2012届高考数学第一轮复习强化训练 15.5《曲线的方程和轨迹问题》新人教版选修4-4

用心 爱心 专心 1 15 515 5 曲线的方程和轨迹问题曲线的方程和轨迹问题 考纲要求考纲要求 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 基础知识基础知识 1 1 曲线的方程曲线的方程 方程的曲线方程的曲线 的定义的定义 在直角坐标系中 如果曲线在直角坐标系中 如果曲线上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程的实数解建立了如的实数解建立了如C0 yxf 下关系 下关系 1 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 纯粹性 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 纯粹性 2 2 以这个方程的解为坐 以这个方程的解为坐 标的点都在曲线上 完备性 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 标的点都在曲线上 完备性 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 2 2 求简单的曲线方程的一般步骤 求简单的曲线方程的一般步骤 1 1 建立直角坐标系 利用垂直性和对称性建立适当的坐标系 建立直角坐标系 利用垂直性和对称性建立适当的坐标系 2 2 设点 用有序实数对设点 用有序实数对表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点的坐标 不要把其它的点的坐标设的坐标 不要把其它的点的坐标设 yxM 成成 yx 3 3 列式 用坐标表示条件列式 用坐标表示条件 列出方程列出方程 MP0 yxf 4 4 化简 化方程化简 化方程为最简形式 为最简形式 0 yxf 5 5 检验 检验某些特殊点是否满足题意 把不满足的点排除 把满足的点补充上来 检验 检验某些特殊点是否满足题意 把不满足的点排除 把满足的点补充上来 3 3 求简单的曲线方程的主要方法 轨迹四法 求简单的曲线方程的主要方法 轨迹四法 待代直参待代直参 1 1 待定系数法 通过对已知条件的分析 发现动点满足某个圆锥曲线的定义 然后 待定系数法 通过对已知条件的分析 发现动点满足某个圆锥曲线的定义 然后 设出曲线的方程 求出其中的待定系数 设出曲线的方程 求出其中的待定系数 2 2 代入法 如果点 代入法 如果点的运动是由于点的运动是由于点的运动引起的 可以先用点的运动引起的 可以先用点的坐标表示点的坐标表示点MPM 的坐标 然后代入点的坐标 然后代入点满足的方程 即得动点满足的方程 即得动点的轨迹方程 的轨迹方程 PPM 3 3 直接法 直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程 直接法 直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程 4 4 参数法 动点 参数法 动点的运动主要是由于某个参数的运动主要是由于某个参数的变化引起的 可以选参 设的变化引起的 可以选参 设 M x y 参 然后用这个参数表示动点的坐标 即参 然后用这个参数表示动点的坐标 即 再消参 再消参 xf yg 4 4 轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念 轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特轨迹和轨迹方程是两个不同的概念 轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特 征的描述 而求轨迹方程只求那个方程即可 不需描述曲线的特征 征的描述 而求轨迹方程只求那个方程即可 不需描述曲线的特征 例题精讲例题精讲 例例 1 1 如图 圆如图 圆与圆与圆的半径都是的半径都是 1 1 过动点 过动点P P分别作圆分别作圆 圆 圆的的 1 O 2 O4 21 OO 1 O 2 