江苏省盐城市田家炳中学2010届高三数学知识点汇编

用心 爱心 专心 江苏省盐城市田家炳中学江苏省盐城市田家炳中学 2010 届高三数学知识点汇编届高三数学知识点汇编 一一 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1 1 注意区分集合中元素的形式 如 lg x yx 函数的定义域 lg y yx 函数的值域 lg x yyx 函数图象上的点集 2 2 集合的性质 任何一个集合A是它本身的子集 记为AA 空集是任何集合的子集 记为A 空集是任何非空集合的真子集 注意 当AB 在讨论的时候不要遗忘了A 的情况 如 012 2 xaxxA 如果AR 求a的取值 答 0a 含n个元素的集合的子集个数为2n 真子集 非空子集 个数为21 n 非空真子集个数 为22 n 3 3 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 如 如 已知函数12 2 24 22 ppxpxxf在区间 1 1 上至少存在一个实数c 使0 cf 求实数p的取值范围 答 3 2 3 4 4 原命题 pq 逆命题 qp 否命题 pq 逆否命题 qp 互为 逆否的两个命题是等价的 如 sinsin 是 的 条件 答 充分非必要条件 5 5 若pq 且qp 则p是q的充分非必要条件 或q是p的必要非充分条件 6 6 注意命题pq 的否定否定与它的否命题否命题的区别 命题pq 的否定否定是pq 否命题否命题是 pq 命题 p或q 的否定是 p 且q p且q 的否定是 p 或q 如如 若a和b都是偶数 则ba 是偶数 的否命题是 若a和b不都是偶数 则ba 是 奇数 否定是 若a和b都是偶数 则ba 是奇数 7 7 常见结论的否定形式 二二 函数函数 1 1 映射f AB 是 一对一或多对一 的对应 集合A中的元素必有象且A中 不 同元素在B中可以有相同的象 集合B中的元素不一定有原象 即象集B 一一映射f AB 一对一 的对应 A中不同元素的象必不同 B中元素都 有原象 2 2 函数f AB 是特殊的映射 特殊在定义域A和值域B都是非空数集 据此可知函数图 像与x轴的垂线至多有一个公共点 但与y轴垂线的公共点可能没有 也可能有任意个 3 3 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则 4 4 求定义域 使函数解析式有意义 如 分母0 偶次根式被开方数非负 对数真数0 底数 0 且1 零指数幂的底数0 实际问题有意义 原结论否定原结论否定 是不是至少有一个一个也没有 都是不都是至多有一个至少有两个 大于不大于至少有n个至多有1n 个 小于不小于至多有n个至少有1n 个 对所有x 成立存在某x 不成立p或qp 且q 对任何x 不成立存在某x 成立p且qp 或q 用心 爱心 专心 5 5 求值域常用方法 配方法 二次函数类 逆求法 反函数法 换元法 特别注意新 元的范围 三角有界法 转化为只含正弦 余弦的函数 运用三角函数有界性来求值域 不等式法 单调性法 数形结合 根据函数的几何意义 利用数形结合的方法来求值 域 判别式法 慎用 导数法 一般适用于高次多项式函数 6 6 求函数解析式的常用方法 待定系数法 已知所求函数的类型 代换 配凑 法 方程的思想 对已知等式进行赋值 从而得到关于 f x及另外一个函数的方程组 7 7 函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的 确定奇偶性方法有定义法 图 像法等 若 f x是偶函数 那么 f xfxfx 定义域含零的奇函数必过原点 0 0f 判断函数奇偶性可用定义的等价形式 0f xfx 或 1 0 fx f x f x 注意 注意 若判断较为复杂解析式函数的奇偶性 先化简再判断 既奇又偶的函数有无数 个 如 0f x 定义域关于原点对称即可 奇函数在对称的单调区间内有相同单调性 偶函数在对称的单调区间内有相反单调性 确定函数单调性的方法有定义法 导数法 图像法和特值法 用于小题 等 复合函数单调性由 同增异减 判定 提醒 求单调区间时注意定义域 8 8 函数图象的几种常见变换 平移变换 左右平移 左加右减 注意是针对x而言 上下平移 上加下减 注意是针对 f x而言 翻折变换 f xf x f xfx 对称变换 证明函数图像的对称性 即证图像上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在图像上 证明图像 1 C与 2 C的对称性 即证 1 C上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在 2 C上 反 之亦然 函数 yf x 与 yfx 的图像关于直线0 x y轴 对称 函数 yf x 与函数 yfx 的图像关于直线0y x轴 对称 若函数 yf x 对xR 时 f axf ax 或 2 