二次函数讲义

精品文档 1欢迎下载 第二十二章第二十二章 二次函数二次函数 2222 1 1 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质 2222 1 11 1 二次函数二次函数 1 设一个正方形的边长为 x 则该正方形的面积 y 其中变量是 是 的函数 2 一般地 形如 y ax2 bx c 的函数 叫做二次函数 其中 x 是 自变量 a b c 分别为二次项系数 一次项系数 常数项 知识点知识点 1 1 二次函数的定义 二次函数的定义 1 下列函数是二次函数的是 A y 2x 1 B y 2x 1 C y x2 2 D y 0 5x 2 2 下列说法中 正确的是 A 二次函数中 自变量的取值范围是非零实数 B 在圆的面积公式 S r2中 S 是 r 的二次函数 C y x 1 x 4 不是二次函数 1 2 D 在 y 1 x2中 一次项系数为 1 2 3 若 y a 3 x2 3x 2 是二次函数 则 a 的取值范围是 4 已知二次函数 y 1 3x 2x2 则二次项系数 a 一次项系数 b 常数 项 c 5 已知两个变量 x y 之间的关系式为 y a 2 x2 b 2 x 3 1 当 时 x y 之间是二次函数关系 2 当 时 x y 之间是一次函数关系 精品文档 2欢迎下载 6 已知两个变量 x y 之间的关系为 y m 2 xm2 2 x 1 若 x y 之间是二次函数关 系 求 m 的值 知识点知识点 2 2 实际问题中的二次函数的解析式 实际问题中的二次函数的解析式 7 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品 该商品可以自行定价 若每件商品 售价为 x 元 则可卖出 350 10 x 件商品 那么商品所赚钱数 y 元与售价 x 元的函数 关系式为 A y 10 x2 560 x 7350 B y 10 x2 560 x 7350 C y 10 x2 350 x 7350 D y 10 x2 350 x 7350 8 某车的刹车距离 y m 与开始刹车时的速度 x m s 之间满足二次函数 y x2 x 0 1 20 若该车某次的刹车距离为 5 m 则开始刹车时的速度为 A 40 m s B 20 m s C 10 m s D 5 m s 9 某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元 以后每月新产品的研发资金与上月相比增 长率都是 x 则该厂今年三月份新产品的研发资金 y 元 关于 x 的函数关系式为 y 10 多边形的对角线条数 d 与边数 n 之间的关系式为 自变量 n 的取值范 围是 当 d 35 时 多边形的边数 n 11 如图 有一个长为 24 米的篱笆 一面利用墙 墙的最大长度 a 为 10 米 围成的中间 隔有一道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽 AB 为 x 米 面积为 S 平方米 1 求 S 与 x 的函数关系式 2 如果要围成面积为 45 平方米的花圃 AB 的长为多少米 精品文档 3欢迎下载 12 已知二次函数 y x2 2x 2 当 x 2 时 y 当 x 时 函数值 为 1 13 边长为 4 m的正方形中间挖去一个边长为 x m x 4 的小正方形 剩余的四方框的 面积为 y m2 则 y 与 x 之间的函数关系式为 它是 函 数 14 设 y y1 y2 y1与 x 成正比例 y2与 x2成正比例 则 y 与 x 的函数关系是 A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上都不正确 15 某种正方形合金板材的成本 y 元 与它的面积成正比 设边长为 x 厘米 当 x 3 时 y 18 那么当成本为 72 元时 边长为 A 6 厘米 B 12 厘米 C 24 厘米 D 36 厘米 16 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形 抽屉底面周长为 180 cm 高为 20 cm 设底面的宽为 x 抽屉的体积为 y 时 求 y 与 x 之间的函数关系 式 材质及其厚度等暂忽略不计 17 某商店经营一种小商品 进价为 2 5 元 据市场调查 销售单价是 13 5 元时 平均 每天销售量是 500 件 而销售单价每降低 1 元 平均每天就可以多售出 100 件 假 定每件商品降价 x 元 商店每天销售这种小商品的利润是 y 元 请写出 y 与 x 之间 的函数关系式 并注明 x 的取值范围 精品文档 4欢迎下载 18 一块矩形的草坪 长为 8 m 宽为 6 m 若将长和宽都增加 x m 设增加的面积为 y m2 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 若使草坪的面积增加 32 m2 求长和宽都增加多少米 2222 1 21 2 二次函数二次函数 y y axax2 2的图象和性质的图象和性质 1 由解析式画函数图象的步骤是 2 一次函数 y kx b k 0 的图象是 3 二次函数 y ax2 a 0 的图象是一条 其对称轴为 轴 顶点坐标为 4 抛物线 y ax2与 y ax2关于 轴对称 抛物线 y ax2 当 a 0 时 开口向 顶点是它的最 点 当 a 0 时 开口向 顶点是它的最 点 随着 a 的增大 开口越来越 知识点知识点 1 1 二次函数 二次函数 y y axax2 2的图象及表达式的确定的图象及表达式的确定 1 已知二次函数 y x2 则其图象经过下列点中的 A 2 4 B 2 4 C 2 4 D 4 2 2 某同学在画某二次函数 y ax2的图象时 列出了如下的表格 x 3 2 5 1 012 5 3 精品文档 5欢迎下载 y364025 1 