平面向量复习-数量积教学设计(上海北郊高级中学金振华)

共 7 页 第 1 页 平面向量复习平面向量复习 数量积数量积 教学设计说明教学设计说明 上海市北郊高级中学上海市北郊高级中学 金振华金振华 说课内容 高级中学课本 数学 高中二年级第一学期 上教版 第八章 平面向量 坐标表示 的复习课 平面向量复习 数量积 一 教学内容解析一 教学内容解析 向量是近代数学基本和重要的数学概念之一 有着极其丰富的实际背景 它具有代数和 几何的双重身份 是沟通代数 几何的桥梁 它能与中学数学中许多教学内容许多主干知识 相结合 形成知识交汇点 而且初中课本里已经对平面向量做了简单的介绍 再次将平面向 量坐标表示引入高中课程 是现行数学教材的重要特色之一 上教版 高级中学课本 数学 高中二年级第一学期 中第八章 平面向量坐标表示 涉及到了向量的坐标表示及运算 2 课时 向量的数量积 2 课时 平面向量的分解定理 2 课时 向量的应用 2 课时 其中平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一个重要运算 也是高中平面向量教学 中的一个重要概念 既有对几何的体现 也有其对应的特殊性质和运算律 因此它在数学 物理等学科中应用十分广泛 本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量 相关知识的回顾 也有对于数量积求法的总结 也涉及到向量数量积的应用 课堂中也很好 的融入了数形结合的数学思想和化归思想 二 教学目标设置二 教学目标设置 高级中学 数学教学参考资料 高二第一学期 上教版 在教学设计建议中提到 向 量是沟通代数 几何的一种工具 向量有非常直观的几何意义 是数与形的完美结合 一方 面 它可以把几何问题转化为坐标的代数运算 另一方面 它还可以结合图形对向量的有关 问题进行分析求解 向量是解决数学问题和实际问题的有力工具 所以 对于向量的数量积 复习课而言 希望可以从定义的梳理展开 结合图形将向量数量积相关问题的求解方法进行 归纳总结 并且让学生体会到向量数量积如何成为解决数学问题的有力工具入手完成这节课 综上所述 结合 上海市中小学课程标准 要求和学生实际 制定本节课的教学目标和 教学重难点 教学目标 1 掌握平面向量数量积的概念 回顾梳理与平面向量数量积相关的知识点 2 通过体验 归纳 总结求解平面数量积的方法 同时提高对题目的反思重解能力 3 通过平面向量数量积的应用 提高分析问题解决问题的能力 共 7 页 第 2 页 教学重点 平面向量数量积概念的掌握 教学难点 应用数量积解决问题 三 学生学情分析三 学生学情分析 本节课的教学对象是上海市实验性示范高中高二的学生 是任课教师自己平时所带班级 学生 刚刚完成平面向量这一章节的学习 1 知识方面 学生已完成了平面向量这一章知识内容的学习 并已能运用平面向量的 知识解决一些简单的向量几何问题 但是还不能融会贯通地综合理解运用知识 尤其知识的 迁移能力还不够 同时整章的知识脉络还没完全成型 因此 本节复习课对现阶段的学生来 说尤为重要 2 能力方面 因为刚刚完成向量部分的学习 对于向量的相关知识内化的还不够完善 部分学生解题时数形结合能力弱 但是由于学生是市实验性示范高中的学生 所以大部分学 生的求知欲和学习主动性较高 3 心理方面 学生已具备了一定的归纳知识的意识和能力 而且现阶段学生表现欲也 很强 本节课的教学设计正好符合高二学生的这个心理特征 四 教学策略分析四 教学策略分析 1 本节课的框架设计 本节课是一节复习教学课 上海数学课程标准中教学策略有以下几个方面的要求 全 面把握知识教学的要求 重视教学的开放性 有效应用现代信息技术 尊重学生现有 的认知水平和个性差异 坚持主导原则下的平衡与兼顾 依据以上要求 结合本节课的知 识的逻辑关系 按照以下框架安排本节课的教学 环节一 做 中 理 问题导入 梳理知识 环节二 解 中 结 一题多解 总结方法 环节三 变 中 悟 变题悟法 训练思维 环节四 用 中 升 应用感悟 任务后延 2 对教学过程各环节的教学材料分析 环节一 做 中 理 问题导入 梳理知识 首先 让学生解决一组与向量数量积相关的数学问题 每一道小题的处理方式都是通过 