2012届高三数学一轮复习基础导航 2.10函数模型及其应用VIP

用心 爱心 专心1 2 102 10 函数的应用函数的应用 考纲要求 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数 增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使 用的函数模型 的广泛应用 基础知识 一 在现实生活中有许多问题 往往隐含着量与量之间的关系 可通过建立变量之间 的函数关系和对所得函数的研究 使问题得到解决 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括 建立相应的数学模型 利用这些模型来研 究实际问题的一般数学方法 数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括 再从数学角 度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述 数学模型来源于实际 它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物 它又要回到 实际中去检验 因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提 二 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型 不同的变化现象需要用不同的函 数模型来描述 数学应用题的建模过程就是信息的获取 存储 处理 综合 输出的过程 熟悉一些基本的数学模型 有助于提高我们解决实际问题的能力 三 在区间 0 上 尽管函数y a 1 y a 1 和y n 0 x alogax n x 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y n 0 的增长速度 而y x a n x a 1 的增长速度则会越来越慢 因此 总会存在一个 当x 时 就有logax 0 x 0 x logax n x x a 四 用函数解应用题的基本步骤是 1 阅读并且理解题意 关键是数据 字母的实际意义 2 设量建模 3 求 解函数模型 4 简要回答实际问题 五 常见的函数模型有一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 分段函数模型等 六 应用题的常见模型有函数 数列 立体几何 解析集合 三角函数 不等式 概 率等 其求解步骤和上面的一样 例题精讲 例 1 1 某种储蓄的月利率是 0 36 今存入本金 100 元 求本金与利息的和 即 本息和 y 元 与所存月数x之间的函数关系式 并计算 5 个月后的本息和 不计复利 2 按复利计算利息的一种储蓄 本金为a元 每期利率为r 设本利和为y 存期为 x 写出本利和y随存期x变化的函数式 如果存入本金 1 000 元 每期利率 2 25 试计 算 5 期后的本利和是多少 解析 1 利息 本金 月利率 月数 y 100 100 0 36 x 100 0 36x 当 x 5 时 y 101 8 5 个月后的本息和 为 101 8 元 2 已知本金为a元 1 期后的本利和为 a a r a 1 r 1 y 用心 爱心 专心2 2 期后的本利和为 a 1 r a 1 r r 3 期后的本利和为 2 y 2 1 ra 3 y 3 1 ra x期后的本利和为y x ra 1 将a 1 000 r 2 25 x 5 代入上式得y 1 000 1 2 25 1 000 1 022 55 5 由计算器算得y 1 117 68 元 答 复利函数式为y a 1 r 5 期后的本利和为 1 117 68 元 x 例 2 某民营企业生产 A B 两种产品 根据市场调查和预测 A 产品的利润与投资成 正比 其关系如图 1 B 产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图 2 注 利润 与投资单位是万元 1 分别将 A B 两种产品的利润表示为投资的函数 并写出它们的函数关系式 2 该企业已筹集到 10 万元资金 并全部投入 A B 两种产品的生产 问 怎样分配 这 10 万元投资 才能是企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元 精确到 1 万元 解析 1 投资为万元 A 产品的利润为万元 B 产品的利润为万元 x f x g x 由题设 f x 1 kx g x 2 kx 由图知 又 1 1 4 f 1 1 4 k 5 4 2 g 2 5 4 k 从而 f x 1 0 4 x x g x 5 4 x 0 x 2 设 A 产品投入万元 则 B 产品投入 10 万元 设企业的利润为 y 万元xx Y f x 10 gx 5 10 44 x x 010 x 令 2 2 1051525 10 010 444216 t xtyttt 则 用心 爱心 专心3 当 此时 3 75 5 2 t max 4y 25 10 4 x 当 A 产品投入 3 75 万元 B 产品投入 6 25 万元时 企业获得最大利润约为 4 万元 2 10 函数的应用强化训练 基础精练 1 一个高为H 水量为V的鱼缸的轴截面如图 其底部有一个洞 满缸水从洞中流出 如果水深为h时水的体积为v 则函数 hfv 的大致图象是 A B C D 2 一等腰三角形周长为 20 则底边长y关于腰长x的函数解析式是 A y 20 2x x 10 B y 20 2x x 10 C y 20 2x 5 x 10 D y 20 2x 5 x 10 3 用一根长为 12 米的铁丝折成一个矩形的铁框架 则能折成的框架的最大面积是 A 9 平方米 B 36 平方米 C 4 5 平方米 D 最大面积不存在 4 某种商品 2009 年提价 25 2010 年要恢复原价 则应降价 A 30 B 25 C 20 D 15 5 某人 1997 年 7 月 1 日到银行存入一年期款a元 若年利率为x 按复利计算 到 2000 年 7 月 1 日可取回款 