江西省2013年高考数学第二轮复习 专题五　立体几何第2讲　点、直线、平面之间的位置关系 文VIP

1 专题五专题五 立体几何第立体几何第 2 2 讲讲 点 直线 平面之间的位置关系点 直线 平面之间的位置关系 真题试做真题试做 1 2012 四川高考 文 6 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 2 2012 浙江高考 文 5 设l是直线 是两个不同的平面 A 若l l 则 B 若l l 则 C 若 l 则l D 若 l 则l 3 2012 大纲全国高考 文 16 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为BB1 CC1 的中点 那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为 4 2012 辽宁高考 文 16 已知点P A B C D是球O表面上的点 PA 平面 ABCD 四边形ABCD是边长为 2的正方形 若PA 2 则 OAB的面积为 36 5 2012 江西高考 文 19 如图 在梯形ABCD中 AB CD E F是线段AB上的两点 且DE AB CF AB AB 12 AD 5 BC 4 DE 4 现将 ADE CFB分别沿DE CF 2 折起 使A B两点重合于点G 得到多面体CDEFG 1 求证 平面DEG 平面CFG 2 求多面体CDEFG的体积 考向分析考向分析 从近几年的高考试题来看 在本讲中所涉及的主要内容是 1 有关线面位置关系的组 合判断 试题以选择题的形式出现 通常是考查空间线线 线面 面面位置关系的判定与性 质 2 有关线线 线面平行与垂直的证明 试题以解答题为主 常以多面体为载体 突出 考查学生的空间想象能力及推理论证能力 3 有关面面平行与垂直的证明 多以解答题的 形式出现 综合性强 4 有关折叠问题 以解答题为主 通过折叠把平面图形转化为空间 几何体 更好地考查学生的空间想象能力和知识迁移能力 预测 2013 年高考中 仍以某几何体为载体 重在探索和判定线线 线面和面面的位置 关系 当然也可能综合考查面积及体积的计算 题目难度为中低档 热点例析热点例析 热点一 有关线面位置关系的组合判断 例 1 若a b是两条异面直线 是两个不同平面 a b l 则 A l与a b分别相交 B l与a b都不相交 C l至多与a b中一条相交 D l至少与a b中的一条相交 规律方法规律方法 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法 1 根据空间线面垂直 平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题 2 必要时可以借助空间几何模型 如从长方体 四面体等模型中观察线面位置关系 并结合有关定理来进行判断 3 应熟练掌握立体几何的三种语言 符号语言 自然语言以及图形语言的相互转 2 换 变式训练变式训练 1 1 如图所示 平面 平面 直线l A C是 内不同的两点 B D是 内不同的两点 且A B C D 直线l M N分别是线段AB CD的中点 下列判 断正确的是 A 当 CD 2 AB 时 M N两点不可能重合 B M N两点可能重合 但此时直线AC与l不可能相交 C 当AB与CD相交 直线AC平行于l时 直线BD可以与l相交 D 当AB CD是异面直线时 直线MN可能与l平行 热点二 线线 线面平行与垂直的证明 例 2 如图 在四棱台ABCD A1B1C1D1中 D1D 平面ABCD 底面ABCD是平行四边形 AB 2AD AD A1B1 BAD 60 1 证明 AA1 BD 2 证明 CC1 平面A1BD 规律方法规律方法 1 线线垂直的证明方法 相交垂直 可借助定义或平面几何知识进行证明 异面垂直 由线面垂直的性质定理进行证明 2 证明线线平行的常用方法 利用平行公理 即证明两直线同时和第三条直线平行 利用平行四边形进行转换 利用三角形中位线定理证明 利用线面平行 面面平行的性质定理证明 3 证明线面平行的常用方法 定义法 利用线面平行的判定定理 利用面面平行的性质定理 把面面平行转化为线面平行 4 证明线面垂直的常用方法 利用直线和平面垂直的定义 此种方法利用向量证明较好 利用线面垂直的判定定理 此种方法要注意平面内的两条直线必须相交 利用线面垂直的性质 两平行线中一条垂直于一个平面 