弹性力学复习重点+试题及答案【整理版】

1 弹性力学弹性力学 2005 期末考试复习资料期末考试复习资料 一 简答题一 简答题 1 试写出弹性力学平面问题的基本方程 它们揭示的是那些 物理量之间的相互关系 在应用这些方程时 应注意些什么问题 答 平面问题中的平衡微分方程 揭示的是应力分量与体力 分量间的相互关系 应注意两个微分方程中包含着三个未知函数 x y xy yx 因此 决定应力分量的问题是超静定的 还必须考虑形变和位移 才能解决问题 平面问题的几何方程 揭示的是形变分量与位移分量间的相 互关系 应注意当物体的位移分量完全确定时 形变量即完全确 定 反之 当形变分量完全确定时 位移分量却不能完全确定 平面问题中的物理方程 揭示的是形变分量与应力分量间的 相互关系 应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的 转换关系 2 按照边界条件的不同 弹性力学问题分为那几类边界问题 试作简要说明 答 按照边界条件的不同 弹性力学问题分为位移边界问 题 应力边界问题和 混合边界问题 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的 也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数 应力边界问题中 物体在全部边界上所受的面力是已知的 即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数 混合边界问题中 物体的一部分边界具有已知位移 因而 具有位移边界条件 另一部分边界则具有应力边界条件 3 弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定 试将它们写 出 如何确定它们的正负号 答 弹性体任意一点的应力状态由 6 个应力分量决定 它们是 x y z xy yz zx 正面上的应力以沿坐标轴正方向为 正 沿坐标轴负方向为负 负面上的应力以沿坐标轴负方向为 正 沿坐标轴正方向为负 4 在推导弹性力学基本方程时 采用了那些基本假定 什么是 理想弹性体 试举例说明 答 答 在推导弹性力学基本方程时 采用了以下基本假定 1 假定物体是连续的 2 假定物体是完全弹性的 3 假定物体是均匀的 4 假定物体是各向同性的 5 假定位移和变形是微小的 符合 1 4 条假定的物体称为 理想弹性体 一般混凝 土构件 一般土质地基可近似视为 理想弹性体 5 什么叫平面应力问题 什么叫平面应变问题 各举一个工程 中的实例 答 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行 于板面并且不沿厚度变化的 面力 同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化 如工程中 的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类 平面应变问题是指很长的柱型体 它的横截面在柱面上受有 平行于横截面而且不沿长 度变化的面力 同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变 化 即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化 6 在弹性力学里分析问题 要从几方面考虑 各方面反映的是 那些变量间的关系 答 在弹性力学利分析问题 要从 3 方面来考虑 静力学方面 几何学方面 物理学方面 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量 之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程 平面问题的几何学方面主要考虑的是 形变分量与位移分量之间的 关系 也就是平面问题中的几何方程 平面问题的物理学 方面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系 也就 是平面问题中的物理方程 7 按照边界条件的不同 弹性力学问题分为那几类边界问题 试作简要说明 答 按照边界条件的不同 弹性力学问题可分为两类边界问 2 题 1 平面应力问题 很薄的等厚度板 只在板边上受有平行于 板面并且不沿厚度变化的面力 这一类问题可以简化为平面应力 问题 例如深梁在横向力作用下的受力分析问题 在该种问题中 只存在三个应力分量 yxxyyx 2 平面应变问题 很长的柱形体 在柱面上受有平行于横截 面并且不沿长度变化的面力 而且体力也平行于横截面且不沿长 度变化 这一类问题可以简化为平面应变问题 例如挡土墙和重 力坝的受力分析 该种问题 并不等于零 而一般 zzyyzzxxz 0 0 8 