2012年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷 Ⅳ 理（浙江卷）

用心 爱心 专心1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷 数学理科 浙江卷 数学理科 浙江卷 本试卷分选择题和非选择题两部分 满分本试卷分选择题和非选择题两部分 满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共选择题部分 共 5050 分 分 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写 在试卷个答题纸规定的位置上 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 参考公式 参考公式 如果事件A B互斥 那么棱柱的体积公式 P A B P A P B V Sh 如果事件A B相互独立 那么其中S表示棱柱的底面积 h表示棱 柱的高 P A B P A P B 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p 那么n V Sh 3 1 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积 h表示棱 锥的高 Pn k C pk 1 p n k k 0 1 2 n 球的表面积公式 k n 棱台的体积公式S 4 R2 球的体积公式 2211 3 1 SSSShV 其中S1 S2分别表示棱台的上 下底面积 V R3 3 4 h表示棱台的高 其中R表示球的半径 用心 爱心 专心2 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题小题 每小题每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 复数 1 1 z i i是虚数单位 在复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 某程序框图如图所示 若输出的S 57 则判断框内填 A k 4 B k 5 C k 6 D k 7 3 下列命题中的假命题是 A lg0 xRx B tan1xRx C 3 0 xR x D 20 x xR 4 如图 在 ABC 中 ADAB 3BC BD 1AD 则AC AD A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 3 5 已知集合A x 2 x 7 B x m 1 x 2m 1 若A B A 则函数m的取值范 围是 A 3 m 4 B 3 m 4 C 2 m 4 D m 4 6 已知数列满足设则下 n a 11112 2 nn aaanaa ab 12 nn Saaa 列结论正确的是 A B 100100 50 aab Sab 100100 50aab Sa C D 100100 50ab Sa 100100 aa Sba 7 设奇函数 xf在 0 上是增函数 且0 1 f 求不等式0 xfxfx的解 用心 爱心 专心3 集是 A 1 01 xxx或 B 10 1 xxx或 C 1 1 xxx或 D 10 01 xxx或 8 1 1 nx 的展开式中含 1 n x项的系数 A 1 2 n n B 2 1 nn C 1 2 2 nn D 1 2 n n 9 已知 则的最大值为4 1 0 0 0 222 cbaabcba且acbcab A B C D 221 334 10 已知点F是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点 点E是该双曲线的右顶点 过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点 若 ABE是锐角三角形 则该双曲 线的离心率e的取值范围是 A 1 B 1 2 C 1 1 2 D 2 1 2 非选择题部分 共非选择题部分 共 100100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 如图是某几何体的三视图 其中正视图 俯视图的长均 为 4 宽分别为 2 与 3 侧视图是等腰三角形 则该几何 体的体积是 12 已知钝角三角形的最大边长为 4 其余两边长分别ABC 为 那么以为坐标的点所表示的平面区域面积yx yx 是 13 计算 29tan32tan31tan3 14 若焦点在轴上的椭圆上有一点 使它与两焦点的连线互相垂直 则正数x 22 2 1 45 xy b 的取值范围是 b 15 在平面上 若两个正三角形的边长的比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在 正视图侧视图 俯视图 用心 爱心 专心4 空间中 若两个正四面体的棱长的比为 1 2 则它们的体积比为 16 对正整数n 设曲线处的切线与y轴交点的纵坐标为 2 1 xxxy n 在 n a i n a ii 数列的前n项和Sn 1 n an 17 一个袋中有大小相同的标有 1 2 3 4 5 6 的 6 个小球 某人做如下游戏 每次 从 袋中拿一个球 拿后放回 记下标号 若拿出球的标号是 3 的倍数 则得 1 分 否则 得1 分 则拿 4 次所得分数 的数学期望是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共5 5小题 共小题 共7272分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本小题满分 14 分 已知函数 2 2 3sin cos2cos1 f xxxxxR 1 求函数 f x的最小正周期及在区间0 2 上的最大值和最小值 1 若 00 6 54 2 f xx 求 0 cos2x的值 19 本题满分 14 分 已知 数列满足 f x2ln243x x n a 1 1 2 0 2 1 1 Nnafa n an 1 求在上的最大值和最小值 f x 0 2 1 2 证明 1 0 2 n a 3 判断与的大小 并说明理由 n a 1 n anN 用心 爱心 专心5 D1 C1 B1 A1 E D C B A 20 本题满分 15 分 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AD AA1 1 AB 2 点E在棱AB上移动 1 证明 D1E A1D 2 当E为AB的中点时 求点E到面ACD1的距离 3 AE等于何值时 二面角D1 EC D的大小为 4 21 本题满分15 分 已知点 0 1F 直线l 1y P为平面上的动点 过点P作直线l的垂线 垂足 为Q 且QP QFFP FQ AA 1 求动点P的轨迹C的方程 2 已知圆M过定点 0 2D 圆心M在轨迹C上运动 且圆M与x轴交于A B两点 设 1 DAl 2 DBl 求 12 21 ll ll 的最大值 22 本题满分14 分 已知函数 a b R R 3 f xxaxb 1 当a b 1 时 求函数f x 的单调区间 2 是否存在a b 使得对任意的x 0 1 成立 若存在 求出 9 3 9 3 xf a b 的值 若不存在 说明理由 用心 爱心 专心6 