广东省中山市东升高中高中数学 第三章 函数的应用导学案 新人教A版必修1

专心 爱心 用心1 3 1 1 3 1 1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 学习目标 1 结合二次函数的图象 判断一元二次方程根的 存在性及根的个数 从而了解函数的零点与方程 根的联系 2 掌握零点存在的判定定理 学习过程 一 课前准备 预习教材P86 P88 找出疑惑之处 复习 1 一元二次方程 bx c 0 a0 的解法 2 ax 判别式 当 0 方程有两根 为 1 2 x 当 0 方程有一根 为 0 x 当 0 方程无实根 复习 2 方程 bx c 0 a0 的根与二次函数 2 ax y ax bx c a0 的图象之间有什么关系 2 判别式一元二次方程二次函数图象 0 0 0 二 新课导学 学习探究 探究任务一 函数零点与方程的根的关系函数零点与方程的根的关系 问题 方程的解为 函数 2 230 xx 的图象与x轴有 个交点 坐标 2 23yxx 为 方程的解为 函数 2 210 xx 的图象与x轴有 个交点 坐标 2 21yxx 为 方程的解为 函数 2 230 xx 的图象与x轴有 个交点 坐标 2 23yxx 为 根据以上结论 可以得到 一元二次方程的根就是相 2 0 0 axbxca 应二次函数的图象与x 2 0 0 yaxbxca 轴交点的 你能将结论进一步推广到吗 yf x 新知 对于函数 我们把使的实 yf x 0f x 数x叫做函数的零点 zero point yf x 反思 函数的零点 方程的实数根 函 yf x 0f x 数 的图象与x轴交点的横坐标 三者有 yf x 什么关系 试试 1 函数的零点为 2 44yxx 2 函数的零点为 2 43yxx 小结 方程有实数根函数的 0f x yf x 图象与x轴有交点函数有零点 yf x 探究任务二 零点存在性定理零点存在性定理 问题 作出的图象 求 2 43yxx 的值 观察和的符号 2 1 0 fff 2 f 0 f 观察下面函数的图象 yf x 在区间上 零点 0 a b f af bA 在区间上 零点 0 b c f bf cA 在区间上 零点 0 c d f cf dA 新知 如果函数在区间上的图象是 yf x a b 连续不断的一条曲线 并且有 0 那么 f af bA 函数在区间内有零点 即存在 yf x a b 使得 这个c也就是方程 ca b 0f c 的根 0f x 2008 年下学期 高一 月 日 班级 姓名 第三章 函数的应用 2 讨论 零点个数一定是一个吗 逆定理成立吗 试结合图形来分析 典型例题 例 1 求函数的零点的个数 ln26f xxx 变式 求函数的零点所在区间 ln2f xxx 小结 函数零点的求法 代数法 求方程的实数根 0f x 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将 它与函数的图象联系起来 并利用函数的 yf x 性质找出零点 动手试试 练 1 求下列函数的零点 1 2 54yxx 2 2 1 31 yxxx 练 2 求函数的零点所在的大致区间 23 x y 三 总结提升 学习小结 零点概念 零点 与x轴交点 方程的根的 关系 零点存在性定理 知识拓展 图象连续的函数的零点的性质 1 函数的图象是连续的 当它通过零点时 非 偶次零点 函数值变号 推论 函数在区间上的图象是连续的 且 a b 那么函数在区间上至少 0f a f b f x a b 有一个零点 2 相邻两个零点之间的函数值保持同号 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 函数的零点个数为 22 2 32 f xxxx A 1 B 2 C 3 D 4 2 若函数在上连续 且 f x a b 有 则函数在上 0f af b A f x a b A 一定没有零点 B 至少有一个零点 C 只有一个零点 D 零点情况不确定 3 函数的零点所在区间为 1 44 x f xex A B C D 1 0 0 1 1 2 2 3 4 函数的零点为 2 20yxx 5 若函数为定义域是 R R 的奇函数 且 f x 在上有一个零点 则的零点个数 f x 0 f x 为 课后作业 1 求函数的零点所在的大致区 32 22yxxx 间 并画出它的大致图象 专心 爱心 用心3 