什么是圣维南原理 其在弹性力学的问题求解中有什么实际 意义 圣维南原理可表述为 如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等 效的面力 主矢量相同 对于同一点的主矩也相同 那麽近处的 应力分布将有显著的改变 但远处所受的影响可以不计 弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将面力分布不明确的 情况转化为静力等效但分布表达明确的情况而将问题解决 还可 解决边界条件不完全满足的问题的求解 9 什么是平面应力问题 其受力特点如何 试举例予以说明 答 平面应力问题 是指很薄的等厚度板 只在板边上受有平 行于板面并且不沿厚度变化的面力 这一类问题可以简化为平面 应力问题 例如深梁在横向力作用下的受力分析问题 在该种问 题中只存在三个应力分量 yxxyyx 10 什么是 差分法 试写出基本差分公式 答 所谓差分法 是把基本方程和边界条件 一般为微分方程 近似地改用差分方程 代数方程 来表示 把求解微分方程 的问题改换成为求解代数方程的问题 基本差分公式如下 2 042 0 2 2 42 0 2 031 0 2 2 31 0 2 2 2 2 h fff y f h ff y f h fff x f h ff x f 二 计算题二 计算题 1 已知过 P 点的应力分量 15Mpa x 25Mpa y 求过 P 点 斜Mpa xy 20 00 60cos30cos ml 面上的 NNNN YX 解 MpamlX xyxN 99 222060cos1530cos 00 MpalmY xyyN 82 292030cos2560cos 00 Mpa lmml xyyxN 82 34 2060cos30cos22560cos1530cos 2 000202 22 Mpa mllm xyxyN 33 14 20 60cos30 cos 1525 60cos30cos 020200 22 2 在物体内的任一点取一六面体 x y z 方向的尺寸分别为 dx dy dz 试依据下图证明 0 Y xzy xyzyy dx x x x x y dy y y y dx x xy xy dy y yx yx y z zx xz xy zy z x yx yz dz z z z dx x xz xz dy y yz yz dz z zy zy dz z zx zx P B A C o dx x x x x y dy y y y dx x xy xy dy y yx yx y z zx xz xy zy z x yx yz dz z z z dx x xz xz dy y yz yz dz z zy zy dz z zx zx P B A C o 证明 0 y F 3 0 Ydxdydz dzdydzdydx x dydxdydxdz z dzdxdzdxdy y xy xy xy zy zy zy y y y 化简并整理上式 得 0 Y xzy xyzyy 3 图示三角形截面水坝 材料的比重为 承受比重为 液 体的压力 已求得应力解为 试写出直边 aydx gydycx byax xy y x 及斜边上的边界条件 解 由边界条件 Y l m X m l sxysy syxsx 左边界 sin cos ml ay dxgy dy cx ay dx by ax ss ss 0 cossin 0sincos 右边界 0 1 ml ay dx gyby ax s s 0 4 已知一点处的应力分量 30Mpa x 25Mpa y 试求主应力 以及与 x 轴的夹角 Mpa xy 50 21 1 解 Mpa xy yxyx 56 59 50 2 2530 2 2530 22 2 2 2 2 1 Mpa xy yxyx 06 55 22 2 2 2 0111 1 59 30 50 30 56 59 tg tg xy x 5 在物体内的任一点取一六面体 x y z 方向的尺寸分别为 dx dy dz 试依据下图证明 0 z yxz yz xzz dx x x x x y dy y y y dx x xy xy dy y yx yx y z zx xz xy zy z x yx yz dz z z z dx x xz xz dy y yz yz dz z zy zy dz z zx zx P B A C o dx x x x x y dy y y y dx x xy xy dy y yx yx y z zx xz xy zy z x yx yz dz z z z dx x xz xz dy y yz yz dz z zy zy dz z zx zx P B A C o 证明 0 z F 0 Zdxdydz dxdzdxdzdy y dzdydzdydx x dydxdydxdz z yz yz yz xz xz xz