A 元 B 元 C a 元 D a 1 元 3 1 xa 4 1 xa 3 1 xa 3 x 6 为了预防甲型 H1N1 流感 东莞市常平中学对教室用药熏消毒法进行消毒 已知药物 释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 成正比 药物释放 完毕后 y与t的函数关系式为 a为常数 如图所示 根据图中提供的信 at y 16 1 息 回答下列问题 从药物释放开始 每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间 t 小时 之间的函数关系式为 用心 爱心 专心4 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到 0 25 毫克以下时 学生方可进教室 那从药物释放开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 7 为了尽快改善职工住房困难 鼓励个人购房和积累建房基金 决定住房的职工必须 按基本工资的高低交纳建房积金 办法如下 每月工资公积金 1000 元以下不交纳 1000 元至 2000 元 交纳超过 1000 元部分的 5 2000 元至 3000 元 1000 元至 2000 元部分交纳 5 超过 2000 元部分交纳 10 3000 元以上 1000 元至 2000 元部分交 5 2000 元至 3000 元交 10 3000 元以上部分交 15 设职工每月工资为x元 交纳公积金后实得数为y元 求y与x之间的关系式 用心 爱心 专心5 8 甲 乙两人同一天分别携带 1 万元到银行储蓄 甲存五年期定期储蓄 年利率为 2 88 乙存一年期定期储蓄 年利率为 2 25 并且在每年到期时将本息续存一年期定期 储蓄 按规定每次计息时 储户须交纳利息的 20 作为利息税 若存满五年后两人同时从 银行取出存 款 则甲 乙所得本息之和的差为多少元 9 1 某种储蓄的月利率是 0 36 今存入本金 100 元 求本金与利息的和 即本息和 y 元 与所存月数x之间的函数关系式 并计算 5 个月后的本息和 不计复利 2 按复利计算利息的一种储蓄 本金为a元 每期利率为r 设本利和为y 存期为x 写出本利和y随存期x变化的函数式 如果存入本金 1 000 元 每期利率 2 25 试计算 5 期后的本利和是多少 用心 爱心 专心6 拓展提高 1 某民营企业生产 A B 两种产品 根据市场调查和预测 A 产品的利润与投资成正 比 其关系如图 1 B 产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图 2 注 利润与投资 单位是万元 1 分别将 A B 两种产品的利润表示为投资的函数 并写出它们的函数关系式 2 该企业已筹集到 10 万元资金 并全部投入 A B 两种产品的生产 问 怎样分配 这 10 万元投资 才能是企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元 精确到 1 万元 2 通过研究学生的学习行为 心理学家发现 学生接受能力依赖于老师引入概念和描 述问题所用的时间 讲座开始时 学生的兴趣激增 中间有一段不太长的时间 学生的兴 趣保持理想的状态 随后学生的注意力开始分散 分析结果和实验表明 用 f x 表示学生 掌握和接受概念的能力 f x 的值越大 表示接受能力越强 x 表示提出和讲授概念的时 间 单位 分 可以有以下公式 f x 0 1x2 2 6x 43 0 x 10 59 10 x 16 3x 107 16 x 30 1 开讲多少分钟后 学生的接受能力最强 能维持多少分钟 2 开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较 学生的接受能力何时强一些 3 一个数学难题 需要 55 的接受能力以及 13 分钟的时间 老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题 用心 爱心 专心7 基础精练参考答案 4 C 解析 设原价为 1 降价 则 所以应 x1 1 4 1 1 x 20 x 降价 20 5 A 解析 a 1 x 故选 A 19972000 3 1 xa 6 解析 1 1 0 16 1 1 00 10 10 1 t tt y t 6 0 所以函数的表达式为 10 1 16 1 1 10 ay at 得 代入 把点 1 0 16 1 1 00 10 10 1 t tt y t 2 解不等式得 所以至少要经过小时后 学生才能回到课 4 1 16 1 1 0 t 6 0 t6 0 室 7 解析 当 0 x 1000 时 y x 当 1000 x 2000 时 y 1000 x 1000 1 5 0 95x 50 当 2000 x 3000 时 y 1000 1000 1 5 x 2000 1 10 0 9x 150 当x 3000 时 y 1000 1000 1 5 1000 1 10 x 3000 1 15 0 85x 300 用心 爱心 专心8 因此y与x的关系可用分段函数表示如下 300030085 0 300020001509 0 200010005095 0 10000 xx xx xx xx y 8 解析 甲到期本利和为 10000 1 2 88 1 20 5 11152 元 乙到期本利和为 10000 1 2 25 1 20 5 10932 99 元 甲 乙所得本息之和 的差为 219 01 元 9 解析 1 利息 本金 月利率 月数 y 100 100 0 36 x 100 0 36x 当x 5 时 y 101 8 5 个月后的本息和为 101 8 元 2 已知本金为a元 1 期后的本利和为 a a r a 1 r 1 y 2 期后的本利和为 a 1 r a 1 r r 2 y 2 1 ra 拓展提高参考答案 1 解析 1 投资为万元 A 产品的利润为万元 B 产品的利润为万x f x g x 元 由题设 f x 1 kx g x 2 kx 由图知 又 1 1 4 f 1 1 4 k 5 4