平方差公式与完全平方公式试题

乘法公式的复习 一 复习 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 归纳小结公式的变式 准确灵活运用公式 位置变化 x y y x x2 y2 符号变化 x y x y x 2 y2 x2 y2 指数变化 x2 y2 x2 y2 x4 y4 系数变化 2a b 2a b 4a2 b2 换式变化 xy z m xy z m xy 2 z m 2 x2y2 z2 2zm m2 x2y2 z2 2zm m2 增项变化 x y z x y z x y 2 z2 x2 2xy y2 z2 连用公式变化 x y x y x2 y2 x2 y2 x2 y2 x4 y4 逆用公式变化 x y z 2 x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 例 1 已知 求的值 2 ba1 ab 22 ba 解 2 ba 22 2baba 22 ba abba2 2 2 ba1 ab 22 ba 21222 例 2 已知 求的值 8 ba2 ab 2 ba 解 2 ba 22 2baba 2 ba 22 2baba 2 ba 2 baab4 2 baab4 2 ba 8 ba2 ab 2 ba562482 例 3 计算 19992 2000 1998 解析 此题中 2000 1999 1 1998 1999 1 正好符合平方差公式 解 19992 2000 1998 19992 1999 1 1999 1 19992 19992 12 19992 19992 1 1 例 4 已知 a b 2 ab 1 求 a2 b2和 a b 2的值 解析 此题可用完全平方公式的变形得解 解 a2 b2 a b 2 2ab 4 2 2 a b 2 a b 2 4ab 4 4 0 例 5 已知 x y 2 y z 2 x z 14 求 x2 z2的值 解析 此题若想根据现有条件求出 x y z 的值 比较麻烦 考虑到 x2 z2是由 x z 和 x z 的积得来的 所 以只要求出 x z 的值即可 解 因为 x y 2 y z 2 将两式相加得 x z 4 所以 x2 z2 x z x z 14 4 56 例 6 判断 2 1 22 1 24 1 22048 1 1 的个位数字是几 解析 此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案 故有一定的规律可循 观察到 1 2 1 和上式可构 成循环平方差 解 2 1 22 1 24 1 22048 1 1 2 1 22 1 24 1 22048 1 1 24096 因为当一个数的个位数字是 6 的时候 这个数的任意正整数幂的个位数字都是 6 所以上式的个位数字必为 6 例 7 运用公式简便计算 1 1032 2 1982 解 1 1032 100 3 2 1002 2 100 3 32 10000 600 9 10609 2 1982 200 2 2 2002 2 200 2 22 40000 800 4 39204 例 8 计算 1 a 4b 3c a 4b 3c 2 3x y 2 3x y 2 解 1 原式 a 3c 4b a 3c 4b a 3c 2 4b 2 a2 6ac 9c2 16b2 2 原式 3x y 2 3x y 2 9x2 y2 4y 4 9x2 y2 4y 4 例 9 解下列各式 1 已知a2 b2 13 ab 6 求 a b 2 a b 2的值 2 已知 a b 2 7 a b 2 4 求a2 b2 ab的值 3 已知a a 1 a2 b 2 求的值 22 2 ab ab 4 已知 求的值 1 3x x 4 4 1 x x 分析 在公式 a b 2 a2 b2 2ab中 如果把a b a2 b2和ab分别看作是一个整体 则公式中有三个未知数 知 道了两个就可以求出第三个 解 1 a2 b2 13 ab 6 a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 25 a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 1 2 a b 2 7 a b 2 4 a2 2ab b2 7 a2 2ab b2 4 得 2 a2 b2 11 即 22 11 2 ab 得 4ab 3 即 3 4 ab 3 由a a 1 a2 b 2 得a b 2 22 22 1 2 22 ab ababab 2211 22 22 ab 4 由 得 即 1 3x x 1 9x x 2 2 1 29x x 2 2 1 11x x 即 2 2 1 121x x 4 4 1 2121x x 4 4 1 119x x 例 10 四个连续自然数的乘积加上 1 一定是平方数吗 为什么 分析 由于 1 2 3 4 1 