根据表格可知这个二次函数的关系式是 2 将表格中的空格补全 3 已知二次函数 y ax2的图象经过点 A 1 1 3 1 求这个二次函数的解析式并画出其图象 2 请说出这个二次函数的顶点坐标 对称轴 知识点知识点 2 2 二次函数 二次函数 y y axax2 2的图象和性质的图象和性质 4 对于函数 y 4x2 下列说法正确的是 A 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 B 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 C y 随 x 的增大而减小 D y 随 x 的增大而增大 精品文档 6欢迎下载 5 已知点 1 y1 2 y2 3 y3 都在函数 y x2的图象上 则 A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y2 y1 D y2 y1 y3 6 已知二次函数 y m 2 x2的图象开口向下 则 m 的取值范围是 7 二次函数 y x2的图象是一条开口向 的抛物线 对称轴是 顶点 1 2 坐标是 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 函数 y 有 填 最大 或 最小 值是 8 如图是一个二次函数的图象 则它的解析式为 当 x 时 函数图象 的最低点为 9 已知二次函数 y mxm2 2 1 求 m 的值 2 当 m 为何值时 二次函数有最小值 求出这个最小值 并指出 x 取何值时 y 随 x 的增大而减小 3 当 m 为何值时 二次函数的图象有最高点 求出这个最高点 并指出 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 精品文档 7欢迎下载 10 二次函数 y x2和 y 5x2 以下说法 它们的图象都是开口向上 它们的对称 1 5 轴都是 y 轴 顶点坐标都是原点 0 0 当 x 0 时 它们的函数值 y 都是随着 x 的增大而增大 它们开口的大小是一样的 其中正确的说法有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 11 已知 a 0 同一坐标系中 函数 y ax 与 y ax2的图象有可能是 12 如图是下列二次函数的图象 y ax2 y bx2 y cx2 y dx2 比较 a b c d 的大小 用 连接为 第 12 题图 第 14 题图 13 当 a 时 抛物线 y ax2与抛物线 y 4x2关于 x 轴对称 抛物线 y 7x2关于 x 轴对称所得抛物线的解析式为 当 a 时 抛物 线 y ax2与抛物线 y 2x2的形状相同 14 已知二次函数 y 2x2的图象如图所示 将 x 轴沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后与抛 物线交于 A B 两点 则 AOB 的面积为 15 已知正方形的周长为 C cm 面积为 S cm2 1 求 S 与 C 之间的函数关系式 2 画出所示函数的图象 精品文档 8欢迎下载 3 根据函数图象 求出 S 1 cm2时正方形的周长 4 根据列表或图象的性质 求出 C 取何值时 S 4 cm2 16 二次函数 y ax2与直线 y 2x 1 的图象交于点 P 1 m 1 求 a m 的值 2 写出二次函数的表达式 并指出 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 3 指出抛物线的顶点坐标和对称轴 精品文档 9欢迎下载 17 如图 抛物线 y x2与直线 y 2x 在第一象限内有一个交点 A 1 你能求出 A 点坐标吗 2 在 x 轴上是否存在一点 P 使 AOP 为等腰三角形 若存在 请你求出点 P 的坐 标 若不存在 请说明理由 精品文档 10欢迎下载 精品文档 11欢迎下载 2222 1 31 3 二次函数二次函数 y y a xa x h h 2 2 k k 的图象和性质的图象和性质 22 1 3 1 二次函数 y ax2 k 的图象和性质 1 二次函数 y ax2 k 的图象是一条 它与抛物线 y ax2的 相同 只是 不同 它的对称轴为 轴 顶点坐标为 2 二次函数 y ax2 k 的图象可由抛物线 y ax2 得到 当 k 0 时 抛物线 y ax2向上平移 个单位得 y ax2 k 当 k 0 时 抛物线 y ax2向 平移 k 个单位得 y ax2 k 知识点知识点 1 1 二次函数 二次函数 y y axax2 2 k k 的图象和性质的图象和性质 1 抛物线 y 2x2 2 的对称轴是 顶点坐标是 它与抛物线 y 2x2的形状 2 抛物线 y 3x2 2 的开口向 对称轴是 顶点坐标是 3 若点 x1 y1 和 x2 y2 在二次函数 y x2 1 的图象上 且 x1 x2 0 则 y1与 y2 1 2 的大小关系为 4 对于二次函数 y x2 1 当 x 时 y 最 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 5 已知二次函数 y x2 4 1 当 x 为何值时 y 随 x 的增大而减小 2 当 x 为何值时 y 随 x 的增大而增大 3 当 x 为何值时 y 有最大值 最大值是多少 4 求图象与 x 轴 y 轴的交点坐标 精品文档 12欢迎下载 知识点知识点 2 2 二次函数 二次函数 y y axax2 2 k k 与与 y y axax2 2之间的平移之间的平移 6 将二次函数 y x2的图象向上平移 1 个单位 则平移后的抛物线的解析式是 7 抛物线 y ax2 c 向下平移 2 个单位得到抛物线 y 3x2 2 则 a c 8 在同一个直角坐标系中作出 y x2 y x2 1 的图象 1 2 1 2 1 分别指出它们的开口方向 