运用试除法计算指数 Microsoft Word 文档

运用试除法计算指数 笔者试图探讨如何运用初等方法计算指数 从理论上进一步完善指数的计算方法 并为 应用计算机技术直接计算指数提供理论依据 运用初等方法计算指数简单 快捷 精确 同时也适用于计算对数 试除法 一数连续试除以另一数 计算一数里含有另一数的几个整数次方的方法 通 过计算得到两个结果 一是含有几个整数次方 二是试除后的余商 暂称 s 数 如用 a 连续除 b 当除到 m 次时 小于 a 而不小于 1 则 b 里含有 a 的 m 个整数次方 b am 是 s 数 这时 m 0 为整数 am b a s 数 1 b am 若 a b m 0 若 a b m 1 若 a b m 1 为了叙述方便 暂借用符号 表示指数式 即 am b m b a 指数式的化简和运算规律与分数式的比较 指数式 分数式 1 m b a b a a a m 个 a 0 m b a b aa a m个a b a bm am m 0 m 0 b a bm am b a 1 a b b a 1 a b b a c a bc a b a c a b c a b a c a a b c b a c a b c a b a c bc a c b a bc a b a c a b c b a c a b c 从上面比较可以看出 在同一运算中 指数式是乘方 分数式则是相乘 指数式是相乘 分数式则是相加 指数式是相除分数式则是相减 从而可以认为 指数式是分数式进一步发 展而来的 二者关系密切 掌握了这些规律 则可把指数式转化成分数式或小数式 指数式转化成小数式 把指数式转化成小数式与把分数式转化成小数式的方法类同 只是指数式是三级运算时 分数式则是二级运算 指数式是二级运算时分数式则是一级运算 即指数式是乘方时分数式 则相乘 指数式需扩大 10 次方时分数式则扩大 10 倍 指数式需试除时分数式则试减 指数 式试除后的 s 数趋近或等于 1 分数式试减后的余数趋近或等于 0 ax b 把指数 x 转化成小数式 a 1 b 1 设 m 为 x 的整数部分 mi m1 m2 mn m1为 x 小数部分的 10 分位 m2为 x 小数 部分的 100 分位 mn为 x 小数部分的 10n分位 10 mi 0 用 a 试除 b 求出 x 的整数部分 m m 0 am b a 1 b am 等式两边同除以 am ax m b am 若 1 ax m 1 x m b am 若 1 时 等式两边同时扩大 10 次方 b am a10 x 10m b10 a10m 用 a 试除 求出 x 小数部分的 10 分位小数 m1 b10 a10m 10 m1 0 am1 a 1 b10 a10m b10 a10m m1 等式两边同除以 am1 a10X 10m m1 b10 a10m m1 若 1 a10X 10m m1 1 x m b10 a10m m1 m1 10 若 1 时 等式两边同时扩大 10 次方 b10 a10m m1 a100X 100m 10m1 b100 a100m 10m1 用 a 试除 求出指数 x 小数部分的 100 分位小数 m2 b100 a100m 10m1 10 m2 0 am2 a 1 b100 a100m 10m1 b100 a100m 10m1 m2 等式两边同除以 am2 a100X 100m 10m1 m2 b100 a100m 10m1 m2 若 1 a100X 100m 10m1 m2 1 x m b100 a100m 10m1 m2 m1 10 m2 100 若 1 时 等式两边同时扩大 10 次方再如此继续求出 x 小数 b100 a100m 10m1 m2 部分的 1000 分位 10000 分位 10n分位小数 m3 m4 mn 直到 s 数等于 1 或达到精 度要求的下一位 即 a 10nx 10nm 10n 1m1 10n 2m2 mn b 10n a 10nm 10n 1m1 10n 2m2 mn 10nx 10nm 10n 1m1 10n 2m2 mn a b 10n a 10nm 10n 1m1 10n 2m2 mn x m a m1 10 m2 100 mn 10n b 10n a 10nm 10n 1m1 10n 2m2 mn 若 1 b 10n a 10nm 10n 1m1 10n 2m2 mn a 1 a 0 b 10n a 10nm 10n 1m1 10n 2m2 mn x m m1 10 m2 100 mn 10n 计算指数的操作方法 通过上述不难看出计算指数的方法是先用底数试除真数求出指数的整数部分 这时 s 