欧式看涨期权二叉树定价

欧式看涨期权二叉树定价 含欧式看涨期权二叉树定价 含 matlab 代码和结果图 代码和结果图 实验概述 本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础 然后给出期权的二 叉树定价方法的基本过程和 MATLAB7 0 实现的过程 19 2 实验目的 1 了解二叉树的定价机理 2 掌握用 MATLAB7 0 生成股票价格的二叉树格子方法 3 掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法 19 3 实验工具 MATLAB 7 0 19 4 理论要点 构造二叉树图 Binomial Tree 是期权定价方法中最为常见的一种 这个树图 表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径 二叉树定价方法与风险中性 定价理论是紧密联系的 Cox Ross 以 50 元购入 2 股股票 以 25 的月利率借人 40 元现金 借期为一个月 根据上述组合 我们可以得到以下到期收益分布表 如表 19 1 所示 表表 19 1 投资组合的到期收益分布表投资组合的到期收益分布表 四月份 三月份 S低 25 元 S高 100 元 卖出 3 份看涨期权合约 3C 0 150 买人两股股票 100 50 200 借人现金 40 50 50 总计 0 0 0 由一价定律 3C 100 40 0 可得 C 20 元 即为期权的价格 这个例子说 明 可以用一个相当简单的方法为期权定价 唯一需要做的是假设对投资者而 言不存在套利机会 我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合 使得 在 4 月份该组合的价值是确定的 于是我们可以说该组合无风险 它的收益率 一定等于无风险收益率 二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风 险中性概率 2 二叉树模型二叉树模型 考虑一个不支付红利的股票期权价格估值 我们把期权的有效期分为很多 很小的时间间隔 t 假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格 S 以概率 p 上升到 Su 以概率 1 p 下降到 Sd 其中 u 1 O d l 也就是说在任何一个时期 股票都有两个可能的价值 如图 19 1 所示 Su4 Su Su3 p Su2 Su2 Su Su S S S S Sd Sd 1 p Sd2 Sd2 Sd Sd3 Sd4 图 19 1 股票价值变化的可能性 图 19 2 二叉树模型 例如 我们假定将期权的有效期分成 4 个时期 在任何一个时期 股票都 有两种可能的价值 即每个时间段都假定是一个两状态过程 当 N 4 时 我们 有以下结点图 19 2 在风险中性概率 Q 下 P du de tr 且有 f0 pfu 1 p fd tr e 其中 fu 和 fd 是在 t 期后的期权可能的价格分布 分别为期权价格高点和 低点 令 u 1 d 根据股票回报率的方差 我们有 u 和 d t 2 t e t e 若每个股票价格路径的样本点个数为 N 1 那么欧式看涨期权的到期收益 的样本路径为 f N max 0 SujdN j X j 0 1 N 向后递归可得 fij pfi 1 j 1 1 p fi 1 j t e 相应欧式看跌期权的到期收益表示 fN j max 0 X SujdN j j 0 1 N 美式看涨期权的到期收益与欧式看涨期权是一致的 因此我们下面仅考虑 美式看跌期权的格子 Lattice fN j max 0 X SujdN j j 0 1 N 向后递归可得 max X Sujdi j pfi 1 j 1 1 p fi 1 j t e i N 1 N 2 0 j 0 1 i 19 5 实验过程 我们首先给出欧式期权的二叉树定价的 MATLAB 代码 然后给出美式期 权的二叉树定价的代码 19 5 1 欧式看涨期权欧式看涨期权 1 欧式看涨期权的二叉树定价欧式看涨期权的二叉树定价 下面的函数 LatticeEurCall 给出了利用二叉树的方法给欧式看涨期权定 欧式看涨期权的二叉树定价价 LatticeEurCall m function price lattice LattceEurCall SO E r T sigma N S0 股票现价 E 执行价格 r 利率 T 期权的有效期限 sigma 波动率 N 结点数 deltaT T N 日期步长 u exp sigma sqrt deltaT d 1 u p exp r deltaT u d 凤险中性概率 lattice zeros N 1 N 1 for j 0 N lattice N 1 j 1 max 0 S0 u j d N j E end for i N 1 1 0 for j 0 i