O 切线切线PMPM PNPN M M N N分别为切点 使得分别为切点 使得 试建立适当的坐标系 并求动点 试建立适当的坐标系 并求动点P PPNPM2 的轨迹方程 的轨迹方程 解 以解 以的中点的中点 O O 为原点 为原点 所在的所在的 21O O 21O O 用心 爱心 专心 2 直线为直线为轴 建立平面直角坐标系 轴 建立平面直角坐标系 x 则则 0 2 0 2 21 OO 由已知由已知可得 可得 PNPM2 22 2PNPM 因为两圆的半径均为因为两圆的半径均为 1 1 所以 所以 1 21 2 2 2 1 POPO 设设 则 则 即 即 yxP 1 2 21 2 222 yxx33 6 22 yx 所以所求轨迹方程为 所以所求轨迹方程为 或 或 33 6 22 yx0312 22 xyx 例例 2 2 已知椭圆已知椭圆 C C 和点和点 P P 1 1 2 2 直线 直线l l经过点经过点 P P 并与椭圆并与椭圆 C C 交于交于 xy 22 169 1 A A B B 两点 求当两点 求当l l倾斜角变化时 弦中点的轨迹方程 倾斜角变化时 弦中点的轨迹方程 解 设弦中点为解 设弦中点为 M M x x y y 交点为 交点为 当 当 M M 与与 P P 不重合时 不重合时 A xyB xy 1122 A A B B M M P P 四点共线 四点共线 yyxxxy 2121 12 由由 两式相减得 两式相减得 xyxy 1 2 1 2 2 2 2 2 169 1 169 1 xxxxyyyy 12121212 169 0 又又xxxyyy 1212 22 2 16 2 9 1212 x xxy yy 由由 可得 可得 0329169 22 yxyx 当点当点 M M 与点与点 P P 重合时 点重合时 点 M M 坐标为 坐标为 1 1 2 2 适合方程 适合方程 P O 1 O 2 N M 用心 爱心 专心 3 弦中点的轨迹方程为 弦中点的轨迹方程为 0329169 22 yxyx 15 515 5 曲线的方程和轨迹问题强化训练曲线的方程和轨迹问题强化训练 基础精练基础精练 1 1 已知平面已知平面平面平面 直线 直线 点 点 平面 平面 间的距离为间的距离为 4 4 则在 则在内到点内到点 l lP P P 的距离为的距离为 5 5 且到直线且到直线 的距离为的距离为的点的轨迹是 的点的轨迹是 l 2 9 A A 一个圆一个圆B B 两条平行直线两条平行直线 C C 四个点四个点D D 两个点两个点 2 2 在四棱锥在四棱锥中 中 面面 PABPAB 面面 PABPAB 底面 底面 ABCDABCD 为梯形 为梯形 ABCDP AD BC AD 4AD 4 BC 8BC 8 AB 6AB 6 满足上述条件的四棱锥的顶点 满足上述条件的四棱锥的顶点 P P 的轨迹是 的轨迹是 CPBAPD A A 圆圆B B 不完整的圆不完整的圆 C C 抛物线抛物线D D 抛物线的一部分抛物线的一部分 3 3 如图如图 定点定点 A A 和和 B B 都在平面都在平面内 定点内 定点 P PC C 是是 PB 内异于内异于 A A 和和 B B 的动点 且的动点 且 那么动点 那么动点 C C 在平面在平面内的轨内的轨 ACPC 迹是 迹是 A A 一条线段 但要去掉两个点一条线段 但要去掉两个点 B B 一个圆 但要去掉两个点一个圆 但要去掉两个点 C C 一个椭圆 但要去掉两个点一个椭圆 但要去掉两个点 D D 半圆 但要去掉两个点半圆 但要去掉两个点 4 4 如图如图 3 3 在正方体 在正方体中 中 P P 是侧面是侧面内一动点 若内一动点 若 P P 到直线到直线 BCBC 与直与直 1111 DCBAABCD 1 BC 线线的距离相等 则动点的距离相等 则动点 P P 的轨迹所在的曲线是 的轨迹所在的曲线是 11D C A A 直线直线B B 圆圆C C 双曲线双曲线D D 抛物线抛物线 用心 爱心 专心 4 图图 3 3 5 5 已知正方体已知正方体的棱长为的棱长为 1 1 点 点 P P 是平面是平面 ACAC 内的动点 若点内的动点 若点 P P 到直线到直线 1111 DCBAABCD 的距离等于点的距离等于点 P P 