必修5-解三角形知识点归纳总结

必修 5 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 QQ 第一章第一章 解三角形解三角形 1 1 正弦定理 正弦定理 1 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 并且都等于 外接圆的直径 即 其中 R 是三角形外接圆的半径 R C c B b A a 2 sinsinsin 2 变形 1 sinsinsinsinsinsin abcabc CC A A 2 化边为角 CBAcbasin sin sin sin sin B A b a sin sin C B c b sin sin C A c a 3 化边为角 CRcBRbARasin2 sin2 sin2 4 化角为边 sin sin b a B A sin sin c b C B sin sin c a C A 5 化角为边 R c C R b B R a A 2 sin 2 sin 2 sin 3 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 已知两个角及任意 边 求其他两边和另一角 例 已知角 B C a 解法 由 A B C 180o 求角 A 由正弦定理 sin sin B A b a sin sin C B c b 求出 b 与 c sin sin C A c a 已知两边和其中 边的对角 求其他两个角及另一边 例 已知边 a b A 解法 由正弦定理求出角 B 由 A B C 180o 求出角 C 再使用 B A b a sin sin 正弦定理求出 c 边 C A c a sin sin 4 ABC 中 已知锐角 A 边 b 则 时 B 无解 Abasin 或时 B 有一个解 Abasin ba 时 B 有两个解 baAb sin 如 已知 求 有一个解 32 2 60 baAB 已知 求 有两个解 32 2 60 abAB Absin A b 必修 5 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 QQ 注意 由正弦定理求角时 注意解的个数 二二 三角形面积三角形面积 1 BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 其中 是三角形内切圆半径 rcbaS ABC 2 1 r 3 其中 cpbpappS ABC 2 1 cbap 4 R 为外接圆半径 R abc S ABC 4 5 R 为外接圆半径CBARS ABC sinsinsin2 2 三三 余弦定理余弦定理 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的 2 倍 即 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 2 变形 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 注意整体代入 如 2 1 cos 222 Bacbca 3 利用余弦定理判断三角形形状 设 是的角 的对边 则 abcC A A C 若 所以为锐角 若为直角Aabc 222 若 所以为钝角 则 必修 5 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 QQ 是钝角三角形 4 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 1 已知三边 求三个角 2 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 四 应用题四 应用题 1 已知两角和一边 如A B C 由A B C 求C 由正弦定理求 a b 2 已知两边和夹角 如a b c 应用余弦定理求c边 再应用正弦定理 先求较短边所对的角 然后利用A B C 求另一角 3 已知两边和其中一边的对角 如a b A 应用正弦定理求B 由 A B C 求C 再由正弦定理或余弦定理求c边 要注意解可能有多种情 况 4 已知三边a b c 应用余弦定理求A B 再由A B C 求角C 5 方向角一般是指以观测者的位置为中心 将正北或正南方向作为起始方 向旋转到目 标的方向线所成的角 一般指锐角 通常表达成 正北或正南 北偏东 度 北偏西 度 南偏东 度 南偏西 度 6 俯角和仰角的概念 在视线与水平线所成的角中 视线在水平线上 方的角叫仰角 视线在水平线下方的角叫俯角 5 5 三角形中常见的结论三角形中常见的结论 1 三角形三角关系 A B C 180 C 180 A B 2 三角形三边关系 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 3 在同一个三角形中大边对大角 BAbaBAsinsin 4 三角形内的诱导公式 sin sin ABC cos cos ABC tan tan ABC 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 必修 5 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 QQ 2 sin 2 cos 22 cos 22 sin 22 tan 2 tan C C C C CBA 5 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 1 sin sin cos cos sin 2 cos cos cos sin sin 3 tan tan tan 1 tan tan 6 二倍角的正弦 余弦 正切公式 1 sin 2 2sin cos 2 cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 3 2 2cos1 cos 2 2cos1 sin 22 4 tan 2 2tan 1 t