另一条也垂直于这个平面 利用面面垂直的性质 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 平面 此种方法要注意 平面内的直线 利用面面垂直的性质 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直 于第三个平面 利用面面平行的性质 一条直线垂直于两平行平面中的一个 必垂直于另一个平面 变式训练变式训练 2 2 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为平行四边形 ADC 45 AD AC 1 O为AC的中点 PO 平面ABCD PO 2 M为PD的中点 3 1 证明 PB 平面ACM 2 证明 AD 平面PAC 热点三 面面平行与垂直的证明 例 3 在直角梯形ABCD中 AD BC AB BC AD 2 BC 4 P为平面ABCD外一点 且PA PB PD PC N为CD的中点 1 求证 平面PCD 平面ABCD 2 在线段PC上是否存在一点E使得NE 平面ABP 若存在 说明理由并确定E点的位 置 若不存在 请说明理由 规律方法规律方法 1 证明面面平行的常用方法 利用面面平行的定义 此法一般与反证法结合 利用面面平行的判定定理 利用两个平面垂直于同一直线 证明两个平面同时平行于第三个平面 2 证明面面垂直的方法 证明一个平面经过另一个平面的垂线 一般先在现有直线中寻找 若图中不存在这样 的直线 则应借助中点 高线等添加辅助线解决 利用面面垂直的定义 新课标对此要求较低 变式训练变式训练 3 3 如图 已知三棱锥A BPC中 AP PC AC BC M为AB中点 D为PB中点 且 PMB为正三角形 求证 1 DM 平面APC 2 平面ABC 平面APC 热点四 折叠问题 例 4 如图 在 ABC中 B AB BC 2 P为AB边上一动点 PD BC交AC 2 于点D 现将 PDA沿PD翻折至 PDA 使平面PDA 平面PBCD 4 1 当棱锥A PBCD的体积最大时 求PA的长 2 若点P为AB的中点 E为A C的中点 求证 A B DE 规律方法规律方法 1 解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量 一般情 况下 线段的长度是不变量 而位置关系往往会发生变化 抓住不变量是解决问题的突破 口 2 将平面图形翻折后 经过恰当连线就能得到三棱锥 四棱锥 从而把问题转化到我 们熟悉的几何体中解决 3 在解决问题时 要综合考虑折叠前后的图形 既要分析折叠后的图形 也要分析折 叠前的图形 变式训练变式训练 4 4 如图 在直角梯形ABCP中 AP BC AP AB AB BC AP 2 D为AP 1 2 的中点 E F G分别为PC PD CB的中点 将 PCD沿CD折起 使点P在平面ABCD内的 射影为点D 如图 1 求证 AP 平面EFG 2 求三棱锥P ABC的体积 思想渗透思想渗透 转化与化归思想 解决立体几何中的探索性问题 1 解决立体几何中探索性问题的常用方法是 先研究特殊点 端点 中点 三等分点等 特殊位置 平行或垂直 再进行证明 2 当特殊点或特殊位置不符合要求时 可以通过运算 向量法 或根据结论分析出点线 位置 再用综合法证明 3 解决探索性问题的一般步骤为 首先假设其存在 然后在这个假设下进行推理论证 如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设 如果得到了矛盾结论就否定假设 典型例题 如图 四棱锥P ABCD中 PD 平面ABCD 底面ABCD为矩形 PD DC 4 AD 2 E为PC的中点 1 求证 AD PC 2 求三棱锥A PDE的体积 3 在AC上是否存在一点M 使得PA 平面EDM 若存在 求出AM的长 若不存在 请 说明理由 1 证明 证明 因为PD 平面ABCD 所以PD AD 5 又因为四边形ABCD是矩形 所以AD CD 因为PD CD D 所以AD 平面PCD 又因为PC 平面PCD 所以AD PC 2 解 解 由 1 知AD 平面PCD 所以AD是三棱锥A PDE的高 因为E为PC的中点 且PD DC 4 所以S PDE S PDC 4 1 2 1 2 1 2 4 4 又AD 2 所以VA PDE AD S PDE 2 4 1 3 1 3 8 3 3 解 解 