《平面向量的数量积》教学设计及反思

1 平面向量的数量积 教学设计及反思 交口第一中学 赵云鹏 平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算 也是 高中数学的一个重要概念 它是沟通代数 几何与三角函数的一种重要 工具 在每年高考中也是重点考查的内容 向量作为一种运算工具 其 知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的 它在解决几何问题中的三 点共线 垂直 求夹角和线段长度 确定定比分点坐标以及平移等问题 中显示出了它的易理解和易操作的特点 一 总体设想 本节课的设计有两条暗线 一是围绕物理中物体做功 引入数量积 的概念和几何意义 二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知 识 垂直的判断 求夹角和线段长度的公式 教学方案可从三方面加 以设计 一是数量积的概念 二是几何意义和运算律 三是两个向量的 模与夹角的计算 二 教学目标 1 了解向量的数量积的抽象根源 2 了解平面的数量积的概念 向量的夹角 3 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4 理解掌握向量的数量积的性质和运算律 并能进行相关的判断和计算 三 重 难点 重点 1 平面向量数量积的概念和性质 2 平面向量数量积的运算律的探究和应用 2 难点 平面向量数量积的应用 4 课时安排 2 课时 五 教学方案及其设计意图 1 平面向量数量积的物理背景 平面向量数量积的物理背景 平面向量的数量积 其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理 问题的抽象 首先说明放置在水平面上的物体受力 F 的作用在水平方向 上的位移是 s 此问题中出现了两个矢量 即数学中所谓的向量 这时物 体力 F 的所做的功为 W 这里的 是矢量 F 和 s 的夹角 也 cos sF 即是两个向量夹角的定义基础 在定义两个向量的夹角时 要使学生明 确 把向量的起点放在同一点上 这一重要条件 并理解向量夹角的范 围 这给我们一个启示 功是否是两个向量某种运算的结果呢 以此为 基础引出了两非零向量 a b 的数量积的概念 2 平面向量数量积 内积 的定义平面向量数量积 内积 的定义 已知两个非零向量 与 它们的夹角是 则数量 a b cos 叫 与 的数量积 记作 a b 即有 a b a b cos 并规定 0 与任何向量的数量积为 0 零向量的方向是任意的 它与任意向量的夹角是不确定的 按数量 积的定义 a b a b cos 无法得到 因此另外进行了规定 3 两个非零向量夹角的概念两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 与 作 则OAOB 3 叫 与 的夹角 是记法 是定义的实质 它是一个 cosbaba ba cosba 实数 按照推理 当时 数量积为正数 当时 数量积为 2 0 2 零 当时 数量积为负 2 4 4 投影投影 的概念的概念 定义 b cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 投影也是一个数量 它的符号取决于角 的大小 当 为锐角时投影 为正值 当 为钝角时投影为负值 当 为直角时投影为 0 当 0 时投 影为 b 当 180 时投影为 b 因此投影可正 可负 还可为零 根据数量积的定义 向量 b 在 a 方向上的投影也可以写成 a ba 注意向量 a 在 b 方向上的投影和向量 b 在 a 方向上的投影是不同的 应结合图形加以区分 5 向量的数量积的几何意义 向量的数量积的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 b cos 的乘积 向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用 其几 何意义实质上是将乘积拆成两部分 此概念也以物体做功和a cos b 为基础给出 是向量 b 在 a 的方向上的投影 cos b 4 6 两个向量的数量积的性质 两个向量的数量积的性质 设 a b 为两个非零向量 则 1 a b a b 0 2 当 a 与 b 同向时 a b a b 当 a 与 b 反向时 a b a