到直线到直线 CDCD 的距离 则动点的距离 则动点 P P 的轨迹所在的曲线是 的轨迹所在的曲线是 11D A A A 抛物线抛物线B B 双曲线双曲线C C 椭圆椭圆D D 直线直线 6 6 已知异面直线已知异面直线 a ba b 成成角 公垂线段角 公垂线段 MNMN 的长等于的长等于 2 2 线段 线段 ABAB 两个端点两个端点 A A B B 分别在分别在 60 a ba b 上移动 且线段上移动 且线段 ABAB 长等于长等于 4 4 求线段 求线段 ABAB 中点的轨迹方程 中点的轨迹方程 7 7 已知圆已知圆 E E 的方程为的方程为 x x 1 1 2 2 y y2 2 1 1 四边形四边形 PABQPABQ 为该圆的内接梯形 底为该圆的内接梯形 底 ABAB 为圆的为圆的 直径且在直径且在 x x 轴上 以轴上 以 A A B B 为焦点的椭圆为焦点的椭圆 C C 过过 P P Q Q 两点 两点 1 1 若直线若直线 QPQP 与椭圆与椭圆 C C 的右准线相交于点的右准线相交于点 M M 求点 求点 M M 的轨迹 的轨迹 2 2 当梯形当梯形 PABQPABQ 周长最大时 求椭圆周长最大时 求椭圆 C C 的方程 的方程 用心 爱心 专心 5 8 8 已知双曲线的两个焦点分别为已知双曲线的两个焦点分别为 F F1 1 F F2 2 其中 其中 F F1 1又是抛物线又是抛物线 y y2 2 4 4 x x 的一个焦点 且的一个焦点 且 点点 A A 1 1 2 2 B 3 B 3 2 2 在双曲线上 在双曲线上 1 1 求点求点 F F2 2的轨迹的轨迹 2 2 是否存在直线是否存在直线 y y x mx m 与点与点 F F2 2的轨迹有且只有两个公共点 若存在 求出实数的轨迹有且只有两个公共点 若存在 求出实数 m m 的的 值 若不存在 说明理由 值 若不存在 说明理由 9 9 已知常数已知常数 a a 0 0 c c 0 0 a a i i 1 1 0 0 经过原点 经过原点 O O 以 以 c c i i 为方向向量的直为方向向量的直 线与经过定点线与经过定点 A 0A 0 a a 以 以 i i 2 2 c c 为方向向量的直线交于点为方向向量的直线交于点 P P 其中 其中 R R 试问 是 试问 是 否存在两个定点否存在两个定点 E E F F 使得 使得 PE PE PFPF 为定值 若存在 求出为定值 若存在 求出 E E F F 的坐标 若不存的坐标 若不存 在 说明理由 在 说明理由 10 10 如图 矩形如图 矩形的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点 ABCD 2 0 M 边所在直线的方程为边所在直线的方程为点点在在边所在直边所在直AB360 xy 11 T AD 线上 线上 I I 求 求边所在直线的方程 边所在直线的方程 AD IIII 求矩形 求矩形外接圆的方程 外接圆的方程 ABCD IIIIII 若动圆 若动圆过点过点 且与矩形 且与矩形的外接圆外的外接圆外P 2 0 N ABCD 切 求动圆切 求动圆的圆心的轨迹方程 的圆心的轨迹方程 P 11 11 如图 设抛物线如图 设抛物线的焦点为的焦点为 F F 动点 动点 P P 在直线在直线上运动 过上运动 过 P P 2 xyC 02 yxl 作抛物线作抛物线 C C 的两条切线的两条切线 PAPA PBPB 且与抛物线 且与抛物线 C C 分别相切于分别相切于 A A B B 两点两点 1 1 求 求 APB APB 的重心的重心 G G 的轨迹方程的轨迹方程 2 2 证明 证明 PFA PFB PFA PFB D N M l 用心 爱心 专心 6 12 12 已知椭圆已知椭圆的左 右焦点分别是的左 右焦点分别是 F F1 1 c c 0 0 F F2 2 c c 0 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x Q Q 是椭圆外的动点 满足是椭圆外的动点 满足点点 P P 是线段是线段 F F1 1Q Q 与该椭圆的交点 点与该椭圆的交点 点 T T 在线段在线段 F F2 2Q Q 上 上 2 1 aQF 