取AC的中点M 连接EM DM 因为E为PC的中点 M是AC的中点 所以EM PA 又因为EM 平面DEM PA 平面EDM 所以PA 平面DEM 此时AM AC 1 2 1 2AD2 DC2 1 2 22 425 即在AC上存在一点M 使得PA 平面EDM 且AM的长为 5 1 2012 湖南株洲质检 7 若m n是两条不同的直线 是三个不同的平 面 给出下列命题 1 若m n 则m n 2 若 则 3 若m n 则m n 4 m 则m 其中正确的命题是 A 1 4 B 2 3 C 1 2 4 D 1 3 2 2012 山东济南二模 10 设 是两个不同的平面 m n是平面 内的两条 不同直线 l1 l2是平面 内的两条相交直线 则 的一个充分而不必要条件是 A m l1且n l2 B m 且n l2 C m 且n D m 且l1 3 如图 在斜三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 BC1 AC 则C1在底面ABC上的射 影H必在 6 A 直线AB上 B 直线BC上 C 直线AC上 D ABC内部 4 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 且底面各边都相等 M是PC上的 一动点 当点M满足 时 平面MBD 平面PCD 只要填写一个你认为是正确的条 件即可 5 如图所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 2 若 PDA 45 求证 MN 平面PCD 6 2012 广东梅州中学三模 18 如图所示 正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面 互相垂直 ADE 90 AF DE DE DA 2AF 2 1 求证 AC 平面BEF 2 求四面体BDEF的体积 参考答案参考答案 命题调研 明晰考向 真题试做真题试做 1 C 解析 解析 若两条直线和同一平面所成的角相等 则这两条直线可平行 可异面 可 相交 选项 A 错 如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧 则经过这三个 点的平面与这个平面相交 选项 B 不正确 7 如图 平面 b a a 过直线a作平面 c 过直线a作平面 d a a c a a d d c c d d 又 d d b a b 选项 C 正确 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面可平行 可相交 选项 D 不正确 2 B 解析 解析 A 选项中由l l 不能确定 与 的位置关系 C 选项中由 l 可推出l 或l D 选项由 l 不能确定l与 的位置关 系 3 解析 解析 设正方体的棱长为a 连接A1E 可知D1F A1E 3 5 异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角 在 AEA1中 cos AEA1 a2 a 2 2 a2 a 2 2 a2 2a2 a 2 2 a2 a 2 2 3 5 4 3 解析 解析 如图所示 PA 平面ABCD PA AC 3 故可知PC为球O直径 则PC的中点为O 取AC的中点为O 则OO PA 1 26 又 AC 2 PA 2 2 r 3 2 2 r 3 266 PC 4 2 r 6 2 2 r 6 23 球的半径R 2 故OC OA OB 2 又 AB 2 333 OAB为等边三角形 S OAB 2 2 sin60 3 1 2333 5 1 证明 因为DE EF CF EF 所以四边形CDEF为矩形 8 由GD 5 DE 4 得GE 3 22 GDDE 由 CF 4 得FG 4 4 2GC 22 GCCF 所以EF 5 在 EFG中 有EF2 GE2 FG2 所以EG GF 又因为CF EF CF FG 得CF 平面EFG 所以CF EG 所以EG 平面CFG 即平面DEG 平面CFG 2 解 解 在平面EGF中 过点G作GH EF于点H 则 12 5 EG GF GH EF 因为平面CDEF 平面EFG 得GH 平面CDEF VCDEFG SCDEF GH 16 1 3 精要例析 聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 D 解析 