贵州省贵大附中2011届高三数学复习 实数与向量的积（1）教学案 旧人教版

用心 爱心 专心 1 课课 题题 实数与向量的积 实数与向量的积 1 1 教学目的 教学目的 1 掌握实数与向量积的定义 理解实数与向量积的几何意义 2 掌握实数与向量的积的运算律 3 理解两个向量共线的充要条件 能够运用共线条件判定两向量是否平行 教学重点 教学重点 掌握实数与向量的积的定义 运算律 理解向量共线的充要条件 教学难点 教学难点 对向量共线的充要条件的理解 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 1 向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量 有二个要素 大小 方向 2 向量的表示方法 用有向线段表示 用字母 等表示 3 零向量 单位向量概念 长度为 0 的向量叫零向量 长度为 1 个单位长度的向量 叫单位向量 4 平行向量定义 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定 0 0 与任一向量平行 向量 平行 记作 5 相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6 共线向量与平行向量关系 平行向量就是共线向量 7 向量的加法 向量的加法 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 8 向量加法的交换律 向量加法的交换律 a b b a 9 向量加法的结合律 向量加法的结合律 a b c a b c 10 向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量 叫做 a 与 b 的差即 a b a b 11 差向量的意义 OA a OB b 则BA a b 即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 二 讲解新课 二 讲解新课 1 示例 已知非零向量a 作出a a a 和 a a a OC BCABOA a a a 3a PN MNQMPQ a a a 3a 1 3a 与a 方向相同且 3a 3 a 2 3a 与a 方向相反且 3a 3 a 2 实数与向量的积 实数 与向量a 的积是一个向量 记作 a 1 a a 2 0 时 a 与a 方向相同 时 两边向量的方向都与 a 同向 当 0 且 1 时在平面内任取一点 O 作 OAa ABb 1OA a 11B A b 则 OBa b 1 OB a b 由作法知 AB 11B A有 OAB OA1B1 AB 11B A 用心 爱心 专心 3 111 AB BA OA OA OAB OA1B1 1 OB OB AOB A1OB1 因此 O B B1在同一直线上 1 OB OB 1 OB与 OB方向也相同 a b a b 当 0 时 可类似证明 a b a b 式成立 4 向量共线的充要条件 若有向量a a 0 b 实数 使b a 则a 与b 为共线向量 若a 与b 共线 a 0 且 b a 则当a 与b 同向时b a 当a 与b 反向时b a 从而得 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是 有且只有一个非零实数 使 b a 三 讲解范例 三 讲解范例 例例 1 1 若 3 2 3 其中 是已知向量 求 分析 此题可把已知条件看作向量 的方程 通过方程组的求解获得 解 记 3 2 3 得 得 11 11 1 11 3 将 代入 有 11 3 11 2 评述 在此题求解过程中 利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律 结合律 从 而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致 例例 2 2 凸四边形ABCD的边AD BC的中点分别为E F 求证EF 2 1 AB DC 解法一 构造三角形 使EF作为三角形中位线 借助于三角形中位线定理解决 过点C在平面内作CG AB 则四边形ABGC是平行四边形 故F为AG中点 EF是 ADG的中位线 EF DG 2 1 EF 2 1 DG 而DG DC CG DC AB 用心 爱心 专心 4 EF 2 1 AB DC 解法二 创造相同起点 以建立向量间关系 如图 连EB EC 则有EB EA AB EC ED DC 又 E是AD之中点 有EA ED 0 0 即有EB EC AB DC 以EB与EC为邻边作平行四边形EBGC 则由F是BC之中点 可得F也是EG之中点 EF 2 1 EG 2 1 EB EC 2 1 AB DC 四 课堂练习四 课堂练习 1 错例分析 判断向量 e e与 e e是否共线 对此题 有同学解答如下 解 e e e e 与 共线 分析 乍看上述解答 真是简单明快 然而 仔细研究题目已知 却发现 其解答存有问题 这是因为 原题已知中对向量e e并无任何限制 那么就应允许e e 0 0 而当 e e 0 0 时 显然 0 0 0 0 此时 不符合定理中的条件 且使 成立的 值也 不惟一 如 等均可使 成立 故不能应用定理来判断它们 是否共线 可见 对e e 0 0 的情况应另法判断才妥 综上分析 此题应解答如下 解 1 当e e 0 0 时 则 e e 0 0 由于 零向量与任一向量平行 且 平行向量也是共线向量 所以 此时 与 共线 2 当e e 0 0 时 则 e e 0 0 e e 0 0 这时满足定理中的 0 0 及有且只有一个实数 使得 成立 与 共线 综合 1 2 可知 与 共线 2 用向量法解决几何问题 向量是数学中重要概念之一 是解决数学问题的得力工具 它简洁明快 许多几何里的 命题 如果用向量知识来解决就显得格外简练 如图 MN是 ABC的中位线 求证 MN 2 1 BC 且MN BC 证明 M N分别是AB AC边上的中点 所以AM 2 1 AB AN 2 1 AC MN AN AM 2 1 AC 2 1 AB 2 1 AC AB 2 1 BC 用心 爱心 专心 5 因此 2 1 且 BC 五 小结五 小结 通过本节学习 要求大家掌握实数与向量的积的定义 掌握实数与向量的积的运 算律 理解两个向量共线的充要条件 并能在解题中加以运用 六 课后作业六 课后作业 1 当 Z 时 验证 a b a b 证 当 0 时 左边 0 a b 0 右边 0 a 0 b 0 分配律成立 当 为正整数时 令 n 则有 n a b a b a b a b a a a b b b b na nb 即 为正整数时 分配律成立 当为负整数时 令 n n 为正整数 有 n a b n a b n a b n a n b na nb na nb 分配律仍成立 综上所述 当 为整数时 a b a b 恒成立 2 如图 在 ABC 中 AB a BC b AD 为边 BC 的 中线 G 为 ABC 的重心 求向量AG 解法一 AB a BC b 则BD 2 1 BC 2 1 b AD AB BD a 2 1 b 而AG 3 2 AD AG 3 2 a 3 1 b 解法二 过 G 作 BC 的平行线 交 AB AC 于 E F AEF ABC AE 3 2 AB 3 2 a EF 3 2 BC 3 2 b EG 2 1 EF 3 1 b AG AE EG 3 2 a 3 1 b 3 在 ABCD 中 设对角线AC a BD b 试用a b 表示AB BC 解法一 AO OC 2 1 a BO 2 1 BD 2 1 b AB AO OB AO BO 2 1 a 2 1 b D A B M C M a b D A E M C M a bB M F M G M 用心 爱心 专心 6 BC BO OC OC BO 2 1 a 2 1 b 解二 设AB x BC y 则AB BC AC 即 x y a AD AB BD 即x y b x 2 1 a b y 2 1 a b 即 AB 2 1 a b BC 2 1 a b 4 设 1 e 2 e是两个不共线向量 已知AB 2 1 e k 2 e CB 1 e 3 2 e CD 2 1 e 2 e 若 三点 A B D 共线 求 k 的值 解 BD CD CB 2 1 e 2 e 1 e 3 2 e 1 e 4 2 e A B D 共线 AB BD共线 存在 使AB BD 即 2 1 e k 2 e 1 e 4 2 e 4 2 k