并且满足并且满足 0 0 22 TFTFPT 设 设为点为点 P P 的横坐标 证明的横坐标 证明 xx a c aPF 1 求点 求点 T T 的轨迹的轨迹 C C 的方程 的方程 试问 在点 试问 在点 T T 的轨迹的轨迹 C C 上 是否存在点上 是否存在点 M M 使使 F F1 1MFMF2 2的面积的面积 S S 若存在 求若存在 求 F F1 1MFMF2 2 2 b 的正切值 若不存在 请说明理由 的正切值 若不存在 请说明理由 13 13 过抛物线过抛物线y y2 2 4 4x x的焦点的直线的焦点的直线l l与抛物线交于与抛物线交于A A B B两点 两点 O O为坐标原点为坐标原点 求求 AOBAOB的的 重心重心G G的轨迹的轨迹C C的方程的方程 14 14 已知圆已知圆和点和点 动点 动点到圆到圆的切线长与的切线长与的比等于常数的比等于常数 22 1C xy 2 0 QMC MQ 求动点 求动点的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 0 M 用心 爱心 专心 7 拓展提高拓展提高 1 1 设点 设点A A和和B B为抛物线为抛物线 y y2 2 4 4pxpx p p 0 0 上原点以外的两个动点 已知上原点以外的两个动点 已知OAOA OBOB OMOM ABAB 求点求点M M的轨迹方程 并说明它表示什么曲线的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 2 2 三峡工程需修建一个土石基坑 基坑成矩形三峡工程需修建一个土石基坑 基坑成矩形 按规定 按规定 ABCD 挖出的土方必须沿道路挖出的土方必须沿道路或或送到送到点处 已知点处 已知PAPBP 能否在池中确定 能否在池中确定mABmBCmPBmPA160 60 150 100 一条界线 使得位于界线一侧的点沿道路一条界线 使得位于界线一侧的点沿道路送土方较近 而另一侧送土方较近 而另一侧PA 的点沿道路的点沿道路送土方较近 如果能 请说明这条界线是什么曲线 送土方较近 如果能 请说明这条界线是什么曲线 PB 并求出轨迹方程 并求出轨迹方程 基础精练参考答案基础精练参考答案 1 1 如图如图 1 1 设点 设点 P P 在平面在平面内的射影是内的射影是 O O 则 则 OPOP 是是 的公垂线 的公垂线 OP 4OP 4 在 在内到点内到点 P P 的距离等于的距离等于 5 5 的点到的点到 O O 的距离等于的距离等于 3 3 可知所求点的轨 可知所求点的轨 迹是迹是内在以内在以 O O 为圆心 为圆心 3 3 为半径的圆上 又在为半径的圆上 又在内到直线内到直线 的距离等于的距离等于 l 的点的集合是两条平行直线的点的集合是两条平行直线 m m n n 它们到点 它们到点 O O 的距离都等于的距离都等于 2 9 所以直线 所以直线 m m n n 与这个圆均相交 共有四个交点 因此所求点的轨迹与这个圆均相交 共有四个交点 因此所求点的轨迹3 2 17 4 2 9 22 是四个点 故选是四个点 故选 C C 2 2 因为因为面面 PABPAB 面面 PABPAB 所以 所以 AD BCAD BC 且 且 AD BC 90CBPDAP 又又 8BC 4AD CPBAPD 可得可得 CPBtan PB CB PA AD APDtan 即得即得2 AD CB PA PB 在平面在平面 PABPAB 内 以内 以 ABAB 所在直线为所在直线为 x x 轴 轴 ABAB 中点中点 O O 为坐标原点 建立平面直角坐标系 则为坐标原点 建立平面直角坐标系 则 A A 3 3 0 0 B B 3 3 0 0 设点 设点 P P x yx y 则有 则有 用心 爱心 专心 8 2 y 3x y 3x PA PB 22 22 整理得整理得09x10yx 22 由于点由于点 P P 不在直线不在直线 ABAB 上 故此轨迹为一个不完整的圆 选上 故此轨迹为一个不完整的圆 选 B B 3 3 因为因为 且 且 PCPC 在在内的射影为内的射影为 BCBC 所以 所以 即 即 所以点 所以点PCAC BCAC 90ACB C C 的轨迹是以的轨迹是以 ABAB 