2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 空间距离(2)

用心 爱心 专心 1 9 13 9 13 空间距离 空间距离 2 2 一 内容归纳一 内容归纳 知识精讲知识精讲 1 1 点到平面的距离 点到平面的距离 点 到平面 的距离为点 到平面 的垂线段的长 常用求法 作 出点 到平面的垂线后求出垂线段的长 转移法 如果平面 的斜线上两点 到斜足 的距离 的比为 nm 则点 到平面 的距离之比也为nm 特别地 时 点 到平面 的距离相等 体积法 向量法 2 2 直线到平面的距离 直线到平面的距离 只存在于直线和平面平行之间 为 直线上任意一点到平面间的距离 3 3 平面与平面间的距离 平面与平面间的距离 只存在于两个平行平面之间 为 一个平面上任意一点到另一个平面的距离 注 以上所说的所有距离 注 以上所说的所有距离 点线距 点面距 线线距 线面距 面面距都是对应图形上两点 间的最短距离 所以均可以用求函数的最小值法求各距离 重点 难点 重点 难点 在求各距离时所巧用转移方法 思维方式 思维方式 发散的思维和空间思维 大胆的设想 严密的推理 特别注意 特别注意 了解求距离的各种方法并能掌握运用 二 问题讨论 二 问题讨论 例 例 在梯形 ABCD 中 AD BC ABC 2 AB a AD 3a 且 ADC 5 5 arcsin 又 PA 平面 ABCD PA a 求 二面角 P CD A 的大小 点 到平面 PBC 的距 离 解 解 作 于 连结 因为 平面 就是二面角 的平面角 在 中 0 90 AFD 5 5 arcsin ADF 5 3 3 a AFaAD 在 PAFRt 中 a a AF PA PFA 3 5 tan 3 5 3 5 arctan PAF 因为 平面 ABCD PA BC 又 BC AB BC 平面 PAB 作 AH PB 则 BC AH AH 平面 a a2 a 2 2 故 点 到平面 的距离为 a 2 2 思维点拔思维点拔 利用定义法求点到平面的距离常需要借助三垂线定理或其逆定理 例 例 如图 已知 为边长是 的正方形 分别是 的中点 垂直于 所在的平面 且 求点 到平面 的距离 解法一 解法一 连结 222 2 1 2 1 FABES BEF 又 分别是 的中点 4 3 22 2 1 ACCHBDEF 2 222 24 4 3 2 CHGCGH P C A B D F H 用心 爱心 专心 2 22 1122222 2 1 GEF S hhV EFGB 11 3 2 112 3 1 22 3 1 BEFG V 11 112 h 解法二 解法二 分别是 的中点 EF BD 到平面 GEF 的距离为 BD 上任一点到 平面 GEF 的距离 BD AC 于 EF BD EF AC 又 GC 平面 ABCD EF 平面 ABCD EF GC EF 平面 GEF 平面 GEF 平面 GCH 过 点作 OO 则 OO平面 O O 为 到平 面 GCH 的距离 即 到平面 GEF 的距离 2 4 1 ACOH 由解法一知22 GH 由OHO HCG 得 11 112 OO GC OO GH OH 思维点拔思维点拔 注意点距 线面距 面面距的转化 利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方 法 例 例 如图 在平面四边形 ABCD 中 AB BC CD a 00 135 90 CB沿对角线 AC 折成直二面角 1 求证 AB 平面 BCD 2 求平面 ABD 与平面 ACD 所成的角 3 求点 C 到平面 ABD 的距离 1 1 证明 证明 因为 AB BC CD a ABC 900 ACB 450 ACD 900 CD AC 又平面 ABC 平面 ACD CD 平面 ABC CD AB 又 AB BC 所以 AB 平面 BCD 2 2 作 BO AC 于 O 作 OE AD 于 E 连结 BE 则BEO 即为所求二面角的平面角 易 知 aBOaOE 2 2 6 6 0 60 3tan BEO OE BO BEO 即平面 ABD 与平面 ACD 所成的角为 0 60 3 3 连结 OD 在直角三角形 BOD 中 aCDOCOD 2 6 22 22 ODOBBD aaa2 4 6 4 2 22 ABC 是直角三角形 由 ACDBABDC VV 得 BOShS ACDABD 