对称轴以及顶点坐标 2 抛物线 y x2 1 与抛物线 y x2有什么关系 1 2 1 2 知识点知识点 3 3 抛物线 抛物线 y y axax2 2 k k 的应用的应用 9 如图 小敏在某次投篮中 球的运动路线是抛物线 y x2 3 5 的一部分 若命中 1 5 篮圈中心 则她与篮底的距离 l 是 B A 3 5 m B 4 m C 4 5 m D 4 6 m 精品文档 13欢迎下载 精品文档 14欢迎下载 10 如果抛物线 y x2 2 向下平移 1 个单位 那么所得新抛物线的解析式是 A y x 1 2 2 B y x 1 2 2 C y x2 1 D y x2 3 11 已知 y ax2 k 的图象上有三点 A 3 y1 B 1 y2 C 2 y3 且 y2 y3 y1 则 a 的取值范围是 A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 12 已知抛物线 y x2 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 则 ABC 的面积为 13 若抛物线 y ax2 c 与抛物线 y 4x2 3 关于 x 轴对称 则 a c 14 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 3 与 y 轴交于 A 过点 A 作与 x 轴平行的直 线交抛物线 y x2于点 B C 则 BC 的长度为 1 3 15 直接写出符合下列条件的抛物线 y ax2 1 的函数关系式 1 经过点 3 2 2 与 y x2的开口大小相同 方向相反 1 2 3 当 x 的值由 0 增加到 2 时 函数值减少 4 精品文档 15欢迎下载 16 把 y x2的图象向上平移 2 个单位 1 2 1 求新图象的解析式 顶点坐标和对称轴 2 画出平移后的函数图象 3 求平移后的函数的最大值或最小值 并求对应的 x 的值 17 已知抛物线的对称轴是 y 轴 顶点坐标是 0 2 且经过 1 3 求此抛物线的解析 式 18 若二次函数 y ax2 c 当 x 取 x1 x2 x1 x2 时 函数值相等 则当 x 取 x1 x2时 函 数值为 A a c B a c C c D c 19 廊桥是我国古老的文化遗产 如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图 已知抛物线对应 的函数关系式为 y x2 10 为保护廊桥的安全 在该抛物线上距水面 AB 高为 8 米 1 40 精品文档 16欢迎下载 的点 E F 处要安装两盏警示灯 求这两盏灯的水平距离 2 24 结果精确到 1 米 5 精品文档 17欢迎下载 22 1 3 2 二次函数 y a x h 2的图象和性质 1 二次函数 y a x h 2的图象是 它与抛物线 y ax2的 相同 只是 不同 它的对称轴为直线 顶点坐标为 2 二次函数 y a x h 2的图象可由抛物线 y ax2 得到 当 h 0 时 抛物线 y ax 向 平移 h 个单位得 y a x h 2 当 h 0 时 抛物线 y ax2向 平移 h 个单位得 y a x h 2 知识点知识点 1 1 二次函数 二次函数 y y a xa x h h 2 2的图象的图象 1 将抛物线 y x2向左平移 2 个单位后 得到的抛物线的解析式是 A y x 2 2 B y x2 2 C y x 2 2 D y x2 2 2 抛物线 y 3 x 1 2不经过的象限是 A 第一 二象限 B 第二 四象限 C 第三 四象限 D 第二 三象限 3 已知二次函数 y a x h 2的图象是由抛物线 y 2x2向左平移 3 个单位长度得到的 则 a h 4 在同一平面直角坐标系中 画出函数 y x2 y x 2 2 y x 2 2的图象 并写 出对称轴及顶点坐标 知识点知识点 2 2 二次函数 二次函数 y y a xa x h h 2 2的性质的性质 精品文档 18欢迎下载 5 二次函数 y 15 x 1 2的最小值是 A 1 B 1 C 0 D 没有最小值 6 如果二次函数 y a x 3 2有最大值 那么 a 0 当 x 时 函数的最大值是 7 对于抛物线 y x 5 2 开口方向 顶点坐标为 对称轴为 1 3 8 二次函数 y 5 x m 2中 当 x 5 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 5 时 y 随 x 的增大而减小 则 m 此时 二次函数的图象的顶点坐标为 当 x 时 y 取最 值 为 9 已知 A 4 y1 B 3 y2 C 3 y3 三点都在二次函数 y 2 x 2 2的图象上 则 y1 y2 y3的大小关系为 10 已知抛物线 y a x h 2 当 x 2 时 有最大值 此抛物线过点 1 3 求抛物 线的解析式 并指出当 x 为何值时 y 随 x 的增大而减小 精品文档 19欢迎下载 11 顶点为 6 0 开口向下 形状与函数 y x2的图象相同的抛物线的解析式是 1 2 A y x 6 2 B y x 6 2 C y x 6 2 D y x 6 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 平行于 x 轴的直线与 y a x 2 2的一个交点坐标为 1 2 则另一个交点坐标 为 A 1 2 B 1 2 C 5 2 D 1 4 13 在同一直角坐标系中 一次函数 y ax c 和二次函数 y a x c 2的图象大致为 14 已知二次函数 y 3 x a 2的图象上 当 x 2 时 y 随 x 的增大而增大 则 a 的取 值范围是 15 已知一条抛物线与抛物线 y x2 3 形状相同 开口方向相反 顶点坐标是 1 2 5 0 则该抛物线的解析式是 16 已知抛物线 y a x h 2的对称轴为 x 2 且过点 