z z z 化简并整理上式 0 Z yxz yz xzz 4 6 图示悬臂梁只受重力作用 而梁的密度为 设应力函数 恒能满足双调和方程 试 3223 DyCxyyBxAx 求应力分量并写出边界条件 解 所设应力函数 相应的应力分量为 2Cx 6Dy 2 2 y x pyByxpy x y 26 2 2 A CyBx yxxy 22 2 边界条件为 上表面 y 0 要求 XN B 00 0 yyx A 00 0 yy Y N 斜边界 边界条 cos sin mlaxytg 件得 0cos2sin 62 CyDyCx 0cossin2 pyCy 一 名词解释 共一 名词解释 共 10 分 每小题分 每小题 5 分 分 1 弹性力学 研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而弹性力学 研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而 发生的应力 应变和位移 发生的应力 应变和位移 2 圣维南原理 如果把物体的一小部分边界上的面力 变换为分圣维南原理 如果把物体的一小部分边界上的面力 变换为分 布不同但静力等效的面力 主矢量相同 对于同一点的主矩也相布不同但静力等效的面力 主矢量相同 对于同一点的主矩也相 同 同 那么近处的应力分布将有显著的改变 但是远处所受的影响 那么近处的应力分布将有显著的改变 但是远处所受的影响 可以不计 可以不计 一 一 填空 共填空 共 20 分 每空分 每空 1 分 分 1 边界条件表示在边界上边界条件表示在边界上 位移位移 与与 约束约束 或或 应力应力 与与 面力面力 之间的关系式 它可以分为之间的关系式 它可以分为 位移位移 边界边界 条件 条件 应力应力 边界条件和边界条件和 混合混合 边界条件 边界条件 2 体力是作用于物体体积内的力 以单位体积力来度量 体力体力是作用于物体体积内的力 以单位体积力来度量 体力 分量的量纲为分量的量纲为 L 2MT 2 面力是作用于物体表面上 面力是作用于物体表面上 力 以单位表面面积上的力度量 面力的量纲为力 以单位表面面积上的力度量 面力的量纲为 L 1MT 2 体力和面力符号的规定为以 体力和面力符号的规定为以 沿坐标轴正向沿坐标轴正向 为正 属为正 属 外外 力 应力是作用于截面单位面积的力 属力 应力是作用于截面单位面积的力 属 内内 力 应力的力 应力的 量纲为量纲为 L 1MT 2 应力符号的规定为 应力符号的规定为 正面正向 负正面正向 负 面负向为正 反之为负面负向为正 反之为负 3 小孔口应力集中现象中有两个特点 一是小孔口应力集中现象中有两个特点 一是 孔附近的应力孔附近的应力 高度集中高度集中 即孔附近的应力远大于远处的应力 或远 即孔附近的应力远大于远处的应力 或远 大于无孔时的应力 二是大于无孔时的应力 二是 应力集中的局部性应力集中的局部性 由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 1 5 倍孔口尺寸的范围内 倍孔口尺寸的范围内 4 弹性力学中 正面是指弹性力学中 正面是指 外法向方向沿坐标轴正向外法向方向沿坐标轴正向 的面 的面 负面是指负面是指 外法向方向沿坐标轴负向外法向方向沿坐标轴负向 的面的面 5 利用有限单元法求解弹性力学问题时 简单来说包含利用有限单元法求解弹性力学问题时 简单来说包含 结构结构 离散化离散化 单元分析单元分析 整体分析整体分析 三个主要步骤 三个主要步骤 二 二 绘图题 共绘图题 共 10 分 每小题分 每小题 5 分 分 分别绘出图分别绘出图 3 1 六面体六面体上下左右上下左右四个面的正的应力分量和图四个面的正的应力分量和图 3 2 极极 坐标下扇面正的应力分量 坐标下扇面正的应力分量 图图 3 1 图图 3 2 三 三 简答题 简答题 24 分 分 1 8 分 弹性力学中引用了哪五个基本假定 五个基本假定分 弹性力学中引用了哪五个基本假定 五个基本假定 在建立弹性力学基本方程时有什么用途 在建立弹性力学基本方程时有什么用途 5 答 弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为 答 弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为 答出标注的内容即可给满分 答出标注的内容即可给满分 1 连续性假定 引用这一假定后 物体中的应力 应变 连续性假定 引用这一假定后 物体中的应力 应变 和位移等物理量就可看成是连续的 因此 建立弹性力学的基本和位移等物理量就可看成是连续的 因此 建立弹性力学的基本 方程时就可以方程时就可以用坐标的连续函数来表示用坐标的连续函数来表示他们的变化规律 他们的变化规律 2 完全弹性假定 这一假定包含应力与应变成正比的含义 