25 52 2 3 4 5 1 121 112 3 4 5 6 1 361 192 得猜想 任意四个连续自然数的乘积加上 1 都是平方数 解 设n n 1 n 2 n 3 是四个连续自然数 则n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 1 n 2 1 n2 3n 2 2 n2 3n 1 n2 3n n2 3n 2 1 n2 3n 1 2 n是整数 n2 3n都是整数 n2 3n 1 一定是整数 n2 3n 1 是一个平方数 四个连续整数的积与 1 的和必是一个完全平方数 二 乘法公式的用法 一 套用 这是最初的公式运用阶段 在这个环节中 应弄清乘法公式的来龙去脉 准确地掌握其特征 为辨 认和运用公式打下基础 同时能提高学生的观察能力 例 1 计算 5353 2222 xyxy 解 原式 53259 2 2 2 2 44 xyxy 二 连用 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题 例 2 计算 1111 24 a aaa 解 原式 111 224 aaa 11 1 44 8 aa a 例 3 计算 32513251xyzxyz 解 原式 25312531yzxyzx 2531 49252061 22 222 yzx yxzyzx 三 逆用 学习公式不能只会正向运用 有时还需要将公式左 右两边交换位置 得出公式的逆向形式 并运用 其解决问题 例 4 计算 578578 22 abcabc 解 原式 578578578578abcabcabcabc 10 1416 140160 abc abac 四 变用 题目变形后运用公式解题 例 5 计算 xyz xyz 26 解 原式 xyzzxyzz2424 xyzz xyzxyxzyz 24 12244 22 222 五 活用 把公式本身适当变形后再用于解题 这里以完全平方公式为例 经过变形或重新组合 可得如下几 个比较有用的派生公式 abbabababababaabbabaabba4 4 2 3 2 2 2 1 22 22 22 22 2 22 2 灵活运用这些公式 往往可以处理一些特殊的计算问题 培养综合运用知识的能力 例 6 已知 求的值 abab 45 ab 22 解 ababab 22 2 2 242526 例 7 计算 abcdbcda 22 解 原式 bcadbcad 22 2 222244 22 2222 bcad abcdbcad 三 学习乘法公式应注意的问题 一 注意掌握公式的特征 认清公式中的 两数 例 1 计算 2x2 5 2x2 5 分析 本题两个因式中 5 相同 2x2 符号相反 因而 5 是公式 a b a b a2 b2中的a 而 2x2 则是公式中的b 解 原式 5 2x2 5 2x2 5 2 2x2 2 25 4x4 例 2 计算 a2 4b 2 分析 运用公式 a b 2 a2 2ab b2时 a2 就是公式中的a 4b 就是公式中的b 若将题目变形为 4b a2 2 时 则 4b 是公式中的a 而 a2 就是公式中的b 解略 二 注意为使用公式创造条件 例 3 计算 2x y z 5 2x y z 5 分析 粗看不能运用公式计算 但注意观察 两个因式中的 2x 5 两项同号 y z 两项异号 因而 可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式 解 原式 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 2 y z 2 4x2 20 x 25 y 2yz z2 例 5 计算 2 1 22 1 24 1 28 1 分析 此题乍看无公式可用 硬乘 太繁 但若添上一项 2 1 则可运用公式 使问题化繁为简 解 原式 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 22 1 22 1 24 1 28 1 24 1 24 1 28 1 28 1 28 1 216 1 三 注意公式的推广 计算多项式的平方 由 a b 2 a2 2ab b2 可推广得到 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 可叙述为 多项式的平方 等于各项的平方和 加上每两项乘积的 2 倍 例 6 计算 2x y 3 2 解 原式 2x 2 y2 3 2 2 2x y 2 2x 3 2 y 3 4x2 y2 9 4xy 12x 6y 四 注意公式的变换 灵活运用变形公式 例 7 2 已知 x 2y 7 xy 6 求 x 2y 2的值 分析 粗看似乎无从下手 但注意到乘法公式的下列变形 x2 y2 x y 2 2xy x3 y3 x y 3 3xy x y x y 2 x y 2 4xy 问题则十分简单 解 2 x 