解析 假设l与a b均不相交 则l a l b 从而a b与a b是异面 直线矛盾 故l至少与a b中的一条相交 选 D 变式训练 1 B 解析 解析 若M N两点重合 由AM MB CM MD知AC BD 从而AC 平面 故有AC l 故 B 正确 例 2 证明 1 方法一 因为D1D 平面ABCD 且BD 平面ABCD 所以D1D BD 又因为AB 2AD BAD 60 在 ABD中 由余弦定理得 BD2 AD2 AB2 2AD ABcos 60 3AD2 所以AD2 BD2 AB2 所以AD BD 又AD D1D D 所以BD 平面ADD1A1 又AA1 平面ADD1A1 故AA1 BD 方法二 因为D1D 平面ABCD 且BD 平面ABCD 如图 所以BD D1D 取AB的中点G 连接DG 如图 在 ABD中 由AB 2AD得AG AD 又 BAD 60 所以 ADG为等边三角形 因此GD GB 故 DBG GDB 又 AGD 60 所以 GDB 30 故 ADB ADG GDB 60 30 90 9 所以BD AD 又AD D1D D 所以BD 平面ADD1A1 又AA1 平面ADD1A1 故AA1 BD 2 如图 连接AC A1C1 设AC BD E 连接EA1 因为四边形ABCD为平行四边形 所以EC AC 1 2 由棱台定义及AB 2AD 2A1B1知A1C1 EC且A1C1 EC 所以四边形A1ECC1为平行四边形 因此CC1 EA1 又因为EA1 平面A1BD CC1 平面A1BD 所以CC1 平面A1BD 变式训练 2 证明 1 连接BD MO 在平行四边形ABCD中 因为O为AC的中点 所以O为BD的中点 又M为PD的中点 所以PB MO 因为PB 平面ACM MO 平面ACM 所以PB 平面ACM 2 因为 ADC 45 且AD AC 1 所以 DAC 90 即AD AC 又PO 平面ABCD AD 平面ABCD 所以PO AD 而AC PO O 所以AD 平面PAC 例 3 1 证明 取AB中点M 连接PM PN MN 则PM AB PN CD 又ABCD为直角梯形 AB BC MN AB PM MN M AB 平面PMN 又PN 平面PMN AB PN AB与CD相交 PN 平面ABCD 10 又PN 平面 PCD 平面PCD 平面ABCD 2 解 解 假设存在 在PC PB上分别取点E F 使BF BP CE CP 连接 1 4 1 4 EF MF NE 则EF BC且可求得EF BC 3 3 4 MN 3 且MN BC EF MN且EF MN MNEF为平行四边形 EN FM 又FM 平面PAB 在线段PC上存在一点E使得NE 平面ABP 此时CE PC 1 4 变式训练 3 证明 1 M为AB中点 D为PB中点 MD AP 又 MD 平面APC AP 平面APC DM 平面APC 2 PMB为正三角形 且D为PB中点 MD PB 又由 1 知MD AP AP PB 又AP PC PB PC P AP 平面PBC AP BC 又 AC BC AP AC A BC 平面APC 平面ABC 平面PAC 例 4 1 解 解 令PA x 0 x 2 则A P PD x BP 2 x 因为A P PD且平面A PD 平面PBCD 故A P 平面PBCD 所以VA PBCD Sh 2 x 2 x x 4x x3 1 3 1 6 1 6 令f x 4x x3 由f x 4 3x2 0 得x 1 6 1 6 2 3 3 当x 时 f x 0 f x 单调递增 0 2 3 3 当x 时 f x 0 f x 单调递减 2 3 3 2 所以 当x 时 f x 取得最大值 2 3 3 即当VA PBCD最大时 PA 2 3 3 2 证明 设F为A B的中点 连接PF FE 则有EFBC 1 2 又PDBC 1 2 所以DE PF 又A P PB 所以PF A B 故DE A B 变式训练 4 1 证明 由题意 PCD折起后PD 平面ABCD 11 四边形ABCD是边长为 2 的正方形 PD 2 E F G分别为PC PD BC的中点 EF CD EG PB 又CD AB EF AB 又 EG EF E PB AB B 平面EFG 平面PAB PA 平面EFG 2 解 解 由 1 中结论可知PD是三棱锥P ABC的高 因此V三棱锥P ABC S ABC PD 22 2 1 3 1 3 1 2 4 3 创新模拟 预测演