f xfax 恒成立 则 yf x 图像关于直线xa 对称 9 9 函数的周期性 若 yf x 是偶函数 其图像又关于直线xa 对称 则 f x的周期为2 a 若 yf x 奇函数 其图像又关于直线xa 对称 则 f x的周期为4 a 10 10 对数 loglog n n a a bb 0 1 0 aabnR 对数恒等式 log 0 1 0 aN aN aaN log loglog logloglog loglog n aaaaaaaa M N M NMNMNMnM 1 loglog n aa M n M 对数换底公式 log log log b b a N a N 0 1 0 1 aabb 以上 12 0 0 0 1 0 1 0 1 0 n MNaabbcca aa 用心 爱心 专心 11 11 af x 恒成立 af x 最大值 af x 恒成立 af x 最小值 12 12 恒成立问题的处理方法 分离参数法 最值法 转化为一元二次方程根的分布问题 13 13 处理二次函数的问题勿忘数形结合 二次函数在闭区间上必有最值 求最值问题用 两 看法 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 14 14 二次函数解析式的三种形式 一般式 2 0 f xaxbxc a 顶点式 2 0 f xa xhk a 零点式 12 0 f xa xxxxa 15 15 一元二次方程实根分布 先画图再研究0 轴与区间关系 区间端点函数值符号 16 16 函数 0 0 b x yaxab 增区间为 bb aa 减区间为 0 0 bb aa 如 函数 1 2 ax x f x 在区间 2 上为增函数 实数a的取值范围是 答 1 2 三三 数列数列 1 1 由 n S求 n a 1 1 1 2 n nn S n a SSnnN 注意验证 1 a是否包含在后面 n a的公式中 若不符 合要单独列出 如 数列 n a满足 111 5 3 4 nnn aSSa 求 n a 答 1 4 1 3 4 2 n n n a n 2 2 等差数列 1 定义 成等差数列 2 1nnn andaa 2 通项公式 BAndnaan 1 1 推广 dmnaa mn 3 前 n 项和公式 BnAnd nn nan aa S n n 2 1 1 2 1 2 等差数列 1 nnn aaad d为常数 11 2 2 nnn aaannN 2 11 22 nn dd aanb ad badSAnBn ABa 3 3 等差数列的性质 nm aanm d mn aa mn d mnlk mnlkaaaa 反之不一定成立 当2mnp 时 有2 mnp aaa 等差数列的 间隔相等的连续等长片断和序列 即 232 mmmmm SSSSS 仍是等 差数列 首项为正 或为负 的递减 或递增 的等差数列前 n 项和的最大 或最小 问题 转化为解 不等式 1 0 0 n n a a 或 1 0 0 n n a a 也可用 2 n SAnBn 的二次函数关系来分析 4 4 等比数列 1 定义 成等比数列 0 0 2 1 nn n n aqanq a a 2 通项公式 1 1 n n qaa 3 前 n 项和 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 用心 爱心 专心 等比数列 1 21 111 0 2 n n n nnnnn a a aq qaaannNaa q 5 5 等比数列的性质 若 n a n b是等比数列 则 n ka nn a b等也是等比数列 111 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 n n nn qqaaaaa qqqq na qna q S qqq mnlk mnlka aa a 反之不一定成立 等比数列中 232 mmmmm SSSSS 注 各项均不为注 各项均不为 0 0 仍是等比数列 7 7 数列的通项的求法 公式法 等差数列通项公式 等比数列通项公式 已知 n S 即 12 n aaaf n 求 n a用作差法 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 已知 12 n aaaf n 求 n a用作商法 1 1 1 2 n f n f n fn a n 若 1 nn aaf n 求 n a用迭加法 已知 1 n n a a f n 求 n a用迭乘法 8 8 数列求和的方法 公式法 等差数列 等比数列求和公式 分组求和法 倒序相加 错位相减 分裂通项法 公式 1 2 123 1 nn n 常见裂项公式 111 1 1n nnn 9 9 分期付款 森林木材 型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题 但在求解过程中 务必 卡手指 细心计算 年限 利率问题 单利问题 如零存整取储蓄 单利 