学生回答 自行梳理概念 老师板书提炼包括向量的定义 向量数量积的坐标表示 向量数 量积的几何意义 向量数量积的运算律等相关知识 达到对向量数量积相关知识的复习 同 时对于每道判断题做说明和反例的细致解读 分析抽取概念 留出必要的时间对相关知识点 做一个回顾和梳理 也为后面的例题展开做铺垫 这样处理不仅避免枯燥的知识罗列 也为 共 7 页 第 3 页 了避免做题中牵扯太多的精力和时间 更加兼顾了不同认知水平的同学 建构三道看似普通 的题目作为平台 将题目赋予了极大的价值 也给同学们提供一种课后复习的手段 在一些 简单题目中就蕴含大量知识讯息 做 中 理 会做 很重要的 但是 会理 是更高 境界 环节二 解 中 结 一题多解 总结方法 让学生解决在等边三角形背景下的一个数量积典型例题 教学过程中 老师启发激励学 生挖掘出多种解题方法 同时在点评不同解法时 融入不同的数学思想方法 比如在点评解 法一时 强调将未知化归已知的数学思维方式 在点评解法三时 将 形 化归 坐标 又比如在点评解法四 特别强调数形结合的思想方法 而且在解题的同时适当的对于向量数 量积解题方法做归纳总结 对于复习课的例题如果选取若干道背景不同的题目 容易造成计 算量的增加 同时读题时间的增加 而时间对于一堂复习课而言是非常宝贵的 所以选取一 题多解的方式 简化运算和读题时间 同时达到方法提炼的目的 同时在讲解方法中 适当 的牵引学生的未知化归已知的思想方法 和数形结合思想 也能够达到复习课所必须的广度 和深度 环节三 变 中 悟 变题悟法 训练思维 在这个环节中 学生自主变题 再由学生答题 教师事先做好充分的准备 也做好情境 的预设 建构一个有效平台 创设出生生互动的一个课堂 让学生在变题中体会三种解题方 法 首先老师先提供一种逆向变题方法 将作为条件 判断点 D 的轨迹 通过 15 2 AB AD A 本题解答强化向量数量积的几何意义 接下来学生首先尝试将点 D 的三等分位置做改动 进而进一步得到变式 D 点在线段 BC 上运动 求解 老师在点评学生给出的求解 AB AD A 方法时 强调三种方法的选择方式 在学生给出改动三角形条件 并给出解决方案时 教师 紧扣概念教学 让学生熟练掌握三种方法 复习课 单纯的老师出题学生答题 容易产生学 生被动记忆接受的效果 再加上学生刚刚完成 向量坐标表示 的全章学习 解题的欲望和 表现的欲望比较强 故此设计这样的一个环节 在变题中完成对于不同解题方法的再练习 在变题中做逆向的发散思维 在变题中体会不同条件对于题目背景的影响 不同条件对于解 题方法的影响 达到复习课所内含的思维的碰撞和课后的学习方法的外延 环节四 用 中 升 应用感悟 任务后延 最后环节中 采取学生回顾 老师板书总结的方式对于向量的几何应用做了复习 同时 对于向量的代数应用也选择了由之前变式求数量积范围而改编的应用 让学生体悟到数学中 代数和几何的联系 也体悟到向量在跨章节方面的应用 会 做 是为了能 用 一堂向 共 7 页 第 4 页 量数量积的复习课 不仅需要完成必要解题思路的总结和训练 也需要为知识的外延做好充 分的推手 3 对教学方法和手段的分析 因为是平面向量的复习课 教学内容涵盖较大 为了保证教学任务的完成 顺利实现本 节课的教学目标 考虑到本节课的实际特点 在教学方法上 尽可能的采用一个三角形为主 体背景 将 知识回顾 方法提炼 变题训练 向量应用 四个环节有机串联起来 不同认知基础的同学都可以参与到相应的环节中 通过师生共同探讨 根据学生的反馈 及 时加以引导 达成本节课教学目标 在教学手段的应用上 我的设想主要有以下两点 1 制作高效实用的电脑多媒体课件 主要作用是改变相关内容的呈现方式 以此来 提高效率 增加课堂容量 使用 ppt 主要是对课堂的内容作快速呈现 使用 geogebra 软件 将学生变题产生的图形 及图形变换特征较迅速地展现出来 2 设计科学合理的板书 使学生加深对主要知识的印象 使学生清楚本节内容知 识间的逻辑关系 形成知识网络 ppt 和板书配合使用 达到了快速呈现题目 同时板书 梳理知识的效果 3 课堂小结 布置作业 五 教学过程设计五 教学过程设计 一 知识回顾一 知识回顾 环节一 环节一 做做 中中 理理 问题导入 梳理知识 