2y 2 x 2y 2 8xy 72 8 6 1 例 8 计算 a b c 2 a b c 2 a b c b a c 2 分析 直接展开 运算较繁 但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 a b 2 a b 2 2 a2 b2 因而问题容 易解决 解 原式 a b c 2 a b c 2 c a b 2 c a b 2 2 a b 2 c2 2 c2 a b 2 2 a b 2 a b 2 4c2 4a2 4b2 4c2 五 注意乘法公式的逆运用 例 9 计算 a 2b 3c 2 a 2b 3c 2 分析 若按完全平方公式展开 再相减 运算繁杂 但逆用平方差公式 则能使运算简便得多 解 原式 a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c 2a 4b 6c 8ab 12ac 例 10 计算 2a 3b 2 2 2a 3b 5b 4a 4a 5b 2 分析 此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算 但逆用完全平方公式 则运算更为简便 解 原式 2a 3b 2 2 2a 3b 4a 5b 4a 5b 2 2a 3b 4a 5b 2 6a 2b 2 36a2 24ab 4b2 四 怎样熟练运用公式 一 明确公式的结构特征 这是正确运用公式的前提 如平方差公式的结构特征是 符号左边是两个二项式相乘 且在这四项中有两项完 全相同 另两项是互为相反数 等号右边是乘式中两项的平方差 且是相同项的平方减去相反项的平方 明确了公 式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式 二 理解字母的广泛含义 乘法公式中的字母a b可以是具体的数 也可以是单项式或多项式 理解了字母含义的广泛性 就能在更广泛 的范围内正确运用公式 如计算 x 2y 3z 2 若视x 2y为公式中的a 3z为b 则就可用 a b 2 a2 2ab b2 来解了 三 熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算 此时要根据公式特征 合理调整变化 使其 满足公式特点 常见的几种变化是 1 位置变化 如 3x 5y 5y 3x 交换 3x和 5y的位置后即可用平方差公式计算了 2 符号变化 如 2m 7n 2m 7n 变为 2m 7n 2m 7n 后就可用平方差公式求解了 思考 不变 或不这样变 可以吗 3 数字变化 如 98 102 992 912等分别变为 100 2 100 2 100 1 2 90 1 2后就能够用乘法公式加 以解答了 4 系数变化 如 4m 2m 变为 2 2m 2m 后即可用平方差公式进行计算了 2 n 4 n 4 n 4 n 5 项数变化 如 x 3y 2z x 3y 6z 变为 x 3y 4z 2z x 3y 4z 2z 后再适当分组就可以用乘法公 式来解了 四 注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解 此时要选择最恰当的公式以使计算更简便 如计算 a2 1 2 a2 1 2 若分别展开后再相乘 则比较繁琐 若逆用积的乘方法则后再进一步计算 则非常简便 即原式 a2 1 a2 1 2 a4 1 2 a8 2a4 1 对数学公式只会顺向 从左到右 运用是远远不够的 还要注意逆向 从右到左 运用 如计算 1 2 2 1 1 1 1 1 若分别算出各因式的值后再行相乘 不仅计算繁难 而且容易出 2 3 1 2 4 1 2 9 1 2 10 1 错 若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式 则可巧解本题 即原式 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 10 1 10 1 2 1 2 3 3 2 3 4 10 9 10 11 2 1 10 11 20 11 有时有些问题不能直接用乘法公式解决 而要用到乘法公式的变式 乘法公式的变式主要有 a2 b2 a b 2 2ab a2 b2 a b 2 2ab等 用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效 如已知m n 7 mn 18 求m2 n2 m2 mn n2的值 面对这样的问题就可用上述变式来解 即m2 n2 m n 2 2mn 72 2 18 49 36 85 m2 mn n2 m n 2 3mn 72 3 18 103 下列各题 难不倒你吧 1 若a 5 求 1 a2 2 a 2的值 a 1 2 1 aa 1 2 求 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 