《导数及其应用》单元测试题(文科)

导数及其应用导数及其应用 单元测试题 文科 单元测试题 文科 满分 150 分 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 10 小题 共 50 分 只有一个答案正确 1 函数的导数是 2 2 xxf A B C D xxf 4 xxf 2 4 xxf 2 8 xxf 16 2 函数的一个单调递增区间是 x exxf A B C D 0 1 8 2 2 1 2 0 3 已知对任意实数 有 且时 x fxf xgxg x 0 x 则时 0 0fxg x 0 x A B 0 0fxg x 0 0fxg x C D 0 0fxg x 0 0fxg x 4 若函数在内有极小值 则 bbxxxf33 3 1 0 A B C D 10 b1 b0 b 2 1 b 5 若曲线的一条切线 与直线垂直 则 的方程为 4 yx l480 xy l A B C D 430 xy 450 xy 430 xy 430 xy 6 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 x ye 2 2 e 2 9 4 e 2 2e 2 e 2 2 e 7 设是函数的导函数 将和的图象画在同一个直角坐标 fx f x yf x yfx 系中 不可能正确的是 8 已知二次函数的导数为 对于任意实数都有 2 f xaxbxc fx 0 0f x 则的最小值为 0f x 1 0 f f A B C D 3 5 2 2 3 2 9 设在内单调递增 则是的 2 eln21 x p f xxxmx 0 5q m pq 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 10 函数的图像如图所示 下列数值排序正确的是 xf A y 2 3 3 2 0 ffff B 2 2 3 3 0 ffff C 2 3 2 3 0 ffff D O 1 2 3 4 x 3 2 2 3 0 ffff 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 分 11 函数的单调递增区间是 ln 0 f xxx x 12 已知函数在区间上的最大值与最小值分别为 则 3 128f xxx 3 3 M m Mm 13 点 P 在曲线上移动 设在点 P 处的切线的倾斜角为为 则的取值 3 2 3 xxy 范围是 14 已知函数 1 若函数在总是单调函数 则的取值范5 3 1 23 axxxy a 围是 2 若函数在上总是单调函数 则的取值范围 1 a 3 若函数在区间 在区间 3 1 上单调递减 上单调递减 则实数的取值范围是 a 三 解答题 本大题共 4 小题 共 12 12 14 14 14 14 80 分 15 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 问该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 16 设函数在及时取得极值 32 2338f xxaxbxc 1x 2x 1 求 a b 的值 2 若对于任意的 都有成立 求 c 的取值范围 0 3 x 2 f xc 17 设函数 3 32f xxx 分别在 12 xx 处取得极小值 极大值 xoy平面上点AB 的 坐标分别为 11 x f x 22 xf x 该平面上动点P满足 4PA PB 点Q是点P关于直 线2 4 yx 的对称点 求 求点AB 的坐标 求动点Q的轨迹方程 18 已知函数 32 233 f xxx 1 求曲线在点处的切线方程 yf x 2x 2 若关于的方程有三个不同的实根 求实数的取值范围 x 0f xm m 19 已知 Raxxa ax xf 14 1 3 2 3 1 当时 求函数的单调区间 1 a 2 当时 讨论函数的单调增区间 Ra 3 是否存在负实数负实数 使 函数有最小值 3 a 0 1 x 20 已知函数 其中 2 a f xx x lng xxx 0a 1 若是函数的极值点 求实数的值 1x h xf xg x a 2 若对任意的 为自然对数的底数 都有 成立 12 1x xe e 1 f x 2 g x 求实数的取值范围 a 文科测试解答 一 选择题 1 42 22 2 xxxf xxf 2 42 xxf 2 8 2 选 A x x e x exxf 2 1 x xx e exe xf 1 0 1 2 x e ex x x 3 B 数形结合 4 A 由 依题意 首先要求 b 0 所以 bxbxxf 22 333 bxbxxf 3 由单调性分析 有极小值 由得 bx 1 0 bx 5 解 与直线垂直的直线 为 即在某一点的导数为480 xy l40 xym 4 yx 4 而 所以在 1 1 处导数为 4 此点的切线为 故选 A 3 4yx 4 yx 430 xy 6 D 7 D 8 C 9 B 10 B 设 x 2 x 3 时曲线上的点为 AB 点 A 处的切线为 AT 点 B 处的切线为 BQ T y B 2 3 ff AB k ff 23 2 3 A 3 BQ kf 2 AT kf 如图所示 切线 BQ 的倾斜角小于 直线 AB 的倾斜角小于 Q 切线 AT 的倾斜角 O 1 2 3 4 x BQ k AB k AT k 所以选 B 11 1 e 12 