1 3 1 求抛物线的解析式 2 画出函数的图象 3 从图象上观察 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 当 x 取何值时 函数有最 大值 或最小值 17 已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线 y 8x2都相同 并且它的顶点在 抛物线 y 2 x 2的顶点上 3 2 1 求这条抛物线的解析式 精品文档 20欢迎下载 2 求将 1 中的抛物线向左平移 5 个单位后得到的抛物线的解析式 3 将 2 中所求抛物线关于 x 轴对称 求所得抛物线的解析式 18 如图 在Rt OAB 中 OAB 90 O 为坐标原点 边 OA 在 x 轴上 OA AB 1 个 单位长度 把Rt OAB 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度后得 AA1B1 1 求以 A 为顶点 且经过点 B1的抛物线的解析式 2 若 1 中的抛物线与 OB 交于点 C 与 y 轴交于点 D 求点 D C 的坐标 精品文档 21欢迎下载 22 1 3 3 二次函数 y a x h 2 k 的图象和性质 1 抛物线 y a x h 2 k 与 y ax2形状 位置 把抛物线 y ax2向上 下 和向左 右 平移 可以得到抛物线 y a x h 2 k 平移的方向 距离要根据 的值来决定 2 抛物线 y a x h 2 k 有如下特点 当 a 0 时 开口向 当 a 0 时 开口向 对称轴是直线 顶点坐标是 知识点知识点 1 1 二次函数 二次函数 y y a xa x h h 2 2 k k 的图象的图象 1 抛物线 y x 1 2 3 的对称轴是 A y 轴 B 直线 x 1 C 直线 x 1 D 直线 x 3 2 抛物线 y x 2 2 1 的顶点坐标是 A 2 1 B 2 1 C 2 1 D 2 1 3 把抛物线 y 2x2先向右平移 1 个单位长度 再向上平移 2 个单位长度后 所得函数 的表达式为 A y 2 x 1 2 2 B y 2 x 1 2 2 C y 2 x 1 2 2 D y 2 x 1 2 2 4 写出下列抛物线的开口方向 对称轴及顶点坐标 1 y 3 x 1 2 2 2 y x 1 2 5 1 3 知识点知识点 2 2 二次函数 二次函数 y y a xa x h h 2 2 k k 的性质的性质 5 在函数 y x 1 2 3 中 y 随 x 的增大而减小 则 x 的取值范围为 A x 1 B x 3 C x 1 D x 3 精品文档 22欢迎下载 6 如图 在平面直角坐标系中 抛物线的解析式为 y 2 x h 2 k 则下列结论正确 的是 A h 0 k 0 B h 0 k 0 C h 0 k 0 D h 0 k 0 第 6 题图 第 9 题图 7 一小球被抛出后 距离地面的高度 h 米 和飞行时间 t 秒 满足函数关系式 h 5 t 1 2 6 则小球距离地面的最大高度是 A 1 米 B 5 米 C 6 米 D 7 米 8 用长度一定的绳子围成一个矩形 如果矩形的一边长 x m 与面积 y m2 满足函数关系 式 y x 12 2 144 0 x 24 则该矩形面积的最大值为 9 如图是二次函数 y a x 1 2 2 图象的一部分 该图象在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐 标是 10 已知抛物线 y a x 3 2 2 经过点 1 2 1 求 a 的值 2 若点 A m y1 B n y2 m n 3 都在该抛物线上 试比较 y1与 y2的大小 精品文档 23欢迎下载 11 将抛物线 y 2x2 1 向右平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线为 A y 2 x 1 2 1 B y 2 x 1 2 3 C y 2 x 1 2 1 D y 2 x 1 2 3 12 已知二次函数 y 3 x 2 2 1 下列说法 其图象的开口向下 其图象的对称轴为直 线 x 2 其图象顶点坐标为 2 1 当 x 2 时 y 随 x 的增大而减小 则其中 说法正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 13 二次函数 y a x m 2 n 的图象如图 则一次函数 y mx n 的图象经过 A 第一 二 三象限 B 第一 二 四象限 C 第二 三 四象限 D 第一 三 四象限 14 设 A 2 y1 B 1 y2 C 2 y3 是抛物线 y x 1 2 a 上三点 则 y1 y2 y3的 大小关系为 A y1 y2 y3 B y1 y3 y2 C y3 y2 y1 D y3 y1 y2 15 二次函数 y a x k 2 k 无论 k 为何实数 其图象的顶点都在 A 直线 y x 上 B 直线 y x 上 C x 轴上 D y 轴上 16 把二次函数 y a x h 2 k 的图象先向左平移 2 个单位 再向上平移 4 个单位 得到二 次函数 y x 1 2 1 的图象 1 2 1 试确定 a h k 的值 2 指出二次函数 y a x h 2 k 的开口方向 对称轴和顶点坐标 17 某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉 其中一支高度为 1 米的喷水管喷出的 精品文档 24欢迎下载 抛物线水柱最大高度为 3 米 此时距喷水管的水平距离为 米 求在如图所示的平面直角 1 2 坐标系中抛物线水柱的解析式 不要求写出自变量的取值范围 18 已知抛物线 y x m 2 1 与 x 轴的交点为 A B B 在 A 的右边 与 y 轴的交点为 C 1 写出 m 1 时与抛物线有关的三个正确结论 2 当点 B 在原点的右边 点 C 