232 1 264 1 1 的末位数字 答案 1 1 23 2 21 2 6 五 乘法公式应用的五个层次 乘法公式 a b a b a2 b2 a b a2 2ab b2 a b a2 ab b2 a3 b3 第一层次 正用 即根据所求式的特征 模仿公式进行直接 简单的套用 例 1 计算 2 2x y 2x y 2 原式 y 2x y 2x y2 4x2 第二层次 逆用 即将这些公式反过来进行逆向使用 例 2 计算 1 19982 1998 3994 19972 解 1 原式 19982 2 1998 1997 19972 1998 1997 2 1 第三层次 活用 根据待求式的结构特征 探寻规律 连续反复使用乘法公式 有时根据需要创造条件 灵 活应用公式 例 3 化简 2 1 22 1 24 1 28 1 1 分析直接计算繁琐易错 注意到这四个因式很有规律 如果再增添一个因式 2 1 便可连续应用平方差公式 从而问题迎刃而解 解原式 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 1 22 1 22 1 24 1 28 1 1 216 例 4 计算 2x 3y 1 2x 3y 5 分析仔细观察 易见两个因式的字母部分与平方差公式相近 但常数不符 于是可创造条件 拆 数 1 2 3 5 2 3 使用公式巧解 解原式 2x 3y 3 2 2x 3y 3 2 2 3y 2x 3 2 3y 2x 3 2 3y 2 2x 3 2 9y2 4x2 12x 12y 5 第四层次 变用 解某些问题时 若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式 如 a2 b2 a b 2 2ab a3 b3 a b 3 3ab a b 等 则求解十分简单 明快 例 5 已知 a b 9 ab 14 求 2a2 2b2和 a3 b3的值 解 a b 9 ab 14 2a2 2b2 2 a b 2 2ab 2 92 2 14 106 a3 b3 a b 3 3ab a b 93 3 14 9 351 第五层次 综合后用 将 a b 2 a2 2ab b2和 a b 2 a2 2ab b2综合 可得 a b 2 a b 2 2 a2 b2 a b 2 a b 2 4ab 等 合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖 简捷 例 6 计算 2x y z 5 2x y z 5 解 原式 2x y z 5 2x y z 5 2 2x y z 5 2x y z 5 2 1 4 1 4 2x 5 2 y z 2 4x2 20 x 25 y2 2yz z2 六 正确认识和使用乘法公式 1 数形结合的数学思想认识乘法公式 对于学习的两种 三个 乘法公式 平方差公式 a b a b a2 b2 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们 假设 a b 都是正数 那么可以用以下图形所示意的 面积来认识乘法公式 如图 1 两个矩形的面积之和 即阴影部分的面积 为 a b a b 通过左右两图的对照 即可得到平方差公 式 a b a b a2 b2 图 2 中的两个图阴影部分面积分别为 a b 2与 a b 2 通过面积的计算方法 即可得到两个完 全平方公式 a b 2 a2 2ab b2与 a b 2 a2 2ab b2 2 乘法公式的使用技巧 提出负号 对于含负号较多的因式 通常先提出负号 以避免负号多带来的麻烦 例 1 运用乘法公式计算 1 1 3x 1 3x 2 2m 1 2 解 1 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 12 3x 2 1 9x2 2 2m 1 2 2m 1 2 2m 1 2 4m2 4m 1 改变顺序 运用交换律 结合律 调整因式或因式中各项的排列顺序 可以使公式的特征更加明显 例 2 运用乘法公式计算 1 2 x 1 2 x2 1 4 x 1 2 1 3a 1 4b 1 4b a 3 解 1 1 3a 1 4b 1 4b a 3 1 4b 1 3a 1 4b 1 3a 1 4b 1 3a 1 4b 1 3a f 1 4 b 2 f 1 3 a 2 1 16b2 1 9a2 2 x 1 2 x2 1 4 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x2 1 4 x2 1 4 x2 1 4 x2 1 16 逆用公式 将幂的公式或者乘法公式加以逆用 比如逆用平方差公式 得 a2 b2 a b a b 逆用积的乘方公式 得 anbn ab n 等等 在解题时常会收到事半功倍的效果 例 3 计算 1 x 2 5 2 x 2 5 2 2 a 1 2 2 a2 1 4 2 