3 1 3 1 ah 2 2 即为点 C 到平面 ABD 的距离 思维点拔思维点拔 体积法求点面距离是最常用的方法 例例 4 4 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 8 对角线 B1C 10 D 是 AC 的中点 1 求点 B1到直线 AC 的距离 2 求直线 AB1到平面 C1BD 的距离 解 解 1 连结 BD B1D 由三垂线定理可得 B1D AC 所以 B1D 就是 B1点到直线 AC 的距离 在 Rt B1BD 中 6810 2222 11 BCCBBB34 BD 212 2 1 2 1 BBBDDB O B A C D 1 A 1 B 1 C A B C D A C B D O E 用心 爱心 专心 3 2 因为 AC 与平面 BDC1交于 的中点 设 B1C BC1 E 则 AB1 DE 所以 AB1 平面 C1BD 所以 AB1到平面 BDC1的距离等于 点到平面 BDC1的距离 等于 点到平面 BDC1 的距离 也就等于三棱锥 C BDC1的高 BDCCBDCC VV 11 1 3 1 3 1 1 CCShS BDCBDC 13 1312 h 所以 直线 1 AB到平面 BD 1 C的距离是 13 1312 思维点拔思维点拔 求空间距离多用转化的思想 例 例 线段 AB 与平面 平行 平面 的斜线 A1A B1B 与平面 所成角分别是 300 600 且 A1AB B1BA 900 AB a A1B1 b b a 求 与平面 的距离 解 解 作 AC 平面 于 作 BD 平面 于 因为 AB 平面 平面 ABCD 所以 AB CD 又 CD CA 所以 AB CA 又因为 AB AA1 所以 AB 平面 A1AC 同理 AB 平面 B1BD 所以平面 A1AC 平面 B1BD 所以 A1C B1D 考虑到 B1在 CD 的同侧或在 CD 的异侧 所以应分两种情形讨论 1 如图 当 11 B A在 的同侧时 在 内作CAEB 11 于点 则 0 11 90 EAB 已 知 AA1C 300 BB1D 600 设 BD x 则 xDB 3 3 1 xCA3 1 所以 ECCAEA 11 xxx 3 32 3 3 3 又在EBARt 11 中 222 1 2 111 abEBBAEA 由 得 22 3 32 abx 所以 22 2 3 abx 2 如图 当 11 B A在 的异侧时 在 内作 DBEA 11 交DB1的延长线于 设 x 则 xDEDBEB 3 34 11 2 1 2 111 EABAEB 22 ab 由 得 22 4 3 abx 故 与平面 的的距离是 22 2 3 ab 或 22 4 3 ab 思维点拔思维点拔 在立几中要特别小心这种不同情形的讨论 三三 课堂小结 课堂小结 求各类距离主要还是要熟悉各种解题的方法 并且把它记住 灵活运用 平 时多训练一些 会有较大的提高 四 作业布置四 作业布置 1 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 BB1 CD 的中点 I 证明 AD D1F II 求 AE 与 D1F 所成的角 0 90 III 证明面 AED 面 A1FD1 IV 设 AA1 2 求三棱锥 F A1ED1的体积 1 1 A1 B a b A C Ba D E 1 A 1 B b 用心 爱心 专心 4 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的侧面 A1ACC1与底面垂直 ABC 900 BC 3 AC 2 3 1 2 AA1 A1C AA1 A1C 1 求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小 450 2 求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小 600 3 求顶点 C 到侧面 A1ABB1的距离 3 62 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 a 的正方形 PB 面 ABCD 若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 600 求这个四棱锥的体积 3 3 3 a 证明无论四棱锥的高怎样变化 面 PAD