在原点的下方时 是否存在 BOC 为等腰三角形的情形 若存在 求出 m 的值 若不存在 请说明理由 2222 1 41 4 二次函数二次函数 y y axax2 2 bxbx c c 的图象和性质的图象和性质 22 1 4 1 二次函数 y ax2 bx c 的图象和性质 1 二次函数 y ax2 bx c a 0 通过配方可化为 y a x 2 的形式 它的 b 2a 4ac b2 4a 对称轴是 顶点坐标是 如果 a 0 当 x 时 y 随 x 的增大而 b 2a 当 x 时 y 随 x 的增大而 如果 a 0 当 x 时 y 随 x b 2a b 2a 的增大而 当 x 时 y 随 x 的增大而 b 2a 2 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 y ax2的图象 只是 不同 y ax2 bx c a 0 的图象可以看成是 y ax2的图象平移得到的 对于抛物线的平移 要先化成顶点式 再利用 的规则来平移 精品文档 25欢迎下载 知识点知识点 1 1 二次函数 二次函数 y y axax2 2 bxbx c ac a 0 0 的图象和性质的图象和性质 1 已知抛物线 y ax2 bx c 的开口向下 顶点坐标为 2 3 那么该二次函数有 A 最小值 3 B 最大值 3 C 最小值 2 D 最大值 2 2 将二次函数 y x2 2x 3 化为 y x h 2 k 的形式 结果为 A y x 1 2 4 B y x 1 2 2 C y x 1 2 4 D y x 1 2 2 3 若抛物线 y x2 2x c 与 y 轴的交点为 0 3 则下列说法不正确的是 A 抛物线开口向上 B 抛物线的对称轴是 x 1 C 当 x 1 时 y 的最大值为 4 D 抛物线与 x 轴的交点为 1 0 3 0 4 抛物线 y x2 4x 5 的顶点坐标是 5 已知二次函数 y 2x2 8x 6 当 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 时 y 有最 值是 知识点知识点 2 2 二次函数 二次函数 y y axax2 2 bxbx c ac a 0 0 的图象的变换的图象的变换 6 抛物线 y x2 2x 2 经过平移得到 y x2 平移方法是 A 向右平移 1 个单位 再向下平移 1 个单位 B 向右平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位 C 向左平移 1 个单位 再向下平移 1 个单位 D 向左平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位 7 把抛物线 y x2 bx c 的图象向右平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 所得图象 的解析式为 y x2 3x 5 则 A b 3 c 7 B b 6 c 3 C b 9 c 5 D b 9 c 21 8 如图 抛物线 y ax2 5ax 4a 与 x 轴相交于点 A B 且过点 C 5 4 1 求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标 2 请你设计一种平移的方法 使平移后抛物线的顶点落在第二象限 并写出平移后 抛物线的解析式 精品文档 26欢迎下载 精品文档 27欢迎下载 9 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴交于 A B 两点 若点 A 的坐标为 2 0 抛物 线的对称轴为直线 x 2 则线段 AB 的长为 10 二次函数 y 2x2 mx 8 的图象如图所示 则 m 的值是 A 8 B 8 C 8 D 6 第 10 题图 第 12 题图 11 已知二次函数 y x2 7x 若自变量 x 分别取 x1 x2 x3 且 0 x1 x2 x3 则对 1 2 15 2 应的函数值 y1 y2 y3的大小关系正确的是 A y1 y2 y3 B y1 y2 y3 C y2 y3 y1 D y2 y3 y1 12 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 当 5 x 0 时 下列说法正确的是 A 有最小值 5 最大值 0 B 有最小值 3 最大值 6 C 有最小值 0 最大值 6 D 有最小值 2 最大值 6 13 如图 抛物线 y ax2 bx 和直线 y ax b 在同一坐标系内的图象正确的是 14 已知二次函数 y x2 2kx k2 k 2 1 当实数 k 为何值时 图象经过原点 2 当实数 k 在何范围取值时 函数图象的顶点在第四象限内 15 当 k 分别取 1 1 2 时 函数 y k 1 x2 4x 5 k 都有最大值吗 请写出你的判断 并说明理由 若有 请求出最大值 精品文档 28欢迎下载 16 已知二次函数 y x2 2mx m2 1 1 当二次函数的图象经过坐标原点 O 0 0 时 求二次函数的解析式 2 如图 当 m 2 时 该抛物线与 y 轴交于点 C 顶点为 D 求 C D 两点的坐标 3 在 2 的条件下 x 轴上是否存在一点 P 使得 PC PD 最短 若 P 点存在 求出 P 点 坐标 若 P 点不存在 请说明理由 22 1 4 2 用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式 用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式 1 三点式 已知图象上的三个点的坐标 可设二次函数的解析式为 2 顶点式 已知抛物线的顶点坐标 h k 及图象上的一个点的坐标 可设二次函数的解 析式为 以下有三种特殊情况 当已知抛物线的顶点在原点时 我们可设抛物线的解析式为 