本利和计算模型 若每期存入本金 p元 每期利率为r 则n期后本利和为 1 2 1 12 1 n n n Sprprpnrp nr 等差数列问题 复利问题 按揭贷 款的分期等额还款 复利 模型 若贷款 向银行借款 p元 采用分期等额还款方式 从借款日 算起 一期 如一年 后为第一次还款日 如此下去 分n期还清 如果每期利率为r 按复利 那么每期等额还款x元应满足 12 1 1 1 1 nnn prxrxrxrx 等比数列问题 四四 三角函数三角函数 1 1 终边与 终边相同2 kkZ 终边与 终边共线 kkZ 终边与 终边关于x轴对称 kkZ 终边与 终边关于y轴对称2 kkZ 终边与 终边关于原点对称 2 kkZ 终边与 终边关于角 终边对称22 kkZ 2 2 弧长公式 lr 扇形面积公式 2 11 22 Slrr 扇形 1弧度 1rad 57 3 3 3 三角函数符号 正号 规律记忆口诀 一全二正弦一全二正弦 三切四余弦三切四余弦 4 4 对于诱导公式 可用 奇变偶不变 符号看象限 概括 注意 公式中始终视 为锐角 5 5 角的变换 已知角与特殊角 已知角与目标角 已知角 与其倍角或半角 两角与其和差角等变换 如 2 2 2 2 222 等 1 的变换 用心 爱心 专心 22 1sincostancot2sin30tan45xxxx 6 6 辅助角公式 22 sincossin abaxbxx 其中tan b a 7 7 降幂公式 2 2cos1 sin2 2 cos 1cos2 2 8 8 熟知正弦 余弦 正切的和 差 倍公式 正 余弦定理 处理三角形内的三角函数问 题勿忘三内角和等于180 一般用正 余弦定理实施边角互化 正弦定理 sinsinsin 2 abc ABC R 余弦定理 22222 222 22 2cos cos1 bcabca bcbc abcbcAA 面积公式 1 24 sin abc R SabC 10 10 ABC 中 易得 ABC sinsin ABC coscos ABC tantan ABC 22 sincos ABC 22 cossin ABC sinsinabABAB 11 11 角的范围 异面直线所成角 2 0 直线与平面所成角 2 0 二面角和两向量的夹角 0 直线的倾斜角 0 1 l与 2 l的夹角 2 0 12 12 用心 爱心 专心 五五 平面向量平面向量 1 1 设 11 ax y 22 bxy 1 1221 0abx yx y 2 1212 00aba bx xy y 2 2 平面向量基本定理 如果 1 e 和 2 e 是同一平面内的两个不共线的向量 那么对该平面内的任 一向量a 有且只有一对实数 1 2 使 1 122 aee 3 3 设 11 ax y 22 bxy 则 1212 cosa ba bx xy y 其几何意义是a b 等于a 的 长度与b 在a 的方向上的投影的乘积 a 在b 的方向上的投影 1212 22 22 cos x xy ya b a b xy 4 4 三点A B C共线AB 与AC 共线 与AB 共线的单位向量 AB AB 5 5 平面向量数量积性质 设 11 ax y 22 bxy 则 1212 2222 1122 cos x xy ya b a b xyxy 注意注意 a b 为锐角0a b a b 不同向 a b 为钝角0a b a b 不反向 6 6 平面向量数量积的坐标表示 若 11 ax y 22 bxy 则 1212 a bx xy y 22 1212 ABxxyy 若 ax y 则 2 22 aa axy 7 7 1 P P 2 P三点共线 存在实数 使得 12 OPOPOP 且1 8 8 1 3 0PGPAPBPCGAGBGCG 为ABC 的重心 9 9 PA PBPB PCPA PCP 为ABC 的垂心 0BC PACA PBAB PCP 为ABC 的内心 0 ABAC ABAC 所在直线过ABC 内心 六六 不等式不等式 1 1 掌握课本上的几个不等式性质 注意使用条件 另外需要特别注意 若0ab ba 则 11 ab 即不等式两边同号时 不等式两边取倒数 不等号方向要改变 如果对不等式两边同时乘以一个代数式 要注意它的正负号 如果正负号未定 要注意分 类讨论 2 2 掌握几类不等式 一元一次 二次 绝对值不等式 简单的指数 对数不等式 的解法 尤 其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式 勿忘数轴标根法 零点分区间法 3 3 掌握重要不等式 1 若0 ba 则 22 2 2211 abab ab ab 当且仅当ba 时取等号 使用条件 使用条件 一正二定三相等一正二定三相等 常用的方法为 拆 凑 平方等 2 公式注意变形如 22 2 22 abab 2 2 ab ab 用心 爱心 专心 O k 4 4 证明不等式常用方法 比较法 作差比较 0ABAB 注意 若两个正数作 差比较有困 难 