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷 数学理科 浙江卷 参考答案与评分标准数学理科 浙江卷 参考答案与评分标准 说明 说明 一一 本本解解答答指指出出了了每每题题要要考考查查的的主主要要知知识识和和能能力力 并并给给出出了了一一种种或或几几种种解解法法供供参参考考 如如果果考考生生的的解解法法与与本本解解答答不不同同 可可根根据据试试题题的的主主要要考考查查内内容容比比照照评评分分参参考考制制订订相相应应的的评评分分 细细 则则 二 对计算题二 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题变该题 的内容和难度 的内容和难度 可视影响的程度决定后续部分的给分 可视影响的程度决定后续部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得但不得超过该部分正确解答应得 分数的一半 如果后续部分的解答有较分数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题除四 只给整数分数 选择题和填空题除 1616 题外不给中间分 题外不给中间分 1616 题每格题每格 2 2 分 分 五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分 1 1 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 5050 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 1 5 5 AACDDAACDD 6 6 1010 BDBACBDBAC 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 12 12 13 14 15 1 884 29 2 3 10 0 2 16 i 2 分 ii 2 分 17 n n2 1 22 1 n 3 4 1515 题详解 题详解 由类比推理得 若两个正四面体的棱长的比为 1 2 则它们的体积比为 1 8 下面计算验证 假设两个正四面体的棱长分别为 1 和 2 用心 爱心 专心7 如图 正四面体ABCD的棱长为 1 取BC的中点E 作AO ED于O 则OD ED 2 3 2 3 3 2 3 3 又在 Rt AOD中 AO 1 OD2 1 3 3 2 6 3 则V正四面体ABCD S BCD AO 1 3 1 3 3 4 6 3 2 12 同理可算得棱长为 2 的正四面体的体积 V正四面体A B C D 2 2 3 V正四面体ABCD V正四面体A B C D 2 12 2 2 3 1 8 1717 题详解 题详解 的可能取值为4 2 0 2 4 则 81 16 3 2 4 4 P 81 32 3 2 3 1 2 31 4 CP 81 24 3 2 3 1 0 222 4 CP 81 8 2 P 81 1 4 P 4 3 81 1 4 81 8 2 81 24 0 81 32 2 81 16 4 E 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共5 5小题 共小题 共7272分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 解 1 由 2 2 3sin cos2cos1f xxxx 得 2 3 2sin cos 2cos1 3sin2cos22sin 2 6 f xxxxxxx 所以函数 f x的最小正周期为 因为 2sin 2 6 f xx 在区间0 6 上为增函数 在区间 6 2 上为减函数 又 0 1 2 1 62 fff 用心 爱心 专心8 所以函数 f x在区间0 2 上的最大值为2 最小值为 1 7分 2 由 1 可知 00 2sin 2 6 f xx 又因为 0 6 5 f x 所以 0 3 sin 2 65 x 由 0 4 2 x 得 0 27 2 636 x 从而 2 00 4 cos 21 sin2 665 xx 所以 0000 34 3 cos2cos2cos 2cossin 2sin 66666610 xxxx 14分 19 本题满分 14 分 解 1 1 4ln4 x fx 当时 1 0 2 x 1 01 4 0 2 x fx 在上是增函数 6 分 34 2 ln2 x f xx 1 0 2 maxmin 15 02 ln2 22 fxffxf 2 数学归纳法证明 当时 由已知成立 1n 假设当时命题成立 即成立 nk 1 0 2 k a 那么当时 由 得1nk 11 5 2 ln2 2 2 k k a f a 11 35 2ln222 22 k a 用心 爱心 专心9 D1 C1 B1 A1 E D C B A o x z y 1 1 11 2 k a 这就是说时命题成立 1 1 0 2 k a 1nk 由 知 命题对于都成立 9 分nN 3 由 1 111 222 nnn aaa n f a 记得 10 分 1 2 x xfxg 4ln4212ln2 1xxx xfxg 当时 故 1 0 2 x 21 21 41 22 xx 21 1 2410 22 xx 所以 g 0 f 0 2 0 0 即 0 n a n af 1 2 nn aa 11 22 1 得 14 分 1 n a n a 20 本题满分 15 分 解 以D为坐标原点 直线DA DC DD1分别为x y z轴 建立空间直角坐标系 设AE x 则A1 1 0 1 D1 0 0 1 E 1 x 0 A 1 0 0 C 0 2 0 证明 1 0 1 1 1 0 1 1111 EDDAxEDDA 所以因为 2分 2 因为E为AB的中点 则E 1 1 0 从而 0 2 1 1 1 1 1 ACED 1 0 1 1 AD 设平面ACD1的法向量为 cban 则 0 0 1 ADn ACn 也即 0 02 ca ba 得 ca ba2 从而 2 1 2 n 所以点E到平面AD1C的距离为 用心 爱心 专心10 3 1 3 212 1 n nED h 8分 3 设平面D1EC的法向量 cban 1 0 0 1 2 0 0 2 1 11 DDCDxCE 由 0 2 02 0 0 1 xba cb CEn CDn 令b 1 c 2 a 2 x 2 1 2 xn 依题意 2 2 5 2 2 2 2 4 cos 2 1 1 xDDn DDn 32 1 x 不合 舍去 32 2 x AE 32 时 二面角D1 EC D的大小为 4 15分 21 本题满分 15 分 解 1 设 P x y 则 1Q x QP QFFP FQ AA 0 1 2 1 2yxx yx AA 即 2 2121yxy 即 2 4xy 所以动点P的轨迹C的方程 2 4xy 6分 2 解 设圆M的圆心坐标为 M a b 则 2 4ab 圆M的半径为 2 2 2MDab 圆M的方程为 222 2 2xaybab 令0y 则 22 22 2xabab 整理得 2 2440 xaxb 由 解得 2xa 用心 爱心 专心11 不妨设 2 0A a 2 0B a 2 1 24la 2 2 24la 222 1212 4 211 2 216 64 lllla lll l a 2 2 2 44 8 16 22 1 6464 a a aa 当0a 时 由 得 12 2 21 2 1616 2 12