当已知抛物线的顶点在 y 轴上或以 y 轴为对称轴 但顶点不一定是原点时 可设抛 物线的解析式为 当已知抛物线的顶点在 x 轴上 可设抛物线的解析式为 其中 h 0 为 抛物线与 x 轴的交点坐标 3 交点式 已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标 x1 0 x2 0 及图象上任意一点的坐 标 可设抛物线的解析式为 精品文档 29欢迎下载 知识点知识点 1 1 利用 利用 三点式三点式 求二次函数的解析式求二次函数的解析式 1 由表格中信息可知 若设 y ax2 bx c 则下列 y 与 x 之间的函数关系式正确的是 x 1 01 ax21 ax2 bx c 83 A y x2 4x 3 B y x2 3x 4 C y x2 3x 3 D y x2 4x 8 2 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象经过点 1 0 0 2 1 2 则这个 二次函数的解析式为 3 已知二次函数 y ax2 bx c 当 x 0 时 y 1 当 x 1 时 y 6 当 x 1 时 y 0 求这个二次函数的解析式 知识点知识点 2 2 利用 利用 顶点式顶点式 求二次函数的解析式求二次函数的解析式 4 已知某二次函数的图象如图所示 则这个二次函数的解析式为 精品文档 30欢迎下载 A y 2 x 1 2 8 B y 18 x 1 2 8 C y x 1 2 8 D y 2 x 1 2 8 2 9 5 已知抛物线的顶点坐标为 4 1 与 y 轴交于点 0 3 求这条抛物线的解析式 知识点知识点 3 3 利用 利用 交点式交点式 求二次函数的解析式求二次函数的解析式 6 如图 抛物线的函数表达式是 A y x2 x 4 B y x2 x 4 1 2 1 2 C y x2 x 4 D y x2 x 4 1 2 1 2 7 已知一个二次函数的图象与 x 轴的两个交点的坐标分别为 1 0 和 2 0 与 y 轴 的交点坐标为 0 2 求这个二次函数的解析式 精品文档 31欢迎下载 精品文档 32欢迎下载 8 抛物线的图象如图所示 根据图象可知 抛物线的解析式可能是 A y x2 x 2 B y x2 x 2 1 2 1 2 C y x2 x 1 D y x2 x 2 1 2 1 2 9 二次函数 y x2 bx c 的图象的最高点是 1 3 则 b c 的值分别是 A b 2 c 4 B b 2 c 4 C b 2 c 4 D b 2 c 4 10 抛物线 y ax2 bx c 上部分点的横坐标 x 纵坐标 y 的对应值如下表 x 2 1 012 y 04664 从上表可知 下列说法中正确的是 填序号 抛物线与 x 轴的一个交点为 3 0 函数 y ax2 bx c 的最大值为 6 抛物线的对称轴是 x 0 5 在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 11 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 且抛物线经过 A 1 0 B 0 3 两点 则这条抛物线的解析式为 12 将二次函数 y x 1 2 2 的图象沿 x 轴对折后得到的图象的解析式为 13 设抛物线 y ax2 bx c a 0 过 A 0 2 B 4 3 C 三点 其中点 C 在直线 x 2 上 且点 C 到抛物线对称轴的距离等于 1 则抛物线的函数解析式为 精品文档 33欢迎下载 14 已知二次函数的图象的对称轴为 x 1 函数的最大值为 6 且图象经过点 2 8 求此二次函数的表达式 15 已知二次函数的图象经过点 0 3 3 0 2 5 且与 x 轴交于 A B 两 点 1 试确定此二次函数的解析式 2 判断点 P 2 3 是否在这个二次函数的图象上 如果在 请求出 PAB 的面积 如 果不在 试说明理由 16 若两个二次函数图象的顶点 开口方向都相同 则称这两个二次函数为 同簇二次 函数 1 请写出两个为 同簇二次函数 的函数 2 已知关于 x 的二次函数 y1 2x2 4mx 2m2 1 和 y2 ax2 bx 5 其中 y1的图 象经过点 A 1 1 若 y1 y2与 y1为 同簇二次函数 求函数 y2的解析式 并 求出当 0 x 3 时 y2的最大值 精品文档 34欢迎下载 精品文档 35欢迎下载 专题训练专题训练 三三 用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式 一 已知三点求解析式一 已知三点求解析式 1 已知二次函数的图象经过 1 0 2 0 和 0 2 三点 则该函数的解析式是 A y 2x2 x 2 B y x2 3x 2 C y x2 2x 3 D y x2 3x 2 2 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象经过 A B C 三点 求出抛物线的解析式 二 已知顶点或对称轴求解析式二 已知顶点或对称轴求解析式 3 在直角坐标平面内 二次函数的图象顶点为 A 1 4 且过点 B 3 0 求该二次 函数的解析式 4 已知抛物线经过两点 A 1 0 B 0 3 且对称轴是直线 x 2 求其解析式 三 已知抛物线与三 已知抛物线与 x x 轴的交点求解析式轴的交点求解析式 5 已知抛物线与 x 轴的交点是 A 2 0 B 1 0 且经过点 C 2 8 则该抛物线的 解析式为 精品文档 36欢迎下载 6 如图 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴的两个交点分别为 A 1 0 B 3 0 求这条 抛物线的解析式 四 已知几何图形求解析式四 已知几何图形求解析式 7 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 