可以通过它们的平方差来比较大小 综合法 由因导果 分析法 执果 索因 基本步骤 要证 需证 只需证 反证法 正难则反 放缩法 将不等式一 侧适当的放大或缩小以达证题目的 放缩法的方法有 添加或舍去一些项 如 2 1 aa 1 n nn 将分子或分母放大 或缩小 换元法 换元的目的就是减少不 等式中变量 以使问题化难为易 化繁为简 常用的换元有三角换元 代数换元 如 知 222 xya 可设cos sinxaya 知 22 1xy 可设cosxr sinyr 01r 知 22 22 1 xy ab 可设cos sinxayb 已知 22 22 1 xy ab 可设sec tanxayb 最 值法 如 af x 最大值 则 af x 恒成立 af x 最小值 则 af x 恒成立 七七 直线和圆的方程直线和圆的方程 1 1 直线的倾斜角 的范围是 0 2 2 直线的倾斜角与斜率的变化关系 2 tan k 如右图 3 3 直线方程五种形式直线方程五种形式 点斜式点斜式 已知直线过点 00 xy斜率为k 则直线 方程为 00 yyk xx 它不包括垂直于x轴的直线 斜截式斜截式 已知直线在y轴上的截 距为b和斜率k 则直线方程为ykxb 它不包括垂直于x轴的直线 两点式两点式 已知直 线经过 111 P x y 222 P xy两点 则直线方程为 11 2121 yyxx yyxx 它不包括垂直于坐标轴的 直线 截距式截距式 已知直线在x轴和y轴上的截距为 a b 则直线方程为1 xy ab 它不包括 垂直于坐标轴的直线和过原点的直线 一般式一般式 任何直线均可写成0AxByC A B不 同时为 0 的形式 提醒提醒 直线方程的各种形式都有局限性 如点斜式不适用于斜率不存在的直线 还有截距 式呢 直线在坐标轴上的截距可正 可负 也可为0 直线两截距相等 直线的斜率为 1 或直线过原点 直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点 直线两截距绝 对值相等 直线的斜率为1 或直线过原点 截距不是距离 截距相等时不要忘了过原点的 特殊情形 4 直线 1111 0lA xB yC 与直线 2222 0lA xB yC 的位置关系 平行 1221 0ABA B 斜率 且 1221 0BCB C 在y轴上截距 相交 1221 0ABA B 3 重合 1221 0ABA B 且 1221 0BCB C 5 直线系方程 过两直线 1 l 111 0A xB yC 2 l 222 0A xB yC 交点的直线系方 程可设为 111222 0A xB yCA xB yC 与直线 0l AxByC 平行的直线系方 程可设为0 AxBymmc 与直线 0l AxByC 垂直的直线系方程可设为 0BxAyn 6 夹角公式 1 l与 2 l的夹角是指不大于直角的角 2 0 且 21 1 2 12 1 tan 1 kk k k k k 7 7 点 00 P xy到直线0AxByC 的距离公式 00 22 AxByC d AB 两条平行线 1 0AxByC 与 2 0AxByC 的距离是 12 22 CC d AB 8 8 设三角形ABC 三顶点 11 A x y 22 B xy 33 C xy 则重心 123123 33 xxxyyy G 用心 爱心 专心 9 9 圆的标准方程 222 xaybr 圆的一般方程 2222 0 40 xyDxEyFDEF 特别提醒特别提醒 只有当 22 40DEF 时 方程 22 0 xyDxEyF 才表示圆心为 22 DE 半径为 22 1 4 2 DEF 的圆 二元二次方程 22 0AxBxyCyDxEyF 表示 圆0AC 且 22 0 40BDEAF 10 10 点和圆的位置关系的判断通常用几何法 计算圆心到直线距离 点 00 P xy及圆的方程 222 xaybr 222 00 xaybr 点P在圆外 222 00 xaybr 点P在圆内 222 00 xaybr 点P在圆上 11 11 直线与圆的位置关系 通常转化为圆心距与半径的关系 或者利用垂径定理 构造直角三 角形解决弦长问题 dr 相离 dr 相切 dr 相交 12 12 圆与圆的位置关系 经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系 设两圆的圆心距 为d 两圆的半径分别为 r R dRr 两圆相离 dRr 两圆相外切 RrdRr 两圆相交 dRr 两圆相内切 dRr 两圆内含 0d 两圆同心 13 13 过圆 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 交点的圆 相交 弦 系方程为 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 1 时为两圆相交 弦所在直线方程 14 14 解决直线与圆的关系问题时 要充分发挥圆的平面几何性质的作用平面几何性质的作用 如半径 