广东饶平二中2011高考数学第一轮复习 函数性质（1）学案

用心 爱心 专心 广东饶平二中广东饶平二中 2011 高考第一轮学案 函数的性质高考第一轮学案 函数的性质 1 一 单调性 1 定义 注意定义是相对与某个具体的区间而言 2 判定方法有 a 定义法 作差比较和作商比较 b 导数法 适用于多项式函数 c 复合函数法和图像法 3 应用 比较大小 证明不等式 解不等式 二 奇偶性 1 定义 注意区间是否关于原点对称 比较 f x 与 f x 的关系 f x f x 0 f x f x f x 为偶函数 f x f x 0 f x f x f x 为奇函数 2 判别方法 定义法 图像法 复合函数法 3 应用 把函数值进行转化求解 三 周期性 1 定义 若函数 f x 对定义域内的任意 x 满足 f x T f x 则 T 为函数 f x 的周期 其他 若函数 f x 对定义域内的任意 x 满足 f x a f x a 则 2a 为函数 f x 的周 期 2 应用 求函数值和某个区间上的函数解析式 练习 1 下列函数中 在区间上是增函数的是 B 0 A B C D 84 2 xxy log 2 1 xy 1 2 x yxy 1 2 函数的递减区间为 B 2 1 2 log 231 yxx A 1 B C D 4 3 2 1 2 1 3 若函数 12 1 x xf 则该函数在 上是 A 用心 爱心 专心 A 单调递减 无最小值 B 单调递减 有最小值 C 单调递增 无最大值 D 单调递增 有最大值 4 已知函数 0 4 0 4 2 2 xxx xxx xf若 2 2 faf a 则实数a 的取值范围是 C A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 考点定位 本小题考查分段函数的单调性问题的运用 以及一元二次不等式的求解 解析 由题知 xf在R上是增函数 由题得aa 2 2 解得12 a 故选择 C 5 已知 51 2 a 函数 x f xa 若实数m n满足 f mf n 则m n的大小 关系为 解析 考查指数函数的单调性 51 0 1 2 a 函数 x f xa 在 R 上递减 由 f mf n 得 m n 6 若函数5 2 xmxy在 2 上是增函数 则m的取值范围是 4 1 0 m 7 求函数 f x 的单调区间 并证明其单调性 2 1 x x 解法一解法一 f x 的定义域为 R 在定义域内任取 则 12 xx 121212 12 22 1212 1 11 1 1 xxxxx x f xf x xxxx 其中 0 0 0 12 xx 2 1 1x 2 2 1x 1 当 1 1 时 即 1 1 所以 1 则 1 1 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 0 0 2 x 1 f x 2 f x 1 f x 2 f x 所以 f x 为减函数 2 当 1 时 1 1 x 2 x 1 x 2 x 1 f x 2 f x 所以 f x 为减函数 综上所述 f x 在 1 1 上是增函数 在 1 和 上是减函数 解法二解法二 f x 的定义域为 R fx 22 2222 1 21 1 1 xx xx xx A 用心 爱心 专心 令 0 得 1 x 1 fx 1 或 x 1 fx f x 的单调增区间是 1 1 单调减区间是 1 点评 1 判断或证明函数的单调性常用的思路主要有 用函数单调性的定义 求导 数 在判断导函数在所要求讨论的区间上的符号 利用复合函数的单调性等 2 利用定义时 要注意 1 的正负判断 1 形式的判断 一般设 再 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 令 0 得 1 从而找到分界点 2 1 x 1 x 8 定义在上的函数为减函数 求满足不等式的的值的集 4 1 xf 2 1 2 4 0fafa a 合 21 af 0 4 2 af 21 af 4 2 af 又定义在上的减函数 xf 4 1 即 2 2 1 1 24 144 1 24 a a aa 30 33 13 a a a 10a 所以 满足题意的取值的集合为 a 01 aa 点评 这是抽象函数的单调性问题 首先应该注意函数的定义域不能扩大或缩小 再 是通过合理变形 根据单调性 脱去 f 得到具体的数学式 然后进行求解 或论证 9 已知函数 1 0 1 2 2 x x axxf 1 若是增函数 求a的取值范围 2 求上的最大值 1 0 xxf在 1 0 在区间xf 