2 已知函数 2 2 1 421f xmxmxm 1 为何值时 函数的图象与轴有两个零点 mx 2 若函数至少有一个零点在原点右侧 求值 m 3 1 2 用二分法求方程的近似 解 学习目标 1 根据具体函数图象 能够借助计算器用二分法 求相应方程的近似解 2 通过用二分法求方程的近似解 使学生体会函 数零点与方程根之间的联系 初步形成用函数观 点处理问题的意识 学习过程 一 课前准备 预习教材P89 P91 找出疑惑之处 复习 1 什么叫零点 零点的等价性 零点存在性 定理 对于函数 我们把使 的实数x yf x 叫做函数的零点 yf x 方程有实数根函数的图象 0f x yf x 与x轴 函数 yf x 如果函数在区间上的图象是连续 yf x a b 不断的一条曲线 并且有 那么 函数在区间内有零点 yf x a b 复习 2 一元二次方程求根公式 三次方程 四 次方程 二 新课导学 学习探究 探究任务 二分法的思想及步骤二分法的思想及步骤 问题 有 12 个小球 质量均匀 只有一个是比别 的球重的 你用天平称几次可以找出这个球的 要求次数越少越好 解法 第一次 两端各放 个球 低的那一端一 定有重球 第二次 两端各放 个球 低的那一端 一定有重球 第三次 两端各放 个球 如果平衡 剩 下的就是重球 否则 低的就是重球 思考 以上的方法其实这就是一种二分法的思想 采用类似的方法 如何求的零点所ln26yxx 在区间 如何找出这个零点 新知 对于在区间上连续不断且0 且a 1 有以下 t ya 叙述 第 4 个月时 剩留量就会低于 1 5 每月减少的有害物质量都相等 若剩留量为所经过的时间分别是 111 248 则 123 t t t 123 ttt 其中所有正确的叙述是 练 2 经市场调查分析知 某地明年从年初开始的 前个月 对某种商品需求总量 万件 近n f n 似地满足关系 1 1 3521 2 3 12 150 f nn nnn 写出明年第个月这种商品需求量 万件 n g n 与月份的函数关系式 n 三 总结提升 学习小结 1 两类实际问题 投资回报 设计奖励方案 2 几种函数模型 一次函数 对数函数 指数函 数 3 应用建模 函数模型 知识拓展 解决应用题的一般程序 4 2 9 1 2 3 4 y 1 t 月 专心 爱心 用心9 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量 关系 建模 将文字语言转化为数学语言 利用数学 知识 建立相应的数学模型 解模 求解数学模型 得出数学结论 还原 将用数学知识和方法得出的结论 还原 为实际问题的意义 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 某种细胞分裂时 由 1 个分裂成 2 个 2 个分 裂成 4 个 4 个分裂成 8 个 现有 2 个这样的 细胞 分裂x次后得到的细胞个数y为 A B y 2 C y 2 D 1 2xy 1x x y 2x 2 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大 调整 调整后初期利润增长迅速 后来增长越来 越慢 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调 整后利润y与时间x的关系 可选用 A 一次函数 B 二次函数 C 指数型函数 D 对数型函数 3 一等腰三角形的周长是 20 底边长y是关于腰 长x的函数 它的解析式为 A y 20 2x x 10 B y 20 2x x 10 C y 20 2x 5 x 10 D y 20 2x 5 x0 m 是大于或等于m的最小整数 职 3 3 3 7 4 则从甲地到乙地通话时间为 5 5 分钟的话费为 元 5 已知镭经过 100 年 质量便比原来减少 4 24 设质量为 1 的镭经过年后的剩留量为 xy 则的函数解析式为 yf x 课后作业 经市场调查 某商品在过去 100 天内的销售 量和价格均为时间 的函数 且销售量近似td 地满足 前 1109 33 g tt 1100t tN 40 天价格为 1 22 4 f tt 140t tN 后 40 天的价格为 52 2 t f t 41100t 试写出该种商品的日销售额S与时间 的tN t 函数关系 3 2 2 函数模型的应用实例 2 学习目标 1 通过一些实例 来感受一次函数 二次函数 