数 若等于 1 则指数为整数 若小于底数而大于 1 将其扩大 10 次方 再用底数试除求出指数 小数部分的 10 分位 如此反复试除 再扩大 10 次方 再试除 继续求出 100 分位 1000 分 位 小数 直到 s 数等于 1 或达到精度要求的下一位小数 四舍五入 此方法同时适用于计算对数 它的实质是 ax b 假如给等式两边同时扩大一个够大的 E 次方 aEx bE 用 a 试除 bE求出整数次方 m aEx m bE am Ex m a bE am x 0 m E x m E 显然 这种方法是不切实际的 但我们可以先用 a 试除 b 使 b 小于 a 再给等式两边 同时扩大一个适当大的次方 e 再用 a 试除 se 使其又小于 a 反复如此 即可简捷准确地 达到计算指数的目的 这个适当大的 e 次方应该是 10 或 2 8 16 为宜 则 x m m1 e m2 e2 mn en 例一 计算 131072 65536 值 131072 655361 210 655360 102410 655366 1610 655362 25610 655365 1 x 1 0625 例二 计算 243 27 值 243 271 910 276 9 x 1 6 循环小数 例三 计算对数 log102 值 精度要求保留 15 位小数 2 10 0 210 10 3 1 02410 10 0 1 26765060022822940149670320537610 10 1 1 0715086071862673209484250490610 10 0 1 995063116880758384883742162683610 10 2 9 990020930143845079440327643300310 10 9 9 900656229295898250697923616301910 10 9 9 049817306360800301396402667708710 10 9 3 684665936980458763209092390984210 10 5 4 612976001169069393116119221037410 10 6 4 363268634556242898858291087671810 10 6 2 501033571773471231360815711099410 10 3 9 576244231492743284805059495794410 10 9 6 485629529555838957442228147189610 10 8 1 316804717933509690619631430236410 10 1 1 567522339544829325194195517131610 10 1 log10 2 0 301029995663981 用这种方法计算指数 除了简单快捷外 从理论上讲 可以准确地计算到任意位小数 原因有三 一 真数在不断地试除和扩大 10 次方时 末尾几位小数必然有误差 但试除时只取整 数 因而末尾几位小数是无效小数 不影响结果的准确性 二 试除时底数一直保持不变 因而底数始终是准确的 三 末尾几位无效小数随着不断地试除和扩大 10 次方时也在不断地被舍去 毫无疑问 其计算结果是准确的 用计算器计算时要连续计算 指数式转化成连分数 把指数式 b a 转化成连分数 b a 1 设 mi m1 m2 mn m1为连分数的第 1 位 m2为连分数的第 2 位 mn为连分数的 第 n 位 mi 1 为整数 用 a 试除 b 求出连分数的第 1 位 m1 b a m1 a 这时 a b am1 b am1 将 a 和对换位置后取其倒数 b am1 b a m1 用试除 a 求出连分数的第 2 位 m2 b am1 b a m1 这时 b am1 a1 m1 m2 bm2 如此反复小数试除大数取其整数 底数和真数对换位置后取其倒数 直到认为试除后的 s 数趋近或等于 1 则 b a m1 b a m1 b a m1 m2 mn 表示连分数 指数式 对数式转化成连分数 因为底数和真数轮流对换位置 s 数趋近于 1 快 但连 分数还要化成分数 再化成小数 然后确定小数位数 反倒麻烦 例一 65536X 131072 X 化成连分数 131072 655361 65536 216 1 x 1 16 例二 27X 243 X 化成连分数 243 271 27 91 9 32 1 x 1 1 2 例三 Log10 2 化成连分数 2 100 10 23 2 1 253 1 25 1 0249 1 024 1 0097419586828951109270125635622 Log