lattice i 1 j 1 exp r deltaT p lattice i 2 j 2 1 p lattice i 2 j 1 end end price lattice1 1 假设存在有效期为 1 年的欧式看涨期权 股票初始价格为 50 利率为 0 03 波动率为 0 2 执行价格为 40 且令结点数 N 为 10 在命令窗口中输人 price lattice LatticeEurCall 50 40 0 03 1 0 2 10 就可以得到一个以下三角矩阵表示二叉树的格子以及欧式看涨期权的价格 11 614 5 如图 19 3 所示 2 欧式看涨期权的二叉树的收敛性质欧式看涨期权的二叉树的收敛性质 Gox Ross E 50 执行价格 r 0 1 年利率 sigma 0 4 波动率 T 5 12 有效期限为 5 个月 N 50 BlasC blsprice S0 E r T sigma LatticeC zeros 1 N for i 1 N LatticeC i LatticeEurCall S0 E r T sigma i end plot 1 N ones 1 N BlsC hold on plot 1 N LatticeC xlabel N ylabel 二叉树价格 运行 CompLatticeBls m 可以得到图 19 4 从图 19 4 可以看出 随着区间长度的缩小 二叉树定价收敛于 B 一 S 公 式确定的价格 19 5 2 欧式看跌期权欧式看跌期权 与欧式看涨期权类似 我们只需将欧式看涨期权的代码稍做改动即可 欧式看跌期权的二叉树定价 LatticeEurPut m function price lattice LatticeEurPut S0 E r T sigma N S0 股票现价 E 执行价格 r 年率 T 期权的有效期限 sigma 波动率 N 结点数 deltaT T N 日期步长 u exp sigma sqrt deltaT d 1 u p exp r deltaT d u d Lattice zeros N 1 N 1 for j 0 N lattice N 1 j 1 max 0 E S0 u j d N j end for i N 1 1 0 for j 0 i lattice i 1 j 1 exp r deltaT p lattice i 2 j 2 1 p lattice i 2 j 1 end end price lattice 1 1 19 5 3 美式看跌期权的二叉树定价美式看跌期权的二叉树定价 根据美式看跌期权的递归公式 fij max X Sujdi j pfi 1 j 1 1 p fi 1 j tr e i N 1 N 2 0 j 0 1 i 可以编写一下代码 美式看跌期权的二叉树定价 LatticeAmPut m Function price lattice LatticeAmPut S0 E r T sigma N0 S0 股票现价 E 执行价格 r 利率期权的有效期限 sigma 波动率 N 结点数 deltaT T N 日期步长 u exp sigma sqrt deltaT d 1 u p exp r deltaT d u d lattice zeros N 1 N 1 for j 0 N Lattice N 1 j 1 max 0 E S0 u j d N j end for i N 1 1 0 for j 0 i lattice i 1 j 1 max E S0 u j d i j exp r deltaT p lattice i 2 j 2 1 p lattice i 2 j 1 end end Price lattice 1 1 假设存在有效期为 1 年的美式看跌期权 股票初始价格为 50 利率为 0 03 波 动率为 0 2 执行价格为 60 且令结点数 N 为 100 在命令窗口中输人 LatticeAmPut 50 60 0 03 1 0 2 100 得到美式看跌期权的价格为 10 3056 比较标准 Black Scholes 欧式期权定 价公式的结果 9 610 0 显然美式期权的价格要大 此外 MATLAB7 0 金融工具箱还提供了为美式期权二叉树定价的 binprice 函 数 Stockprice Optionprice binprice S0 E r T dt sigma FLAG q 其中 FLAG 取 1 时为看涨期权 取 0 时为看跌期权 q 为红利率 可缺 省 运行 binprice 返回的是股票和期权在每个节点的价值的矩阵 在命令窗口 输人 Stockprice Optionprice binprice 50 60 0 03 1 0 01 0 2 0 和 Optionprice 1 1 得到美式看跌期权的价格为 10 305 6 这与我们用 LatticeAmPut 运行的 结果是一致的 19 6 实验报告实验报告 在实验报告的撰写上 建议按照标准的实验参考格式 主要应包括