b 特别的 a a a 2或 aaa 3 a b a b 4 其中 为非零向量a和b的夹角 cos ba ba 例例 1 1 已知向量 a b 满足 a与b的夹角为 则 b在a上的投2 b 0 60 影为 2 若 则 a 在 b 方向上投影为 4 b6 ba 例例 2 已知 按下列条件求3 a4 bba 1 2 3 a与b的夹角为 ba ba 0 150 7 平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律 1 交换律 a b b a 证 设 a b 夹角为 则 a b a b cos b a b a cos a b b a 2 数乘结合律 a b a b a b 证 若 0 a b a b cos a b a b cos a b a b cos 5 若 0 a b a b cos a b cos a b cos a b a b cos a b a b cos a b cos a b cos 3 分配律 a b c a c b c 在平面内取一点 O 作 a b c a b 即 OAABOCOB 在 c 方向上的投影等于 a b 在 c 方向上的投影和 即 a b cos a cos 1 b cos 2 c a b cos c a cos 1 c b cos 2 c a b c a c b 即 a b c a c b c 说明 1 一般地 2 0 3 有如下常用性质 例例 3 已知 a b 都是非零向量 且 a 3b 与 7a 5b 垂直 a 4b 与 7a 2b 垂直 求 a 与 b 的夹角 解 由 a 3b 7a 5b 0 7a2 16a b 15b2 0 a 4b 7a 2b 0 7a2 30a b 8b2 0 两式相减 2a b b2 代入 或 得 a2 b2 6 设 a b 的夹角为 则 cos 60 2 1 2 2 2 b b ba ba 评述 1 在四边形中 是顺次首尾相接向量 ABBCCDDA 则其和向量是零向量 即 0 应注意这一隐含条件应用 2 由已知条件产生数量积的关键是构造数量积 因为数量积的定义 式中含有边 角两种关系 例例 4 若记 求证 2 aaa 2 2 1 22222 babababbaaba 以此作为今后求模的基础 围绕向量的数量积的定义 可开发出解决几何问题中有用的知识 垂直的判断 夹角的计算和线段长度的计算 根据教学实际 有的数学 知识可提出问题让学生解决 并总结 概括出一般的结论或规律 但有 些知识学生听讲时 理解起来都比较困难 就需要老师的讲解 此时恰 当的处理方式是 先让学生学会 再说明道理 这里 两个向量垂直的 判断和夹角的计算 可通过让学生自己做题后总结出来 而计算模则需 要老师讲解并加以强化 由 当 b a 时 cosbaba 接着演示例题并练习 0cos 2 2 2 aaaaaaaa 例 2 已知且 a b 夹角是 60 求 3 2 ba babaa 小结与反思 小结与反思 以问题的形式 来反馈一节课的重点是否突出 难点是否突破 问题一 关于向量的数量积的概念包括哪些主要内容 如何引入的 问题二 说出向量数量积的几何意义及运算律 7 问题三 用向量的数量积可解决几何中的哪三大问题 如何解决 数量积的概念包括两个非零向量的夹角的定义和范围 数量积的定义 向量数量积的几何意义是 a b 是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 方向 上的投影的乘积 运算律有三条 用向量的数量积可解决几何中三大问题 垂直的判断 夹角的计算和 求线段长度 0 baba cos ba ba 2 aa 板书设计 板书设计 整个板面分成三列 把重点知识数量积的定义放在中间显著 位置 由其衍生出来的几何意义 运算律放在其下面 再把后面的三大 问题放在中间一列的中间位置 左边一列 是两个向量夹角的相关概念 右列集中放例题 教学记 教学记 本节课的设计注重教学目标的明确 注重根据学生的认知规律 而科学地进行知识序列的呈现 注重调动学生参与教学活动 注重课堂 效果的实效性 高中数学教学应体现知识的来龙去脉 创设问题情景 建立数学模型 让学生经历数学知识的形成与应用 可以更好的理解数 学概念 结论的形成过程 体会蕴含在其中的思想方法 增强学好数学 的愿望和信心 对于抽象数学概念的教学 要关注概念的实际背景与形 成过程 帮助学生克服机械记忆概念的学习方式 教师是学生学习的引 导者 组织者 教师在教学