 b 2 c a b 且 c a 则 a 与 b 的夹角大小是 解析 由 c a c a 0 a2 a b 0 所以 cos 所以 120 1 2 题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题 例 2 在 ABC 中 AB 2 3 AC 1 k 且 ABC 的一个内角为直角 求 k 的值 解析 当 A 90 时 有AB AC 0 所以 2 1 3 k 0 所以 k 2 3 当 B 90 时 有AB BC 0 又BC AC AB 1 2 k 3 1 k 3 所以 2 1 3 k 3 0 k 11 3 当 C 90 时 有AC BC 0 所以 1 k k 3 0 所以 k2 3k 1 0 k 3 13 2 所以 k 的取值为 或 2 3 11 3 3 13 2 点拨 因为哪个角是直角尚未确定 故必须分类讨论 在三角形中计算两向量的数量积 应注意方 向及两向量的夹角 变式训练 2 ABC 中 AB 4 BC 5 AC 6 求AB BC BC CA CA AB 解析 因为 2AB BC 2BC CA 2CA AB AB BC CA AB CA AB BC CA BC CA BC AB AB BC CA CA AB BC BC CA AB AB BA CA AC BC CB 42 62 52 77 所以AB BC BC CA CA AB 77 2 题型三 平面向量的数量积的综合问题 例 3 数轴 Ox Oy 交于点 O 且 xOy 构成一个平面斜坐标系 e1 e2分别是与 Ox Oy 同 3 向的单位向量 设 P 为坐标平面内一点 且OP xe1 ye2 则点 P 的坐标为 x y 已知 Q 1 2 1 求 OQ 的值及OQ与 Ox 的夹角 2 过点 Q 的直线 l OQ 求 l 的直线方程 在斜坐标系中 解析 1 依题意知 e1 e2 1 2 且OQ e1 2e2 所以OQ 2 e1 2e2 2 1 4 4e1 e2 3 所以 OQ 3 又OQ e1 e1 2e2 e1 e 2e1 e2 0 2 1 所以OQ e1 即OQ与 Ox 成 90 角 2 设 l 上动点 P x y 即OP xe1 ye2 又OQ l 故OQ QP 即 x 1 e1 y 2 e2 e1 2e2 0 所以 x 1 x 1 y 2 2 y 2 0 1 2 所以 y 2 即为所求直线 l 的方程 点拨 综合利用向量线性运算与数量积的运算 并且与不等式 函数 方程 三角函数 数列 解析几何等相交汇 体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势 变式训练 3 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 5 0 对于某个正实数 k 存在函数 f x ax2 a 0 使得OP OA OA OQ OQ 为常数 其中点 P Q 的坐标分别为