完全弹性假定 这一假定包含应力与应变成正比的含义 亦即二者呈线性关系 复合胡克定律 从而亦即二者呈线性关系 复合胡克定律 从而使物理方程成为线性使物理方程成为线性 的方程的方程 3 均匀性假定 在该假定下 所研究的物体内部各点的物 均匀性假定 在该假定下 所研究的物体内部各点的物 理性质显然都是相同的 因此 反应这些物理性质的理性质显然都是相同的 因此 反应这些物理性质的弹性常数弹性常数 如弹性模量 如弹性模量 E 和泊松比和泊松比 等 就不随位置坐标而变化等 就不随位置坐标而变化 4 各向同性假定 各向同性是指物体的物理性质在各个方 各向同性假定 各向同性是指物体的物理性质在各个方 向上都是相同的 也就是说 物体的向上都是相同的 也就是说 物体的弹性弹性常数也不随方向变化常数也不随方向变化 5 小变形假定 研究物体受力后的平衡问题时 小变形假定 研究物体受力后的平衡问题时 不用考虑不用考虑 物体尺寸的改变 而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算物体尺寸的改变 而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算 同时 同时 在研究物体的变形和位移时 可以将它们的二次幂或乘积略去不在研究物体的变形和位移时 可以将它们的二次幂或乘积略去不 计 使计 使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程 2 8 分 弹性力学平面问题包括哪两类问题 分别对应哪类分 弹性力学平面问题包括哪两类问题 分别对应哪类 弹性体 两类平面问题各有哪些特征 弹性体 两类平面问题各有哪些特征 答 弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两答 弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两 类 两类问题分别对应的弹性体和特征分别为 类 两类问题分别对应的弹性体和特征分别为 平面应力问题 所对应的弹性体主要为平面应力问题 所对应的弹性体主要为等厚薄板等厚薄板 其特征是 其特征是 面力 体力的作用面平行于面力 体力的作用面平行于 xy 平面 外力沿板厚均匀分布 只有平面 外力沿板厚均匀分布 只有 平面应力分量平面应力分量 存在 且仅为存在 且仅为 x y 的函数 的函数 x y xy 平面应变问题 所对应的弹性体主要为长截面柱体 其特征为 平面应变问题 所对应的弹性体主要为长截面柱体 其特征为 面力 体力的作用面平行于面力 体力的作用面平行于 xy 平面 外力沿平面 外力沿 z 轴无变化 只有平轴无变化 只有平 面应变分量面应变分量 存在 且仅为存在 且仅为 x y 的函数 的函数 x y xy 3 8 分 常体力情况下 按应力求解平面问题可进一步简化分 常体力情况下 按应力求解平面问题可进一步简化 为按应力函数为按应力函数求解 应力函数求解 应力函数必须满足哪些条件 必须满足哪些条件 答 答 1 相容方程 相容方程 0 4 2 应力边界条件 假定全部为应力边界条件 应力边界条件 假定全部为应力边界条件 ss 上在 ss flm fml y s xyy x s yxx 3 若为多连体 还须满足位移单值条件 若为多连体 还须满足位移单值条件 四 四 问答题问答题 36 1 12 分 试列出图分 试列出图 5 1 的全部边界条件 在其端部边界上 的全部边界条件 在其端部边界上 应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件 应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件 板厚 板厚 1 图图 5 1 解 在主要边界解 在主要边界上 应精确满足下列边界条件 上 应精确满足下列边界条件 2hy lqx hy y 2 0 2 hy yx 0 2 hy y 1 2 q hy yx 在次要边界在次要边界上 应用圣维南原理列出三个积分的应上 应用圣维南原理列出三个积分的应0 x 力边界条件 当板厚力边界条件 当板厚时 时 1 2 2 0 h h Nxx Fdy 2 2 0 h h xx Mydy 2 2 0 h h S x xy Fdy 在次要边界上 有位移边界条件 lx 0 lx u 这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界 0 lx v 条件代替 lqFdy h h Nxx 2 2 10 26 2 2 2 0 qlhql lFMydy S h h xx 2 2 2 0 ql Fdy h h S x xy 2 10 分 试考察应力函数分 试考察应力函数 能满足相容 能满足相容 3 cxy 0 c 方程 