为直径的圆且去掉为直径的圆且去掉 A A B B 两点 故选两点 故选 B B 4 4 因为因为 P P 到到的距离即为的距离即为 P P 到到的距离 所以在面的距离 所以在面内 内 P P 到定点到定点的距离与的距离与 P P 11D C 1 C 1 BC 1 C 到定直线到定直线 BCBC 的距离相等 由圆锥曲线的定义知动点的距离相等 由圆锥曲线的定义知动点 P P 的轨迹为抛物线 故选的轨迹为抛物线 故选 D D 5 5 以以 A A 为原点 为原点 ABAB 为为 x x 轴 轴 ADAD 为为 y y 轴 建立平面直角坐标系 设轴 建立平面直角坐标系 设 P P x yx y 作 作 于于 E E 于于 F F 连结 连结 EFEF 易知 易知ADPE 11D APF 1x EF PE PF 2222 又作又作于于 N N 则 则 CDPN 1y PN 依题意依题意 PN PF 即即 1y 1x 2 化简得化简得0y2yx 22 故动点故动点 P P 的轨迹为双曲线 选的轨迹为双曲线 选 B B 6 6 如图 易知线段如图 易知线段 ABAB 的中点的中点 P P 在公垂线段在公垂线段 MNMN 的中垂面的中垂面上 直线上 直线 为平面为平面内内 a b 过过 MNMN 的中点的中点 O O 分别平行于分别平行于 a a b b 的直线 的直线 于于 于于 则 则 a AA A b BB BP B AAB 且且 P P 也为也为的中点 的中点 B A 由已知由已知 MN 2MN 2 AB 4AB 4 易知 易知得得 2AP 1 AA 32 B A 用心 爱心 专心 9 则问题转化为求长等于则问题转化为求长等于的线段的线段的两个端点的两个端点 分别在分别在 上移动时其中上移动时其中32 B A A B a b 点点 P P 的轨迹 现以的轨迹 现以的角平分线为的角平分线为 x x 轴 轴 O O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 OB A 设设 y x Pn OB m OA 则则 n 2 1 n 2 3 B m 2 1 m 2 3 A nm 4 1 y nm 4 3 x 222 32 nm 4 1 nm 4 3 消去消去 m m n n 得线段 得线段 ABAB 的中点的中点 P P 的轨迹为椭圆 其方程为的轨迹为椭圆 其方程为 1y 9 x 2 2 7 7 解解 1 1 设椭圆设椭圆 C C b b2 2 x x 1 1 2 2 a a2 2y y2 2 a a2 2 b b2 2 a a b b 0 0 由题意知 由题意知 2c2c 2 2 故故 c c 1 1 如图如图 9 99 9 从而可得 从而可得 右准线的方程右准线的方程 x x a a2 2 1 1 设设 M x M x y y P xP x0 0 y y0 0 连 连 PBPB 则有 则有 PA PA 2 2 PB PB 2 2 AB AB 2 2 PA PA PB PB 2 2 2 2 PA PB PA PB 4 4 由此可得 由此可得 2a 2a 2 2 2 22 2 y yP P 4 4 即 即 y yP P a a2 2 1 1 于是 由于是 由 得得 y y x x 2 2 又又 点点 P xP x0 0 y y0 0 是圆是圆 E E 上的点 且不与上的点 且不与 ABAB 重合 重合 0 0 y y0 0 1 1 故有 故有 0 0 a a2 2 1 1 1 1 即即 1 1 a a2 2 2 2 由由 得得 2 2 x x 3 3 点点 M M 的轨迹是两条线段 其方程为的轨迹是两条线段 其方程为 y y x x 2 2 2 2 x x 0 0 A A 1 1 2 2 B 3 B 3 2 2 在已知双曲线上 且在已知双曲线上 且 AF AF1 1 BFBF1 1 于是 于是22 当当 AFAF1 1 AF AF2 2 BF BF1 1 BF BF2 2 时 有时 有 AF AF2 2 BF BF2 2 再代入再代入 得 得 F F2 2的轨迹为直线的轨迹为直线 x x 1 1 除去两个点除去两个点 F F1 1 1 1 0 0 D 1 D 1 4 4 当当 AFAF1 1 AF AF2 2 