控制系统的极点配置设计法

控制系统的极点配置设计法控制系统的极点配置设计法 一 极点配置原理一 极点配置原理 1 性能指标要求性能指标要求 n s t 4 当 当 当 当 0 02 0 02 0 02时时时时 n s t 3 当当当当 0 05 0 05 0 05时时时时 2 极点选择区域极点选择区域 图图 3 223 22 系统在系统在 S S 平面上满足平面上满足 时域性能指标的范围时域性能指标的范围 主导极点 主导极点 2 11 1 costan 3 其它极点配置原则其它极点配置原则 系统传递函数极点在 s 平面上的分布如图 a 所示 极点 s3距 虚轴距离不小于共轭复数极点 s1 s2距虚轴距离的 5 倍 即 此处 对应于极点 s1 s2 同时 极点 n ss 5Re5Re 13 n s1 s2的附近不存在系统的零点 由以上条件可算出与极点 s3所对 应的过渡过程分量的调整时间为 13 5 14 5 1 s n s tt 式中是极点 s1 s2所对应过渡过程的调整时间 1s t s1 s2 j 4 5 3 s s s n 5 n s1 2 4 5 nt xo t s s3 a b 系统极点的位置与阶跃响应的关系 图 b 表示图 a 所示的单位阶跃响应函数的分量 由图可知 由共轭复数极点 s1 s2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中 起主导作用 即主导极点即主导极点 因为它衰减得最慢 其它远离虚轴的极 点 s3 s4 s5 所对应的单位阶跃响应衰减较快 它们仅在极短时间 内产生一定的影响 因此 对系统过渡过程进行近似分析时 可以 忽略这些分量对系统过渡过程的影响 二 极点配置实例二 极点配置实例 磁悬浮轴承控制系统设计磁悬浮轴承控制系统设计 1 11 1 磁悬浮轴承系统工作原理磁悬浮轴承系统工作原理 图 1 是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图 主要由被悬浮 转子 传感器 控制器和执行器 包括电磁铁和功率放大器 四大部 分组成 设电磁铁绕组上的电流为I0 它对转子产生的吸力F和转 子的重力mg相平衡 转子处于悬浮的平衡位置 这个位置称为参考 位置 a b 图图 1 1 磁悬浮轴承系统的工作原理磁悬浮轴承系统的工作原理 Fig 1Fig 1 TheThe magnetic suspension bearing system principle drawing 假设在参考位置上 转子受到一个向下的扰动 转子就会偏离 其参考位置向下运动 此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位 移 控制器将这一位移信号变换成控制信号 功率放大器又将该控 制信号变换成控制电流I0 i 控制电流由I0增加到I0 i 因此 电 磁铁的吸力变大了 从而驱动转子返回到原来的平衡位置 反之 当转子受到一个向上的扰动并向上运动 此时控制器使得功率放大 器的输出电流由I0 减小到I0 i 电磁铁的吸力变小了 转子也能 返回到原来的平衡位置 因此 不论转子受到向上或向下的扰动 都能回到平衡状态 这就是主动磁轴承系统的工作原理 即传感器 检测出转子偏移参考点的位移 作为控制器的微处理器将检测到的 位移信号变换成控制信号 然后功率放大器将这一控制信号转换成 控制电流 控制电流在执行磁铁中产生磁力从而使转子维持其悬浮 位置不变 悬浮系统的刚度 阻尼及稳定性主要是由控制规律决定 实际的磁悬浮轴承系统中 在某个坐标方向上 通常是对称于 转子布置两个结构及参数完全相同而作用相反的电磁铁 由这两个 电磁铁共同作用产生磁悬浮力将转子悬浮在平衡位置 如图 1 b 所示 2 磁悬浮轴承的开环控制模型磁悬浮轴承的开环控制模型 2 1 磁悬浮轴承的控制模型磁悬浮轴承的控制模型 1 磁悬浮力方程磁悬浮力方程 由图 1 b 求磁悬浮轴承的单边子系统电磁铁对转子产生的磁 悬浮力 可根据法拉第电磁力公式近似表示为 1 2 2 0 4 x N AI F x 式中 为真空磁导率 为线圈匝数 为铁心与气隙的横截面 0 NA 面积 为电流 为气隙大小 Ix 设转子处于平衡位置时的气隙为 当转子离开平衡位置向电 0 g 磁铁方向产生偏移量 则通过减小流进绕组的电流 来调节使转子xi 回复到平衡位置 把电流表示成 在转子位移变化很小 0 IIi x go 时 将其线性化得 2 xxi FKxK i 式中 为位移刚度系数 为电流刚度系数 322 00 3 0 2 x AN I K g 2 0 2 0 2 o i AN I K g 其拉普拉斯变换为 3 xxi F sKX sKI s 2 电磁绕组端电压方程电磁绕组端电压方程 由于常导电磁轴承的转子位移变化时 其自感系数也要变化 即 常导电磁轴承的线圈的电感系数是转子位移 x 的函数 因此其端电 压 或电流 也是转子位移 x 的函数 对于图 2 的转子上 下电磁 铁绕组 由于 为一微小量 故其自感系数分别近似为x 4 22 00 1 000 22 00 2 000 1 2 2 1 2 2 SNSNx L gxgg SNSNx L gxgg 