A C 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 二次函数 y x2 bx c 的图象经过 B C 两点 求该二次函数的 2 3 解析式 五 已知面积求解析式五 已知面积求解析式 8 直线 l 过点 A 4 0 和 B 0 4 两点 它与二次函数 y ax2的图象在第一象限内交于 点 P 若 S AOP 求二次函数关系式 9 2 精品文档 37欢迎下载 六 已知图形变换求解析式六 已知图形变换求解析式 9 已知抛物线 C1 y ax2 bx c 经过点 A 1 0 B 3 0 C 0 3 1 求抛物线 C1的解析式 2 将抛物线 C1向左平移几个单位长度 可使所得的抛物线 C2经过坐标原点 并写 出 C2的解析式 七 运用根与系数的关系求解析式七 运用根与系数的关系求解析式 10 已知抛物线 y x2 2mx m2 m 2 1 直线 l y x 2 是否经过抛物线的顶点 2 设该抛物线与 x 轴交于 M N 两点 当 OM ON 4 且 OM ON 时 求出这条抛物线 的解析式 精品文档 38欢迎下载 2222 2 2 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 22 2 122 2 1 二次函数与一元二次方程之间的关系二次函数与一元二次方程之间的关系 1 一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根 就是二次函数 y ax2 bx c 当 时 自变量 x 的值 它是二次函数的图象与 x 轴交点的 2 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交点个数与一元二次方程 ax2 bx c 0 根的判别式的 关系 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴 交点 当 b2 4ac 0 时 抛物线 与 x 轴有 交点 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 交点 知识点知识点 1 1 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 1 抛物线 y 3x2 x 2 与坐标轴的交点个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 2 如图 已知抛物线与 x 轴的一个交点 A 2 0 对称轴是 x 1 则该抛物线与 x 轴 的另一个交点的坐标是 A 2 0 B 3 0 C 4 0 D 5 0 3 抛物线 y x2 6x m 与 x 轴只有一个公共点 则 m 的值为 4 绿茵场上 足球运动员将球踢出 球的飞行高度 h 米 与前行距离 s 米 之间的关系 为 h s s2 那么当足球落地时距离原来的位置有 米 4 5 2 125 知识点知识点 2 2 利用二次函数求一元二次方程的近似解 利用二次函数求一元二次方程的近似解 精品文档 39欢迎下载 5 根据下列表格的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 一个解的 范围是 x2 232 242 252 26 ax2 bx c 0 06 0 02 0 030 09 A 2 x 2 23 B 2 23 x 2 24 C 2 24 x 2 25 D 2 25 x 2 26 6 用图象法求一元二次方程 2x2 4x 1 0 的近似解 知识点知识点 3 3 二次函数与不等式 二次函数与不等式 7 二次函数 y x2 x 2 的图象如图所示 则函数值 y 0 时 x 的取值范围是 A x 1 B x 2 C 1 x 2 D x 1 或 x 2 第 7 题图 第 8 题图 8 如图是二次函数 y ax2 bx c 的部分图象 由图象可知不等式 ax2 bx c 0 的解 精品文档 40欢迎下载 集是 A 1 x 5 B x 5 C x 1 且 x 5 D x 1 或 x 5 9 已知二次函数 y ax2 bx c 中 函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表 x 1 0123 y 105212 则当 y 5 时 x 的取值范围是 精品文档 41欢迎下载 10 已知函数 y x2 2x 3 当 x m 时 y 0 则 m 的值可能是 A 4 B 0 C 2 D 3 11 根据表格中的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 的根的个数 是 x5 175 185 195 20 ax2 bx c 0 02 0 01 0 020 04 A 0 B 1 C 2 D 1 或 2 12 抛物线 y ax2 bx c 的图象如图 则关于 x 的方程 ax2 bx c 2 0 的情况是 A 有两个不相等的实数根 B 有两个异号的实数根 C 有两个相等的实数根 D 没有实数根 13 抛物线 y 2 x 3 x 2 与 x 轴的交点坐标分别为 14 1 用配方法把二次函数 y x2 4x 3 化成 y x h 2 k 的形式 2 在直角坐标系中画出 y x2 4x 3 的图象 3 若 A x1 y1 B x2 y2 是函数 y x2 4x 3 图象上的两点 且 x1 x2 1 请 比较 y1 y2的大小关系 直接写结果 4 把方程 x2 4x 3 2 的根在函数 y x2 4x 3 的图象上表示出来 精品文档 42欢迎下载 15 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 根据图象解答下列问题 1 写出方程 ax2 bx c 0 的两个根 2 写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围 