并求出应力分量 不计体力 方程 并求出应力分量 不计体力 画出图 画出图 5 2 所示矩形体所示矩形体 边界上的面力分布 并在次要边界上表示出面力的主矢和主边界上的面力分布 并在次要边界上表示出面力的主矢和主 矩 矩 图图 5 2 解 解 1 相容条件 将 相容条件 将代入相容方程代入相容方程 3 cxy 显然满足 显然满足 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 2 应力分量表达式 应力分量表达式 cxy y x 6 2 2 0 y 2 3cy xy 3 边界条件 在主要边界 边界条件 在主要边界上 即上下边 面力为上 即上下边 面力为 2 h y chx hy y 3 2 2 2 4 3 ch hy xy 在次要边界上 面力的主失和主矩为lxx 0 6 2 2 32 2 2 0 2 2 0 2 2 0 4 3 0 0 h h h h x xy h h xx h h xx h c dycydy dyy dy 2 2 32 2 2 0 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 6 06 h h h h x xy h h h h lxx h h h h lxx h c dycydy clh dyclydyy dyclydy 弹性体边界上的面力分布及在次要边界弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主lxx 0 失量和主矩如解图所示 3 14 分 设有矩形截面的长竖柱 密度为分 设有矩形截面的长竖柱 密度为 在一边侧面上 在一边侧面上 受均布剪力受均布剪力 q 如图如图 5 3 所示 试求应力分量 所示 试求应力分量 提示 采用 提示 采用 半逆解法 因为在材料力学弯曲的基本公式中 假设材料符半逆解法 因为在材料力学弯曲的基本公式中 假设材料符 合简单的胡克定律 故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无合简单的胡克定律 故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无 挤压 即可设应力分量挤压 即可设应力分量 0 x 图图 5 3 解 采用半逆解法 因为在材料力学弯曲的基本公式中 假解 采用半逆解法 因为在材料力学弯曲的基本公式中 假 设材料符合简单的胡克定律 故可认为矩形截面竖柱的纵向设材料符合简单的胡克定律 故可认为矩形截面竖柱的纵向 纤维间无挤压 即可设应力分量纤维间无挤压 即可设应力分量 0 x 1 假设应力分量的函数形式 假设应力分量的函数形式 0 x 2 推求应力函数的形式 此时 体力分量为推求应力函数的形式 此时 体力分量为 将 将代入应力公式代入应力公式gff yx 00 x 有有对对积分 得积分 得 2 2 y x 0 2 2 y x x a xf y xfxyf 1 b 其中其中 都是的待定函数 的待定函数 xf xf1x 3 由相容方程求解应力函数 将式 由相容方程求解应力函数 将式 b 代入相容方程 代入相容方程 得 得0 4 0 4 1 4 4 4 dx xfd dx xfd y 这是这是 y 的一次方程 相容方程要求它有无数多的根 全的一次方程 相容方程要求它有无数多的根 全 部竖柱内的部竖柱内的 y 值都应该满足 值都应该满足 可见它的系数和自由项 可见它的系数和自由项 都必须等于零 都必须等于零 两个 两个 0 4 4 dx xfd 0 4 1 4 dx xfd 方程要求方程要求 CxBxAxxf 23 23 1 ExDxxf c 中的常数项 中的常数项 中的一次和常数项已被略去 中的一次和常数项已被略去 xf xf1 因为这三项在因为这三项在的表达式中成为的表达式中成为 y 的一次和常数项 的一次和常数项 不影响应力分量 得应力函数不影响应力分量 得应力函数 2323 ExDxCxBxAxy d 4 由应力函数求应力分量 由应力函数求应力分量 0 2 2 xx xf y e gyEDxByAxyyf x yy 2626 2 2 f CBxAx yx xy 23 2 2 g 5 考察边界条件 利用边界条件确定待定系数考察边界条件 利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边先来考虑左右两边的主要边界条件 的主要边界条件 2bx 0 2 bxx 0 2 bx xy q bx xy 2 将应力分量式将应力分量式 e 和和 g 代入 这些边界条件要求 代入 这些边界条件要求 自然满足 自然满足 0 2 bxx 0 4 3 2 2 CBbAb bx xy h qCBbAb bx xy 2 2 4 3 i 7 由 由 h i 得得 b q B 2 j 考察次要边界考察次要边界的边界条件 