绕组端电压分别为 5 00 1 00 00 2 00 1 22 1 22 LL ixdidx u tRi gdtgdt LL ixdidx u tRi gdtgdt 式中 为各电磁铁绕组电阻 为转子处于平衡位置时上R 2 0 0 0 SN L g 下常导绕组的电感值 由式 9 的第一式加上第二式可得整个串联线圈绕组的端电压 为 6 120 2 di t u tu tu tLRi dt 其拉氏变换为 7 0 2 U sL sR I s 式中 为转子在平衡位置时绕组的电感 2 0 0 2 oAN L g 3 转子运动方程转子运动方程 根据牛顿第二定律得球形转子沿 x 方向运动的运动方程为 8 2 2 xd d x FFm dt 式中 为球形转子的质量 为电磁悬浮力以外的扰动作用 m d F 将上式进行拉普拉斯变换得 9 2 sFsFsXms dx 式 3 式 7 以及式 9 即为描述通风机磁悬浮轴承系统 动力学特性的数学模型 不考虑干扰情况下 由它们得输入绕组电压信号到输出转子径向位 移信号的开环系统传递函数为 10 2 0 2 i x KX s U sL sRmsK 由上式可知 开环系统存在 S 复平面上的右极点 故系统不可能稳 定 要使其稳定 必须采用反馈控制对系统进行闭环控制 3 磁悬浮轴承的闭环控制磁悬浮轴承的闭环控制 1 系统控制策略及闭环传递函数 系统控制策略及闭环传递函数 1 控制框图及闭环传递函数 控制框图及闭环传递函数 由 10 式可知 要使系统稳定 必须对系统进行综合校正 本 文采用 PD 控制策略对系统进行串联校正 图 2 为 PD 控制风机磁悬 浮系统框图 X s 2 0 2 i x K L sRmsK U s v s PD 图图 2 磁悬浮轴承系统的磁悬浮轴承系统的 PID 控制系统框图控制系统框图 11 0 32 0 000 2 2 i dp ipx idx X s s v s K T sK L m K KRK K TL KR sss LL mL m 由上式得系统的特征方程为 12 32 0 000 2 2 0 ipx idx K KRK K TL KR sss LL mL m 欲使系统满足稳定性要求 由特征方程解出来的特征根必须具 有负实部 2 使系统响应速度为最快的极点配置 使系统响应速度为最快的极点配置 本设计对系统采用极点配置方法来确定有关控制参数 为了提 高系统的响应速度 并减小稳态误差 应尽可能使系统 PD 控制器 的系数和增大 为了确定控制器的参数 可对系统配置 3 个位 p K d T 于根平面 S 复平面 左侧的闭环极点 并设其中 2 个极点相等即 于是系统的特征方程应表述为 12 0 ssr r 3 0 sp p 2 0srsp 13 3222 2 2 0srp srpr spr 对比式 14 与式 15 得 14 0 2 0 0 2 0 2 2 2 2 idx ipx R rp L K TL K rpr L m K KRK r p L m 由上式可知 要改善系统的快速响应速度 提高控制精度以及 加强系统的稳定性 必须使第 2 式 第 3 式中的系数和的值尽 p K d T 可能大 解式 14 得 15 0 2 00 0 23 0 0 2 43 2 22 x d i x p i R pr L R rrL mL K L T K R rrL mRK L K K 为使和为最大值 应满足 p K d T 16 0 0 2 0 0 46 0 4 6 0 d i p i R r L m LdT drK R rrL m dKL drK 求解上式得 将其代入式 并把系统所有相应的结构 0 2 3 R r L 参数代入得各控制参数为 15 72531013 212 6401725 10003 49978 d p rp T K 于是系统的闭环传递函数为 17 32 1111 11212 640172510003 49978 47 1759304741 85613623888 639272 s s sss 仿真结果仿真结果 仿真程序 mun 1111 11 0 0 212 10003 49978 den 1 47 741 3888 t 0 0 01 1 step mun den t 仿真结果图 仿真结果图 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 Step Response Time sec Amplitude 2 使系统满足性能指标要求配置极点 使系统满足性能指标要求配置极点 性能指标为性能指标为 18 2 1 00 5e 19 4 0 1 s n ts 式中 和 n为系统的阻尼比和无阻尼自然振荡角频率 按照系统的性能指标要求 可取阻尼比 1 则 n 40 于是主 导极点可配置为 20 2 1 2 140 nn sj 另一极点取 另一极点取 s3 400 则系统的期望闭环特征方程为 22 2 40 400 ss 32 480336006400000sss 将上式与式 12 对比得 0 2 480 R L 0 0 33600 idx K TL K L m 0 2 640000 ipx K KRK L m 则结构参数为 23 32 1111 11242