3 若方程 ax2 bx c k 有两个不相等的实数根 求 k 的取值范围 17 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 x1 x2 两 点 与 y 轴交于点 C x1 x2是方程 x2 4x 5 0 的两根 1 若抛物线的顶点为 D 求 S ABC S ACD的值 2 若 ADC 90 求二次函数的解析式 精品文档 43欢迎下载 精品文档 44欢迎下载 22 2 222 2 2 二次函数二次函数 y y axax2 2 bxbx c c 的图象与字母系数的关系的图象与字母系数的关系 抛物线抛物线 y y axax2 2 bxbx c c 的图象与字母系数的图象与字母系数 a a b b c c 之间的关系 之间的关系 1 当 a 0 时 开口 当 a 0 时 开口 2 若对称轴在 y 轴的左边 则 a b 若对称轴在 y 轴的右边 则 a b 3 若抛物线与 y 轴的正半轴相交 则 c 0 若抛物线与 y 轴的负半轴相交 则 c 0 若抛物线经过原点 则 c 0 4 当 x 1 时 y ax2 bx c a b c 当 x 1 时 y ax2 bx c a b c 当 x 2 时 y ax2 bx c 4a 2b c 当 x 2 时 y ax2 bx c 4a 2b c 5 当对称轴 x 1 时 x 1 所以 b 2a 此时 2a b 0 b 2a 当对称轴 x 1 时 x 1 所以 b 2a 此时 2a b 0 b 2a 6 b2 4ac 0 二次函数与横轴有两个交点 b2 4ac 0 二次函数与横轴有一个交点 b2 4ac 0 二次函数与横轴无交点 知识点知识点 1 1 二次函数图象与字母系数的关系 二次函数图象与字母系数的关系 1 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 则下列关系式错误的是 精品文档 45欢迎下载 A a 0 B c 0 C b2 4ac 0 D a b c 0 第 1 题图 第 2 题图 第 4 题图 2 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 下列结论正确的是 A a 0 B b2 4ac 0 C 当 1 x 3 时 y 0 D 1 b 2a 3 二次函数 y x2 bx c 中 若 b c 0 则它的图象一定过点 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 4 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 若 M a b c N 4a 2b c P 2a b 则 M N P 中 值小于 0 的数有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 知识点知识点 2 2 函数图象的综合 函数图象的综合 5 若正比例函数 y mx m 0 y 随 x 的增大而减小 则它和二次函数 y mx2 m 的图 象大致是 精品文档 46欢迎下载 6 二次函数 y ax2 bx 的图象如图所示 那么一次函数 y ax b 的图象大致是 7 在同一坐标系内 一次函数 y ax b 与二次函数 y ax2 8x b 的图象可能是 精品文档 47欢迎下载 8 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列结论中正确的是 A ac 0 B 当 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 C b 2a 0 D x 3 是关于 x 的方程 ax2 bx c 0 a 0 的一个根 第 8 题图 第 9 题图 第 11 题图 9 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 其对称轴为 x 1 下列结论中错误的是 A abc 0 B 2a b 0 C b2 4ac 0 D a b c 0 10 已知二次函数 y kx2 7x 7 的图象和 x 轴有交点 则 k 的取值范围是 A k B k 且 k 0 7 4 7 4 C k D k 且 k 0 7 4 7 4 11 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 且关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c m 0 没有实数根 有下列结论 b2 4ac 0 abc 0 m 2 其 中正确结论的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 12 如图 抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴是过点 1 0 且平行于 y 轴的直线 若 点 P 4 0 在该抛物线上 则 4a 2b c 的值为 第 12 题图 第 13 题图 13 如图 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象的顶点为点 D 其图象与 x 轴的交点 A B 的横坐标分别为 1 3 与 y 轴负半轴交于点 C 在下面四个结论中 精品文档 48欢迎下载 2a b 0 a b c 0 c 3a 只有当 a 时 ABD 是等腰直角三角 1 2 形 其中正确的结论是 只填序号 14 如图 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A D 两点 与 y 轴交于点 C 抛物线的顶 点 B 在第一象限 若点 A 的坐标为 1 0 试分别判断 a b c b2 4ac 2a b 2a