指数函数 对数函数以及幂函数的广泛应用 体 54321 月 20 40 60 80 100 万台 A B 2008 年下学期 高一 月 日 班级 姓名 第三章 函数的应用 14 会解决实际问题中建立函数模型的过程 从而进 一步加深对这些函数的理解与应用 2 初步了解对统计数据表的分析与处理 学习过程 一 课前准备 预习教材P104 P106 找出疑惑之处 阅读 2003 年 5 月 8 日 西安交通大学医学院紧 急启动 建立非典流行趋势预测与控制策略数学 模型 研究项目 马知恩教授率领一批专家昼夜 攻关 于 5 月 19 日初步完成了第一批成果 并制 成了要供决策部门参考的应用软件 这一数学模型利用实际数据拟合参数 并对全 国和北京 山西等地的疫情进行了计算仿真 结 果指出 将患者及时隔离对于抗击非典至关重要 分析报告说 就全国而论 菲非典病人延迟隔离 1 天 就医人数将增加 1000 人左右 推迟两天约 增加工能力 100 人左右 若外界输入 1000 人中包 含一个病人和一个潜伏病人 将增加患病人数 100 人左右 若 4 月 21 日以后 政府示采取隔离措施 则高峰期病人人数将达 60 万人 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资 发布的数据 建立了非典流行趋势预测动力学模 型和优化控制模型 并对非典未来的流行趋势做 了分析预测 二 新课导学 典型例题 例 1 某桶装水经营部每天的房租 人员工资等固 定成本为 200 元 每桶水的进价是 5 元 销售单价 与日均销售量的关系如下表所示 销售单价 元 6789101112 日均销售 量 桶 480440400360320280240 请根据以上数据作出分析 这个经营部怎样定价 才能获得最大利润 变式 某农家旅游公司有客房 300 间 每间日房 租为 20 元 每天都客满 公司欲提高档次 并提 高租金 如果每间客房日增加 2 元 客房出租数 就会减少 10 间 若不考虑其他因素 旅社将房间 租金提高到多少时 每天客房的租金总收入最高 小结 找出实际问题中涉及的函数变量 根据变 量间的关系建立函数模型 利用模型解决实际问 题 小结 二次函数模型 例 2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值 如下表 身高 cm 体重 kg 身高 60708090100110 体重 6 137 909 9912 1515 0217 50 身高 120130140150160170 体重 20 9226 8631 1138 8547 2555 05 1 根据表中提供的数据 建立恰当的函数模型 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式 2 若体重超过相同身高男性平均值的 1 2 倍为 偏胖 低于 0 8 倍为偏瘦 那么这个地区一名身 高为 175cm 体重 78kg 的在校男生的体重是否正 常 小结 根据收集到的数据的特点 通过建立函数 模型 解决实际问题的基本过程 收集数据 画 专心 爱心 用心15 散点图 选择函数模型 求函数模型 检验 符 合实际 用函数模型解释实际问题 不符合实际 则重新选择函数模型 直到符合实际为止 动手试试 练 1 某同学完成一项任务共花去 9 个小时 他记 录的完成工作量的百分数如下 时间 小时 123456789 完成 百分数 1530456060708090100 1 如果用来表示h小时后完成的工作量的 T h 百分数 请问是多少 求出的解析式 5 T T h 并画出图象 2 如果该同学在早晨 8 00 时开始工作 什么 时候他未工作 练 2 有一批影碟 VCD 原销售价为每台 800 元 在甲 乙两家家电商场均有销售 甲商场用如下 方法促销 买一台单价为 780 元 买两台单价都 为 760 元 依次类推 每多买一台则所买各台单 价均再减少 20 元 但每台售价不能低于 440 元 乙商场一律都按原价的 75 销售 某单位需购买一 批此类影碟机 问去哪家商场购买花费较低 三 总结提升 学习小结 1 有关统计图表的数据分析处理 2 实际问题中建立函数模型的过程 知识拓展 根据散点图设想比较接近的可能的函数模型 一次函数模型 0 f xkxb k 二次函数模型 2 0 g xaxbxc a 幂函数模型 1 2 0 h xaxb a 指数函数模型 0 