解 1 即恒成立对命题等价于 1 0 0 2 2 3 xxf x axf 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1 0 1 1 3 3 max 33 也是增函数在 时当时而当 为增函数在而 xf xfx x x xfa gxga x x xg x a 综上 a的取值范围是1 a 2 12 1 1 0 1 max afxfxfa为增函数在时当 当 1 0 1 1 1 0 2 2 1 33 3 aa x x axfa得令时 用心 爱心 专心 综上所述 max 1 1 21 af xfa 当时 32 max 3 1 1 3 af xfa a 当时 点评 利用导数研究函数的单调性 要注意导函数的正负情况 求函数的最值 给出函 数极大 小 值的条件 一定既要考虑 0 又要考虑检验 左正右负 fx 左负右正 的转化 否则条件没有用完 这一点要注意 10 判断下列函数的奇偶性 1 1 0 1612 1 2 0 0 2 1 1 0 xx x nxxx f xf xx nxxx 22 2 3 1 11 1 f xogxx 1 函数定义域为 R 2 2116 1 4 161 211 16 1 2 2 2116 xfxf x xx x x x x x x xx f x 为偶函数 另解 先化简 显然为偶函数 1441 4 116 xx x x xf xf 从这可以看出 化简后再解决要容易得多 2 须要分两段讨论 设 1 1 1 1 1 1 1 0 0 xfxxn xx nxxnxfxx 设 1 1 1 1 1 1 1 0 0 xfxxn xx nxxnxfxx 当 x 0 时 f x 0 也满足 f x f x 由 知 对 x R 有 f x f x f x 为奇函数 3 函数的定义域为 1 01 01 2 2 2 x x x 1 x f x log21 0 x 1 即 f x 的图象由两个点 A 1 0 与 B 1 0 组成 这两点 既关于 y 轴对称 又关于原点对称 f x 既是奇函数 又是偶函数 11 函数11 xxy是 D 3 32 max 3 1 1 1 3 fxx a af xfa a 且的值在处左正右负 当时 用心 爱心 专心 A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 12 已知是偶函数 定义域为 则 0 2 3f xaxbxab 1 2 aa a 1 3 b 13 若 1 21 x f xa 是奇函数 则a 1 2 解析 解法 1 12 211 2 x xx fxaa fxf x 21121 21 1 2211 21 22 xx xxxx aaaa 故 14 设函数 xfy 是奇函数 若3 2 1 3 1 2 ffff 则 2 1 ff 3 15 已知函数 xf是定义在 上的偶函数 当 0 x时 4 xxxf 则当 0 x时 xf x x4 16 已知函数 f x为R上的奇函数 当0 x 时 1 f xx x 若 2f a 则实数 a 1 17 若函数 2 a f xxa x R 则下列结论正确的是 A a R f x在 0 上是增函数 B a R f x在 0 上是减函数 C a R f x是偶函数 D a R f x是奇函数 18 已知偶函数 f x在区间 0 单调增加 则满足 21 fx 1 3 f的 x 取值范围是 A A 1 3 2 3 B 1 3 2 3 C 1 2 2 3 D 1 2 2 3 19 已知函数 f x是 上的偶函数 若对于0 x 都有 2 f xf x 且当 0 2 x 时 2 log 1f xx 则 2008 2009 ff 的值为 C A 2 B 1 C 1 D 2 20 已知定义域为 R 的函数 xf在区间 8上为减函数 且函数 8 xfy为偶函数 则 D A 76ff B 96ff C 97ff D 107ff 用心 爱心 专心 21 函数 f x对于任意实数x满足条件 1 2f x f x 若 15 f 则 5ff 5 1 22 定义在R上的函数 xf是奇函数又是以2为周期的周期函数 则 741fff 等于 B A 1 B 0 C 1 D 4 23 设 f x 是定义在 R 上的函数 且在 上是增函数 又 F x f x f x 那么 F x 一定是 A A 奇函数 且在 上是增函数 B 奇函数 且在 上是减函数 C 偶函数 且在 上是增函数D 偶函数 且在 上是减函数 24 已知函数 f x g x在 R 上有定义 对任意的 x yR 有 f xyf x g yg x f y