江苏省2011年高考数学 热点题型聚焦 解析几何（2）

用心 爱心 专心 1 解析几何题解析几何题 1 已知曲线 直线 为坐标原点 2 2 1 y C x a 0l kxyk O 1 若该曲线的离心率为 求该的曲线 C 的方程 3 2 2 当时 直线 与曲线 C 相交于两点 试问在曲线上是否存在点使得1a l M NCQ 若存在 求实数的取值范围 若不存在 请说明理由 OMONOQ 答案 1 若焦点在轴上 若焦点在轴上 x 22 41C xy y 2 2 1 2 y C x 2 由题 直线 与曲线都恒过定点 lC 1 0 1 0 M 可得 2222 22 1 1 210 1 yk x kxk xk xy 2 22 12 11 kk xy kk 假设存在满足条件的 Q 代入曲线 C 可得 1 NQ NQ xx OMONOQ yy 22 2 1 1 QQ xy 2 2 22 22 22 11 kk kk 2 22 44 44 11 k kk 所以 满足条件 22 或 2 已知双曲线 的一个焦点与抛物线的焦点重合 且c 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 4yx 双曲线的离心率为 5 1 求双曲线的方程 2 若有两个半径相同的圆 它们的圆心都在轴上方且分别在双曲线的两渐近线上 12 c cxc 过双曲线的右焦点且斜率为的直线 与圆都相切 求两圆圆心连线斜率的范围 1 l 12 c c 12 c c 解 1 因为抛物线的焦点为 由已知得 所以由 得 2 4yx 1 0 1c 5 c e a 用心 爱心 专心 2 所以双曲线的方程为 12 55 ab 22 5 51 4 xy 2 双曲线的渐近线方程为 直线 的方程为 由已知可设圆2 2yx yx l10 xy 圆 其中 222 1 2 cxtytr 222 2 2 cxnynr 0 0tn 因为直线 与圆都相切 所以 l 12 c c 2121 22 ttnn 得或 即 或 2121ttnn 2121ttnn 3nt 32nt 设两圆圆心连线斜率为 则 12 c ck 22tn k tn 当时 3nt 26 1 4 tt k t 当时 因为 所以 故可得32nt 22tn k tn 42 1 t t 0 0tn 2 0 3 t 22k 综上 两圆圆心连线斜率的范围为 12 c c 2 2 3 已知椭圆 的离心率为 过右焦点且斜率为 1 的直C 22 22 1 xy ab 0ab 3 6 F 线 交椭圆于两点 为弦的中点 C A BNAB 1 求直线 为坐标原点 的斜率 ONO ON k 2 设椭圆上任意一点 且 求的最大值和最小值MCOMOAOB 解 1 设椭圆的焦距为 2c 因为 所以有 故有 从而椭 3 6 a c 3 2 2 22 a ba 22 3ba 圆 C 的方程可化为 222 33byx 易知右焦点F的坐标为 0 2b 据题意有AB所在的直线方程为 bxy2 由 有 03264 22 bbxx 设 弦AB的中点 由 及韦达定理有 2211 yxByxA 00 yxN 用心 爱心 专心 3 4 2 2 4 23 2 00 21 0 bbxy bxx x 所以 即为所求 3 1 0 0 x y KON 2 显然与可作为平面向量的一组基底 由平面向量基本定理 对于这一OAOB 平面内的向量 有且只有一对实数 使得等式成立 设OM OBOAOM 由 1 中各点的坐标有 yxM 所以 2211 yxyxyx 2121 yyyxxx 又点在椭圆 C 上 所以有整理为 22 21 2 21 3 3 byyxx 2 2121 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 2 3 3 byyxxyxyx 由 有 所以 4 3 2 23 2 2121 b xx b xx 0693 6 234 2 2 33 222 2 212121212121 bbb bxxbxxbxbxxxyyxx 又 A B 在椭圆上 故有 2