a 1 2 2 解 1 x 2 5 2 x 2 5 2 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 2 5 x 10 10 x 2 a 1 2 2 a2 1 4 2 a 1 2 2 a 1 2 a2 1 4 a 1 2 2 a 1 2 a 1 2 a2 1 4 2 a2 1 4 a2 1 4 2 a4 1 16 2 a8 a4 8 1 256 合理分组 对于只有符号不同的两个三项式相乘 一般先将完全相同的项调到各因式的前面 视为一组 符 号相反的项放在后面 视为另一组 再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算 计算 1 x y 1 1 x y 2 2x y z 5 2x y z 5 解 1 x y 1 1 x y 1 x y 1 x y 1 x y 1 x y 12 x y 2 1 x2 2xy y2 1 x2 2xy y2 2 2x y z 5 2x y z 5 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 y z 2x 5 2 y z 2 4x2 20 x 25 y2 2yz z2 4x2 20 x 25 y2 2yz z2 4x2 y2 z2 2yz 20 x 25 七 巧用公式做整式乘法 整式乘法是初中数学的重要内容 是今后学习的基础 应用极为广泛 尤其多项式乘多项式 运算过程复杂 在解答中 要仔细观察 认真分析题目中各多项式的结构特征 将其适当变化 找出规律 用乘法公式将其展开 运算就显得简便易行 一 先分组 再用公式 例 1 计算 abcdabcd 简析 本题若以多项式乘多项式的方法展开 则显得非常繁杂 通过观察 将整式运用加法交 abcd 换律和结合律变形为 将另一个整式变形为 则从其中找出 bdac abcd bdac 了特点 从而利用平方差公式即可将其展开 解 原式 bdacbdac bdac bbddaacc 22 2222 22 二 先提公因式 再用公式 例 2 计算 8 2 4 4 x y x y 简析 通过观察 比较 不难发现 两个多项式中的 x 的系数成倍数 y 的系数也成倍数 而且存在相同的倍 数关系 若将第一个多项式中各项提公因数 2 出来 变为 则可利用乘法公式 2 4 4 x y 解 原式 2 4 4 4 4 x y x y 2 4 4 32 8 2 2 2 2 x y x y 三 先分项 再用公式 例 3 计算 232 236xyxy 简析 两个多项中似乎没多大联系 但先从相同未知数的系数着手观察 不难发现 x 的系数相同 y 的系数互 为相反数 符合乘法公式 进而分析如何将常数进行变化 若将 2 分解成 4 与的和 将 6 分解成 4 与 2 的和 2 再分组 则可应用公式展开 解 原式 24232423xyxy 2423 41612129 2 2 22 xy xxyy 四 先整体展开 再用公式 例 4 计算 ab ab 221 简析 乍看两个多项式无联系 但把第二个整式分成两部分 即 再将第一个整式与之相乘 利 ab 21 用平方差公式即可展开 解 原式 abab221 ab abab abab 222 42 22 五 先补项 再用公式 例 5 计算 331 31 31 31 842 简析 由观察整式 不难发现 若先补上一项 则可满足平方差公式 多次利用平方差公式逐步 31 31 展开 使运算变得简便易行 解 原式 3 31 31 31 31 31 2 842 3 31 31 31 31 2 3 31 31 31 2 3 31 31 2 3 31 2 5 2 3 2 8422 844 88 16 16 六 先用公式 再展开 例 6 计算 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 10 2222 简析 第一个整式可表示为 由简单的变化 可看出整式符合平方差公式 其它因式类1 1 22 1 1 2 2 2 似变化 进一步变换成分数的积 化简即可 解 原式 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 4 1 1 4 1 1 10 1 1 10 3 2 1 2 4 3 2 3 5 4 3 4 11 10 9 10 11 20 七 乘法公式交替用 例 7 计算 xz xxzzxz xxzz 2222 22 简析 利用乘法交换律 把第一个整式和第四个整式结合在一起 把第二个整式与第三个整式结合 则可利用 乘法公式展开 解 原式 xz xxzzxxzzxz 2222 22 xz xzxzxz 22 xzxz xz xz xz xx zx zz 33 3 223 642246 33 八 中考与乘法公式 1 结论开放 例 1 02 年济南中考 请你观察图 1 中的图形 依据图形面积的关