x l xabc 0 ab 1b 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶 液 漏斗下口暂且关闭 注入溶液量V 与溶液深度h的大概图象是 2 某种生物增长的数量与时间 的关系如下表 yt x 123 y 138 下面函数关系式中 能表达这种关系的是 A B 2 1yx 21 x y C D 21yx 2 1 52 52yxx 3 某企业近几年的年产值如下图 则年增长率 增长率 增长值 原产值 最高的是 A 97 年 B 98 年 C 99 年 D 00 年 4 某杂志能以每本 1 20 的价格发行 12 万本 设 定价每提高 0 1 元 发行量就减少 4 万本 则杂 志的总销售收入y万元与其定价x的函数关系是 5 某新型电子产品 2002 年投产 计划 2004 年使 其成本降低 36 则平均每年应降低成本 课后作业 某地新建一个服装厂 从今年 7 月份开始投产 并且前 4 个月的产量分别为 1 万件 1 2 万件 1 3 0099989796 年 200 400 600 800 1000 万元 2008 年下学期 高一 月 日 班级 姓名 第三章 函数的应用 16 万件 1 37 万件 由于产品质量好 服装款式新 颖 因此前几个月的产品销售情况良好 为了在 推销产品时 接收定单不至于过多或过少 需要 估测以后几个月的产量 你能解决这一问题吗 第三章 函数的应用 复习 学习目标 1 体会函数的零点与方程根之间的联系 掌握零 点存在的判定条件 能用二分法求方程的近似解 初步形成用函数观点处理问题的意识 2 结合实际问题 感受运用函数概念建立模型的 过程和方法 体会函数在数学和其他学科中的重 要性 初步运用函数思想理解和处理现实生活和 社会中的简单问题 学习过程 一 课前准备 复习教材P86 P113 找出疑惑之处 复习 1 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续 yf x a b 不断的一条曲线 并且有 那么 函数在区间内有零点 yf x a b 复习 2 二分法基本步骤 确定区间 验证 给定精度 a b 0f af b A 求区间的中点 a b 1 x 计算 若 则就是函数的零 1 f x 1 0f x 1 x 点 若 则令 此时零点 1 0f af x A 1 bx 若 则令 此 01 xa x 1 0f xf b A 1 ax 时零点 01 xx b 判断是否达到精度 即若 则得到 ab 零点零点值a 或b 否则重复步骤 复习 3 函数建模的步骤 根据收集到的数据的特点 通过建立函数模型 解决实际问题的基本过程 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 检验 符合实际 用函数模型解释实际问题 不符合实际 则重新 选择函数模型 直到符合实际为止 二 新课导学 典型例题 例 1 已知二次方程的两个根 2 2 310mxmx 分别属于 1 0 和 0 2 求的取值范围 m 例 2 某工厂生产某产品x吨所需费用P元 而卖 出x吨的价格为每吨Q元 已知 P 1000 5x x2 Q a 1 10 x b 1 试写出利润y关于x的函数 2 若生产出的产品能全部卖掉 且当产量为 150 吨时利润最大 此时每吨价格为 40 元 求实 数a b的值 例 3 将沸腾的水倒入一个杯中 然后测得不同时 刻温度的数据如下表 时间 S 60120180240300 温度 86 8681 3776 4466 1161 32 时间 S 360420480540600 温度 53 0352 2049 9745 9642 36 1 描点画出水温随时间变化的图象 2 建立一个能基本反映该变化过程的水温 关于时间的函数模型 并作出其图y x s 专心 爱心 用心17 象 观察它与描点画出的图象的吻合程度如何 3 水杯所在的室内温度为 18 根据所得的模 型分析 至少经过几分钟水温才会降到室温 再 经过几分钟会降到 10 对此结果 你如何评价 动手试试 练 1 某种商品现在定价每年p元 每月卖出n件 因而现在每月售货总金额np元 设定价上涨x成 卖出数量减少y成 售货总金额变成现在的 z 倍 1 用x和y表示z 2 若y x 求使售货 2 3 总金额保持不变的x值 练 2 如图 在底边BC 60 高 AD 40 的 ABC中作内接矩形 MNPQ 