半弦长 弦 心距构成直角三角形 切线长定理 割线定理 弦切角定理等等 八八 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 一 椭圆 定义 若 F1 F2是两定点 P 为动点 且 2121 2FFaPFPF a为常数 则 P 点的轨迹是椭圆 定义 若 F1为定点 l 为定直线 动点 P 到 F1的距离与到定直线 l 的距离之比为常 数 e 0 e1 则动点 P 的 轨迹是双曲线 二 图形 三 性质 方程 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 1 2 2 2 2 b x a y 0 0 ba 定义域 axaxx 中 值域为 R 实轴长 a2 虚轴长 2b 焦距 2c 准线方程 c a x 2 注意 1 图中线段的几何特征 1 AFacBF 2 2 AFcaBF 1 用心 爱心 专心 顶点到准线的距离 c a a c a a 22 中 焦点到准线的距离 c a c c a c 22 中 两准线间的距离 c a 2 2 2 若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程 0 2 2 2 2 b y a x x a b y 若渐近线方程为x a b y 0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x 若双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线 可设为 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在 x 轴上 0 焦点在 y 轴上 3 特别地当 中 ba离心率2 e 两渐近线互相垂直 分别为 y x 此 时双曲线为等轴双曲线 可设为 22 yx 4 注意 21F PF 中结合定义aPFPF2 21 与余弦定理 21 cosPFF 将有关 线段 1 PF 2 PF 21F F和角结合起来 5 完成当焦点在 y 轴上时 标准方程及相应性质 三 抛物线 一 定义 到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线 即 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e e 1 二 图形 三 性质 方程 中中中 pppxy 0 2 2 焦点 0 2 p 通径pAB2 准线 2 p x 用心 爱心 专心 注意 1 几何特征 焦点到顶点的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 通径长 p2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点 2 抛物线pxy2 2 上的动点设为 P 2 2 y p y 或中 2 2 2 ptptPP pxyyx2 2 中中 九九 直线 平面 简单几何体直线 平面 简单几何体 1 1 异面直线所成角的求法 平移法 在异面直线中的一条直线中选择一特殊点 作另一条 的平行线 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体 长 方体等 其目的在于容易发现两条异面直线间的关系 2 2 直线与平面所成角 过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段 是产生线面角的关键 3 3 空间距离的求法 两异面直线间的距离 高考要求是给出公垂线 所以一般先利用垂直 作出公垂线 然后再进行计算 求点到直线的距离 一般用三垂线定理作出垂线再求解 求点到平面的距离 一是用垂面法 借助面面垂直的性质来作 因此 确定已知面的垂面是关键 二是不作出公垂线 转化为求三棱锥的高 利用等体积法列方程求解 4 4 正四面体正四面体 设棱长为设棱长为a 的性质 的性质 全面积 2 3Sa 体积 3 2 12 Va 对棱间的距离 2 2 da 外接球半径 6 4 Ra 内切球半径 6 12 ra 正四面体内任一点到各面距离之和为定值 6 3 ha 5 5 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长 6 6 球的体积公式 3 4 3 VR 表面积公式 2 4SR 掌握球面上两点A B间的距离求法 计算线段AB的长 计算球心角AOB 的弧度数 用弧长公式计算劣弧AB的长 7 7 用心 爱心 专心 十十 导数导数 1 导数的定义 f x在点 0 x处的导数记作 0 00 0 0 lim x x x f xxf x x yfx 2 2 函数 f x在点 0 x处有导数 则 f x的曲线在该点处必有切线 且导数值是该切线的斜率 但函数 f x的曲线在点 0 x处有切线 则 f x在该点处不一定可导 如