应用圣维南的边界条件 应用圣维南0 y 原理 三个积分的应力边界条件为原理 三个积分的应力边界条件为 0226 2 2 0 2 2 EbdxEDxdx b b y b b y 得得 0 E 0 2 26 3 2 2 0 2 2 Db dxxEDxxdx b b y b b y 得得 0 D 0 4 3 3 2 2 2 0 2 2 bC Ab dxCx b q Axdx b b y b b xy k 由 由 h j k 得 得 2 b q A 4 q C 将所得将所得 A B C D E 代入式 代入式 e f g 得应力 得应力 分量为 分量为 0 x gyy b q xy b q y 2 6 4 3 2 2 q x b q x b q xy 弹性力学试卷弹性力学试卷 A A 一 填空题 每空 2 分 共计 30 分 1 弹性力学平面问题分为 和 2 平面问题的几何协调方程为 3 将平面应力问题下物理方程中的 E 分别换成 就可得到 平面应变问题中的物理方程 4 E 和 G 的关系可用式 表示 5 中两个下标的含义为 xy 6 弹性力学问题中有 5 个基本假设 分别是 7 弹性力学中有两类外荷载 分别是 二 简答题 40 分 1 试写出弹性力学平面问题的基本方程 它们揭示的是 那些物理量之间的相互关系 在应用这些方程时 应注 意些什么问题 15 分 2 按照边界条件的不同 弹性力学问题分为那几类边界 问题 试作简要说明 9 分 3 什么叫平面应力问题 什么叫平面应变问题 这两种 问题各有哪些非零应力量 两种问题各举一个工程中的 实例 8 分 4 什么是圣维南原理 其在弹性力学的问题求解中有什 么实际意义 8 分 三 解答题 30 分 1 已知物体内一点的 6 个应力分量为 4MPa 2MPa 4MPa 8MPa 4 x y z xy xz MPa 0MPa 试求法线方向余弦为 l 1 2 m 1 2 yz n 1 的微分面上的应力 总应力 正应力 切2 v f v 应力 15 分 v 2 如图 三角形悬臂梁只受重力作用 梁的密度为 试用纯三次式的应力函数求解应力分量 15 分 答案答案 一 1 平面应力问题 平面应变问题 2 0 ij klkl ijjl ikik jl 3 E 1 1 2 4 G E 2 1 5 应力作用在法向平行于 x 轴的平面 应力方向 平行于 y 轴 6 连续性 均匀性 完全弹性 各向同性 小变形 7 体力 面力 二 1 答 1 平面问题中的平衡微分方程 揭示的是应力分量 与体力分量间的相互关系 应注意两个微分方程中包含 8 着三个未知函数 因此 决定 x y xy yx 应力分量的问题是超静定的 还必须考虑形变和位移 才能解决问题 2 平面问题的几何方程 揭示的是形变分量与位移分量 间的相互关系 应注意当物体的位移分量完全确定时 形变量即完全确定 反之 当形变分量完全确定时 位 移分量却不能完全确定 3 平面问题中的物理方程 揭示的是形变分量与应力分 量间的相互关系 应注意平面应力问题和平面应变问题 物理方程的转换关系 2 答 按照边界条件的不同 弹性力学问题分为位移边 界问题 应力边界问题和混合边界问题 1 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是 已知的 也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数 2 应力边界问题中 物体在全部边界上所受的面力是 已知的 即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知 函数 3 混合边界问题中 物体的一部分边界具有已知位移 因而具有位移边界条件 另一部分边界则具有应力边界条 件 3 答 1 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在 板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力 同时 体力也平行于板面并且不沿厚度变化 非零应力量有 x y xy 如板式吊钩 旋转圆盘 工字梁的腹板 等 2 平面应变问题是指很长的柱型体 它的横截面在柱 面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力 同时 体力也平行于横截面而且也不沿长度变化 即内在因素 和外来作用都不沿长度而变化 非零应力量有 x y z xy 如煤矿巷道的变形与破坏分析 挡土墙 重力坝等 4 答 1 圣维南原理可表述为 如果把物体的一小 部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力 主矢量相同 对于同一点的主矩也相同 那么近处的 应力分布将有显著的改变 但远处所受的影响可以不计 2 弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将面力 分布不明确的情况转化为静力等效但分布表达明确的情 况而将问题解决 还可解决边界条件不完全满足的问题 的求解 三 1 解 应力矩阵为 xxyxz xyyyz xzyzz 484 820 404 1 方向余弦为的微分斜面上沿 i 坐标轴方向的应力 j n 为 ijij fn 则 4 1 2 8 1 2 4 1 111 1212313 fnnn 6 222 8 1 2 2 1 2 0 5 2121222323 fnnn 4 1 2 0 4 1 2 313 1232333 fnnn 2 22 11 2363 222 123v ffff 81 32 2 2 vijij nn 11 1 1121213 13 n nn nn n 212122222323 n nn nn n 313 132323333 n nn nn n 2 2 2 11 1 1 n n 2222 n n 3333 n n 1212 n n 13 13 n n 2323 n n 4 1 4 2 1 4 4 1 2 2 8 1 4 2 4 1 2 1 sqrt 2 10 3284 9 3 22 vvv f 4 4248 2 10 1 平面应力问题的基本特征基本特征 1 等厚度薄板 只在板边上受 有平行于板面并且不沿厚度变化面力或约束 2 此时 z 0 zx 0 zy 0 3 x y xy 都是 x y 的 函数 不随 z 而变化 平面应变问题的基本特征基本特征 1 等截面长柱形体 只在柱 面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束 2 此 时 z 0 zx 0 zy 0 3 x y xy 都是 x y 的 函数 不随 z 而变化 4 z 一般并不等于零 2 在导出平面问题的三套基本方程时 分别应用了哪些基本假哪些基本假 定定 答 在导出平衡微分方程时 应用了连续性假定和小变形假定答 在导出平衡微分方程时 应用了连续性假定和小变形假定 在导出几何方程时 应用了连续性假定和小变形假定在导出几何方程时 应用了连续性假定和小变形假定 在导出物理方程时 应用了连续性假定 完全弹性假定 均匀性在导出物理方程时 应用了连续性假定 完全弹性假定 均匀性 假定 各向同性假定 小变形假定 假定 各向同性假定 小变形假定 3 试比较弹性力学和材料力学中应力正方向规定的异同正方向规定的异同 答 弹性力学中正应力的正方向 在正面上以坐标轴的正向为正 方向 在负面上以坐标轴的负方向为正方向 弹性力学中的切应 力也是一样的 在正面上以坐标轴的正向为正方向 在负面上以 坐标轴的负方向为正方向 材料力学中 正应力的正方向规定以拉为正 以压为负 切应 力以绕截面顺时针转动为正 4 按应力求解平面问题应力求解平面问题时 应力分量 x y xy 取为基 本未知函数 其他未知函数中形变分量可以简单的用应力分量表 示 即物理方程 为了用应力分量表示位移分量 须将物理方程 代入几何方程 然后通过积分等运算求出位移分量 因此 用应 力分量表示位移分量的表达式较为复杂 且其中包含了待定的积 分项 从而使位移边界条件用应力分量表示的式子十分复杂 且 很难求解 所以在按应力求解函数解答时 通常只求解全部为应在按应力求解函数解答时 通常只求解全部为应 力边界条件的问题 力边界条件的问题 5 在体力为常量的情况下 平衡微分方程 相容方程和应力边 界条件中都不包含弹性系数 从而对于两种平面问题都是相同的 因此 当体力为常量时 在单连体的应力边界问题中 如果两个 弹性体具有相同的边界形状 并受到同样分布的外力 那么 就 不管这两个弹性体的材料是否相同 也不管他们是在平面应力情 况下或是在平面应变情况下 应力分量 x y xy 的分布 是相同的 6 在常体力的情况下 弹性力学平面问题中存在着一个应力函数应力函数 按应力求解平面问题 可以归纳为求解一个应力函数 它必 须满足 满足 在区域内的相容方程 在边界上的应力边界条件 在多连 体中 还须满足位移单值条件 7 当不计体力时 在极坐标中按应力求解平面问题极坐标中按应力求解平面问题 归结为求解 一个应力函数 它必须满足 1 在区域内的相容方 程 2 在边界上的应力边界条件 3 如为多连体 还有多连 体中的位移单值条件 8 如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向 这个截面 就成为一个正面正面 这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正 沿坐 标轴负方向为负 相反 如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向 这个截面就成为一个负面负面 这个面上的应力就以沿坐标 轴负方向为正 沿坐标轴正