BF BF1 1 BF BF2 2 时 有时 有 AFAF2 2 BF BF2 2 AF AF1 1 BF BF1 1 4 4 AB AB 24 点点 F F2 2的轨迹是以的轨迹是以 A A B B 两点为焦点的椭圆两点为焦点的椭圆 Q Q 且除去 且除去 F F1 1 1 1 0 0 D 1 D 1 4 4 两点 两点 故所求的轨迹方程为故所求的轨迹方程为 l l x x 1 1 与与 Q Q y 0y 0 y y 4 4 1 4 2 8 1 22 yx 2 2 设存在直线设存在直线 L L y y x x m m 满足条件 满足条件 若若 L L 过点过点 F F1 1或点或点 D D F F1 1 D D 两点既在直线两点既在直线 l l x x 1 1 上 又在椭圆上 又在椭圆 Q Q 上 但不在上 但不在 F F2 2的轨迹上 的轨迹上 L L 与与 F F2 2的轨迹只有一个公共点 不合题意 的轨迹只有一个公共点 不合题意 若若 L L 不过点不过点 F F1 1和和 D D 两点 两点 m m 1 1 m 3 m 3 则 则 L L 与与 l l 必有一个公共点必有一个公共点 E E 且 且 E E 点点 不在椭圆不在椭圆 Q Q 上 上 要使要使 L L 与与 F F2 2的轨迹有且只有两个公共点 则的轨迹有且只有两个公共点 则 L L 必与必与 Q Q 有且只有一个公共点 有且只有一个公共点 由由 得得 3x3x2 2 10 10 4m 4m x x 2m 2m2 2 8m8m 1 1 0 0 1 4 2 8 1 22 yx mxy 从而 有从而 有 10 10 4m 4m 2 2 12 2m12 2m2 2 8m 1 8m 1 8 8 m m2 2 2m2m 11 11 当当 0 0 时 有时 有 即存在符合条件的直线 即存在符合条件的直线 y y x x 321 m321 9 9 解解 c c i i a a i i 2 c2 c 1 1 2 a 2 a 由向量平行关系得由向量平行关系得 OPOP 与与 APAP 的方程分别为的方程分别为 y y axax y y a a 2 2 axax 由此消去参数由此消去参数 得 得 点点 P xP x y y 满足方程为满足方程为 1 2 2 8 1 2 2 2 a a y x a a 0 0 从而 有从而 有 1 1 当当时 方程时 方程 表示的是圆 不存在符合题意的两个定点表示的是圆 不存在符合题意的两个定点 2 2 a E E F F 图 9 9 y x 用心 爱心 专心 11 2 2 当当 0 0 时 方程时 方程 表示的是椭圆 故存在符合题意的两个定点 即为椭圆的两表示的是椭圆 故存在符合题意的两个定点 即为椭圆的两 2 2 a 个焦点 个焦点 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 22 a aF a aE 3 3 当当时 方程时 方程 表示的是椭圆 故存在合乎题意的两个定点 即为椭圆的两个表示的是椭圆 故存在合乎题意的两个定点 即为椭圆的两个 2 2 a 焦点 焦点 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 22 aaFaaE 10 10 解 解 I I 因为 因为边所在直线的方程为边所在直线的方程为 且 且与与垂直 垂直 AB360 xy ADAB 所以直线所以直线的斜率为的斜率为 又因为点又因为点在直线在直线上 上 AD3 11 T AD 所以所以边所在直线的方程为边所在直线的方程为即即 AD13 1 yx 320 xy IIII 由 由解得点解得点的坐标为的坐标为 360 32 0 xy xy A 02 因为矩形因为矩形两条对角线的交点为两条对角线的交点为 ABCD 2 0 M 所以所以为矩形为矩形外接圆的圆心 外接圆的圆心 MABCD 又又 22 20 02 2 2AM 从而矩形从而矩形外接圆的方程为外接圆的方程为 ABCD 22 2 8xy IIIIII 因为动圆 因为动圆过点过点 所以 所以是该圆的半径 又因为动圆是该圆的半径 又因为动圆与圆与圆外切 外切 PNPNPM 所以所以 即即 2 2PMPN 2 2PMPN 