设矩形面积为S MN x 1 写出面积S以x为自变量 的函数式 并求其定义域 2 求矩形面积的最大值及相应的x值 三 总结提升 学习小结 零点存在定理及二分法 函数建模 知识拓展 数学模型 对于现实中的原型 为了某个特定 目的 作出一些必要的简化和假设 运用适当的 数学工具得到一个数学结构 也可以说 数学建 模是利用数学语言 符号 式子与图象 模拟现 实的模型 把现实模型抽象 简化为某种数学结 构是数学模型的基本特征 它或者能解释特定现 象的现实状态 或者能预测到对象的未来状况 或者能提供处理对象的最优决策或控制 数学建模 Mathematical Modelling 把现实 世界中的实际问题加以提炼 抽象为数学模型 求出模型的解 验证模型的合理性 并用该数学 模型所提供的解答来解释现实问题 我们把数学 知识的这一应用过程称为数学建模 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 函数的实数解落在的区间是 5 3f xxx A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 2 下列函数关系中 可以看着是指数型函数 模型的是 x yka 01 kR aa 且 A 竖直向上发射的信号弹 从发射到落回地面 信号弹的高度与时间的关系 不计空气阻力 B 我国人口年自然增长率为 1 这样我国人口 总数随年份的变化关系 C 如果某人 ts 内骑车行进了 1km 那么此人骑 车的平均速度 v 与时间 t 的函数关系 D 信件的邮资与其重量间的函数关系 3 用长度为 24 的材料围一个矩形场地 中间且 有两道隔墙 要使矩形的面积最大 则隔墙的长 度为 A 3 B 4 C 6 D 12 4 若函数没有零点 则实数a 2 2f xxxa 的取值范围是 5 已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x 2008 年下学期 高一 月 日 班级 姓名 第三章 函数的应用 18 满足关系y a 0 5 x b 现已知该厂今年 1 月 2 月生产该产品分别为 1 万件 1 5 万件 则此厂 3 月份该产品的产量为 课后作业 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪 指挥部的电话线路发生了故障 这是一条 10km 长 的线路 如何迅速查出故障所在 如果沿着线路 一小段一小段查找 困难很多 每查一个点要爬 一次电线杆 10km 长 大约有 200 多根电线杆子 呢 想一想 维修线路的工人师傅怎样工作最合 理 要把故障可能发生的范围缩小到 50 100m 左 右 即一两根电线杆附近 要查多少次 必修一模块总复习 学习目标 1 理解集合有关概念和性质 掌握集合的交 并 补等三种运算的 会利用几何直观性研究问题 如数轴分析 Venn图 2 深刻理解函数的有关概念 理解对应法则 图 象等有关性质 掌握函数的单调性和奇偶性 3 掌握指数函数 对数函数的概念 会作指数函 数 对数函数的图象 并能根据图象说出指数函 数 对数函数的性质 了解五个幂函数的图象及 性质 4 体会函数的零点与方程根之间的联系 掌握零 点存在的判定条件 能用二分法求方程的近似解 5 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函 数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模 型 的广泛应用 学习过程 一 课前准备 复习教材P2 P113 找出疑惑之处 复习 1 集合部分知识结构 复习 2 函数部分知识结构 二 新课导学 典型例题 例 1 已知全集 U 集合A 06 xNx 集合B 求 15 xNx 26 xNx 1 2 3 AB U C AB UU C AC B 例 2 对于函数 2 21 x f xa aR 1 探索函数的单调性 f x 2 是否存在实数使函数为奇函数 a f x 专心 爱心 用心19 例 3 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销 路 该产品的广告效应应该是产品的销售额与广 告费之间的差 如果销售额与广告费的算术平方 根成正比 根据对市场进行抽样调查显示 每付 出 100 元的广告费 所得的销售额是 1000 元 问 该企业应