32 13 4 3 2 0 14 1 3 3 3 2 1 aaa 三 解答题 15 解 设长方体的宽为 x m 则长为 2x m 高为 2 3 0 m 35 4 4 1218 xx x h 故长方体的体积为 2 3 0 m69 35 4 2 3322 xxxxxxV 从而 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 令 V x 0 解得 x 0 舍去 或 x 1 因此 x 1 当 0 x 1 时 V x 0 当 1 x 时 V x 0 3 2 故在 x 1 处 V x 取得极大值 并且这个极大值就是 V x 的最大值 从而最大体积 V V x 9 12 6 13 m3 此时长方体的长为 2 m 高为 1 5 m 答 当长方体的长为 2 m 时 宽为 1 m 高为 1 5 m 时 体积最大 最大体积为 3 m3 16 解 1 2 663fxxaxb 因为函数在及取得极值 则有 f x1x 2x 1 0 f 2 0 f 即 6630 24 1230 ab ab 解得 3a 4b 2 由 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 当时 01 x 0fx 当时 12 x 0fx 当时 2 3 x 0fx 所以 当时 取得极大值 又 1x f x 1 58fc 0 8fc 3 98fc 则当时 的最大值为 0 3x f x 3 98fc 因为对于任意的 有恒成立 0 3x 2 f xc 所以 2 98cc 解得 或 1c 9c 因此的取值范围为 c 1 9 17 解 1 令解得033 23 23 xxxxf11 xx或 当时 当时 当时 1 x0 x f11 x0 x f1 x0 x f 所以 函数在处取得极小值 在取得极大值 故 1 x1 x1 1 21 xx 4 1 0 1 ff 所以 点 A B 的坐标为 4 1 0 1 BA 2 设 nmp yxQ 4414 1 1 22 nnmnmnmPBPA 所以 又 PQ 的中点在上 所以 2 1 PQ k 2 1 mx ny 4 2 xy 4 2 2 2 mxny 消去得 nm 928 22 yx 另法 点 P 的轨迹方程为其轨迹为以 0 2 为圆心 半径为 3 的圆 92 2 2 nm 设点 0 2 关于 y 2 x 4 的对称点为 a b 则点 Q 的轨迹为以 a b 为圆心 半径为 3 的圆 由 得 a 8 b 2 2 1 0 2 a b 4 2 0 2 2 2ab 18 解 1 2 分 2 66 2 12 2 7 fxxx ff 曲线在处的切线方程为 即 4 yf x 2x 712 2 yx 12170 xy 分 2 记 322 233 666 1 g xxxmg xxxx x 令或 1 6 分 0 0g xx 则的变化情况如下表 x g x g x x 0 0 0 1 1 1 g x 0 0 g x A 极大A极小A 当有极大值有极小值 10 分0 xg x 3 1 mxg x 2m 由的简图知 当且仅当 g x 0 0 1 0 g g 即时 30 32 20 m m m 函数有三个不同零点 过点可作三条不同切线 g xA 所以若过点可作曲线的三条不同切线 的范围是 14 分A yf x m 3 2 19 1 或递减 递增 2 1 当 2 x 2 x xf 2 2 x xf 0 a 递增 2 当递增 3 当或 2 x xf 0 a 2 2 a x xf 10 a 2 x 递增 当递增 当或 2 a x xf 1 a x xf 1 a 2 a x 递增 3 因由 分两类 依据 单调性 极小值点是否在区间 1 0 2 x xf 0 a 上是分类 契机 1 当 递增 解得 2 1 2 a a 2 2 0 1 a x xf3 1 min fxf 2 4 3 a 2 当由单调性知 化简得 解得 2 1 2 a a 3 2 min a fxf0133 2 aa 不合要求 综上 为所求 2 6 213 a 4 3 a 20 1 解法解法1 1 其定义域为 2 2ln a h xxx x 0 2 2 1 2 a h x xx 是函数的极值点 即 1x h x 10 h 2 30a 0a 3a 经检验当时 是函数的极值点 3a 1x h x 3a 解法解法2 2 其定义域为 2 2ln a h xxx x 0 2 2 1 2 a h x xx 令 即 整理 得 0h x 2 2 1 20 a xx 22 20 xxa 2 1 80a 的两个实根 舍去 0h x 2 1 11 8 4 a x 2 2 11 8 4 a x 当变化时 的变化情况如下表 x h x h x x 2 0 x 2 x 2 x h x 0 h xA极小值A 依题意 即 2 11 8 1 4 a 2 3a 0a 3a 2 解 解 对任意的都有 成立等价于对任意的 12 1x xe 1 f x 2 g x 都有 12 1x xe min f x max g x 当 1 时 x e 1 10gx x 函数在上是增函数 lng xxx 1e max 1g xg ee 且 2 22 1 xaxaa fx xx 1 xe 0a 当且 1 时 01a x e 2 0 xaxa fx x 函数在 1 上是增函数 2 a f xx x e 2 min 11f xfa 由 得 2 1a 1e ae 又 不合题意 01a a 当1 时 ae 若1 则 xa 2