故点故点的轨迹是以的轨迹是以为焦点 实轴长为为焦点 实轴长为的双曲线的左支 的双曲线的左支 PMN 2 2 因为实半轴长因为实半轴长 半焦距 半焦距 所以虚半轴长 所以虚半轴长 2a 2c 22 2bca 从而动圆从而动圆的圆心的轨迹方程为的圆心的轨迹方程为 P 22 1 2 22 xy x 11 11 解 解 1 1 设切点 设切点 A A B B 坐标分别为坐标分别为 22 01110 x xx xxx 和 切线切线 APAP 的方程为 的方程为 02 2 00 xyxx 切线切线 BPBP 的方程为 的方程为 02 2 11 xyxx 解得解得 P P 点的坐标为 点的坐标为 10 10 2 xxy xx x PP 所以所以 APB APB 的重心的重心 G G 的坐标为的坐标为 P P G x xxx x 3 10 用心 爱心 专心 12 2 222 0101010101 4 3333 Pp P G xy yyyxxx xxxx x y 所以所以 由点 由点 P P 在直线在直线l l上运动 从而得到重心上运动 从而得到重心 G G 的轨迹方程为 的轨迹方程为 2 43 GGp xyy 24 3 1 02 43 22 xxyxyx即 2 2 方法 方法 1 1 因为 因为 22 01 000111 111 4244 xx FAx xFPx xFBx x 由于由于 P P 点在抛物线外 则点在抛物线外 则 0 FP 2 01 001001 222 00 111 2444 cos 1 4 xx xx xxx x FP FA AFP FPFAFP FPxx 同理有同理有 2 01 101101 222 11 111 2444 cos 1 4 xx xx xxx x FP FB BFP FPFBFP FPxx AFP PFB AFP PFB 方法方法 2 2 当当所以所以 P P 点坐标为点坐标为 0 0 0 000101 yxxxxx则不妨设由于时 0 2 1 x 则则 P P 点到直线点到直线 AFAF 的距离为 的距离为 4 1 4 1 2 1 2 1 1 1 x x x yBF x d 的方程而直线 即即 0 4 1 4 1 11 2 1 xyxxx 所以所以 P P 点到直线点到直线 BFBF 的距离为 的距离为 22 111 11 1 2 2 222 1 11 11 4 2442 1 21 4 4 xxx xx x d x xx 所以所以 d d1 1 d d2 2 即得 即得 AFP PFB AFP PFB 当当时 直线时 直线 AFAF 的方程 的方程 0 01 xx 2 0 2 000 0 1 111 4 0 0 4044 x yxxxx yx x 即 直线直线 BFBF 的方程 的方程 2 1 2 111 1 1 111 4 0 0 4044 x yxxxx yx x 即 所以所以 P P 点到直线点到直线 AFAF 的距离为 的距离为 222 0101 00100 01 1 2 222 0 00 111 42424 1 21 4 4 xxxx xx xxx xx d x xx 同理可得到同理可得到 P P 点到直线点到直线 BFBF 的距离的距离 因此由 因此由 d d1 1 d d2 2 可得到 可得到 AFP PFB AFP PFB 2 01 2 xx d 用心 爱心 专心 13 12 12 证法一 设点 证法一 设点 P P 的坐标为的坐标为 yx 由由 P P在椭圆上 得在椭圆上 得 yx 22 2 2 2222 1 x a c ax a b bcxycxPF 由由 所以 所以 0 acx a c aax知 1 x a c aPF 证法二 设点证法二 设点 P P 的坐标为的坐标为记记 yx 2211 rPFrPF 则则 22 2 22 1 ycxrycxr 由由 4 2 11 2 2 2 121 x a c arPFcxrrarr 得 证法三 设点证法三 设点 P P 的坐标为的坐标为椭圆的左准线方程为椭圆的左准线方程为 yx 0 x a c a 由椭圆第二定义得由椭圆第二定义得 即 即 a c c a x PF 2 1 2 1 x a c a c a x a c PF 由由 所以 所以0 acx a c aax知 1 x a c aPF 