问题导入 梳理知识 1 完成以下问题 1 已知等边 ABC 的边长为 3 则 AB AC 9 2 2 已知向量且 则 2 1 2 1 abx ab x 3 判断下列说法正确的是 2 2 aa 若则 X 0a b 00ab 或 若 X 0 ba bc bac 则 若 对任意向量都成立 X a bcab c a b c 2 通过以上问题的解决 引出课题 并对以下知识进行回顾梳理 若 1122 ax ybxy 共 7 页 第 5 页 1 cosa ba b A 1212 x xy y 2 向量的投影 3 向量的运算律 4 2 2 0aaa bab A 二 方法提炼二 方法提炼 环节二 环节二 解解 中中 结结 一题多解 总结方法 一题多解 总结方法 1 典型例题 例 1 在正三角形 ABC 中 D 是 BC 上的点 求3 1ABBD AB AD uuu r uuu r 解一 AB ADABABBD uuu r uuu ruuu ruuu ruuu r 2 115 931 22 ABABBD uuu ruuu ruuu r 解二 余弦定理 222 2 cosADABBDABBDABD 7 222 5 7 cos 142 ABADBD BAD ABAD cosAB ADABADBAD 15 2 解三 如右图建立坐标系 A 0 B 0 D 0 3 3 2 3 2 1 2 则 33 313 3 2222 ABAD uuu ruuu r 所以 AB AD uuu r uuu r 5 3 2 15 2 解四 利用几何意义 在上的投影为 AD AB 5 2 3AB 故 AB AD uuu r uuu r 5 3 2 15 2 2 方法提炼 由例 1 提炼出求数量积的方法 数量积的定义 数量积的坐标运算 数量积的几何意义 环节三 环节三 变变 中中 悟悟 变题悟法 训练思维 变题悟法 训练思维 变式 1 在边长为 3 的 正三角形 ABC 中 D 是所在平面内的一点 ABC 是否是原来的三等分点 15 2 AB AD uuu r uuu r BC 答案 在线段 BC 上取一点 G 使得 过 G 点做直线 AB 的垂线 D 的轨迹1BG l y BDC x A 共 7 页 第 6 页 就是垂线l 通过变式 1 进一步掌握数量积的几何意义 变式 2 学生编题 在生生互问中 完成数量积的求解复习 我们可以引导学生改变条件 引导学生改变 点 D 的位置 引导 3 1ABBD 学生改变不同的角的大小 引导学生将正三角形变为斜三角形 通过变式 2 让学生对三种方法再认识 小结 平时解答问题时 不要满足于原问题的解答 我们可以对解题有一个反思 如 果已知条件发生变化 结论是否依旧成立 如果结论变成条件 那么原条件是 否成立 在对题目的变化和重解过程中 不仅可以达到复习巩固的目的 同时 思维也可以得到很好的训练 三 迁移 应用三 迁移 应用 环节四 环节四 用用 中中 升升 应用感悟 任务后延 应用感悟 任务后延 1 回顾用数量积能解决的问题 比如求角 求长度 判断平行垂直问题等等 2 灵活应用 例 2 已知 试用向量的方法求的取值范围 2222 9 1xyab axby 解 设有向量 与的夹交角为 pab qx y p q 都不是零向量 若 则 a b 0 与矛盾 同理 p q p 0 1ba 22 q 0 ax by 又 3 cos p q cosp qpq cosyxba 2222 ax by 3 cos 1 cos 1 3 ax by 3 四 小结 四 小结 1 向量数量积的定义及相关知识 向量数量积的定义及相关知识 2 平面向量数量积的三种主要求法 平面向量数量积的三种主要求法 3 数量积在几何和代数中的应用 数量积在几何和代数中的应用 五 课后作业五 课后作业 一 填空题 1 平面向量中 已知 且 则向量 a b 4 3 a 1b 5a b b 2 已知平面上三点 A B C 满足 则3 4 5 ABBCCA 的值等于 AB BCBC CACA AB 3 正三角形的边长为 1 则等于 ABCAB BCBC CACA AB 二 选择题 共 7 页 第 7 页 4 已知向量 求与 的夹角 5 1 2 2 4 5 2 abcabc 若a c A 30 B 60 C 120