解法一 设点 解法一 设点 T T 的坐标为的坐标为 yx 当当时 点 时 点 0 0 和点 和点 0 0 在轨迹上 在轨迹上 0 PTaa 当当 时 由时 由 得 得 0 0 2 TFPT且0 2 TFPT 2 TFPT 又又 所以 所以 T T 为线段为线段 F F2 2Q Q 的中点的中点 2 PFPQ 在在 QF QF1 1F F2 2中 中 所以有 所以有aQFOT 2 1 1 222 ayx 综上所述 点综上所述 点 T T 的轨迹的轨迹 C C 的方程是的方程是 222 ayx 解法二 设点解法二 设点 T T 的坐标为的坐标为 当当时 点 时 点 0 0 和点 和点 0 0 在轨迹上 在轨迹上 yx0 PTaa 当当 时 由时 由 得 得 0 0 2 TFPT且0 2 TFPT 2 TFPT 又又 所以 所以 T T 为线段为线段 F F2 2Q Q 的中点的中点 2 PFPQ 用心 爱心 专心 14 设点设点 Q Q 的坐标为 的坐标为 则 则 因此因此 yx 2 2 y y cx x 2 2 yy cxx 由由得得 aQF2 1 4 222 aycx 将将 代入代入 可得 可得 222 ayx 综上所述 点综上所述 点 T T 的轨迹的轨迹 C C 的方程是的方程是 222 ayx 解法一 解法一 C C 上存在点上存在点 M M 使 使 S S 的充要条件是的充要条件是 00 y x 2 b 2 2 1 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由由 得得 由 由 得得 所以 当所以 当时 存在点时 存在点 M M 使 使 S S ay 0 2 0 c b y c b a 2 2 b 当当时 不存在满足条件的点时 不存在满足条件的点 M M c b a 2 当当时 时 c b a 2 002001 yxcMFyxcMF 由由 2222 0 22 021 bcaycxMFMF 212121 cos MFFMFMFMFMF 得 得 2 2121 sin 2 1 bMFFMFMFS 2tan 21 MFF 解法二 解法二 C C 上存在点上存在点 M M 使 使 S S 的充要条件是的充要条件是 00 y x 2 b 2 2 1 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由由 得得 上式代入上式代入 得得 2 0 c b y 0 22 2 4 22 0 c b a c b a c b ax 于是 当于是 当时 存在点时 存在点 M M 使 使 S S c b a 2 2 b 当当时 不存在满足条件的点时 不存在满足条件的点 M M c b a 2 当当时 记时 记 c b a 2 cx y kk cx y kk MFMF 0 0 2 0 0 1 21 用心 爱心 专心 15 由由知知 所以 所以 2 21 aFF 90 21MF F 2 1 tan 21 21 21 kk kk MFF 13 13 解 抛物线的焦点坐标为 解 抛物线的焦点坐标为 1 1 0 0 当直线 当直线l l不垂直于不垂直于x x轴时 设方程为轴时 设方程为 y y k k x x 1 1 代入 代入y y2 2 4 4x x 得得k k2 2x x2 2 x x 2 2k k2 2 4 4 k k2 2 0 0 设设l l方程与抛物线相交于两点 方程与抛物线相交于两点 k k 0 0 设点设点A A B B的坐标分别为 的坐标分别为 x x1 1 y y1 1 x x2 2 y y2 2 根据韦达定理 有根据韦达定理 有x x1 1 x x2 2 从而 从而y y1 1 y y2 2 k k x x1 1 x x2 2 2 2 2 2 2 2 k k k 4 设设 AOBAOB的重心为的重心为G G x x y y x x 3 0 21 xx 3 2 2 3 4 k y y 3 0 21 yy k3 4 y y2 2 x x 当当l l垂直于垂直于x x轴时 轴时 A A B B的坐标分别为 的坐标分别为 1 1 2 2 和 和 1 1 2 2 3 4 9 8 AOBAOB的重心的重心G G 0 0 也适合 也适合y y2 2 x x 3