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习题 1 1 答 习题 1 2 上题的结论是 上题的结论是 a b a b 上的连续函数列上的连续函数列 f fn n t t 一致收敛于一致收敛于 f t f t 的充要条件是的充要条件是 f fn n t f t t f t 0 0 bta max 习题 2 1 答案不完整 习题 2 2 习题 2 3 例例 2 3 22 3 2 结论 结论 1 1 当 当 C C1 1 a b a b 赋予度量赋予度量 d d1 1 C a b C a b 赋予度量赋予度量 d d0 0时 时 D D 是是 C C1 1 a b a b 到到 C a b C a b 的连续映射 的连续映射 答案 习题 2 6 例例 2 6 1 2 6 1 R R3 3是三维实线性空间 向量组是三维实线性空间 向量组 e e1 1 1 0 0 e 1 0 0 e2 2 0 1 0 e 0 1 0 e3 3 0 0 1 0 0 1 是是 R R3 3的一个基的一个基 若令若令 M eM e1 1 e e2 2 则则 spanMspanM 为为 xOyxOy 平面平面 它是它是 R R3 3的一个二维线性子空间 的一个二维线性子空间 例例 2 6 22 6 2 可测集可测集 E E 上勒贝格可积函数的集合上勒贝格可积函数的集合 L L1 1 E E 关于函数线性运算作成一个线性空间 关于函数线性运算作成一个线性空间 例例 2 6 32 6 3 函数集函数集 C a b C a b 按照函数加法及数乘运算 成为一个按照函数加法及数乘运算 成为一个 无穷维无穷维 线性空间线性空间 若若 Mn 1 t tMn 1 t t2 2 t tn n 即次数不大于即次数不大于 n n 的幂函数的集合 则的幂函数的集合 则 span Mspan Mn n 为为 C a b C a b 中一切次数不大于中一切次数不大于 n n 的的 多项式的集合 它是多项式的集合 它是 C a b C a b 中一个中一个 n 1n 1 维实线性子空间 维实线性子空间 例例 2 6 9 2 6 9 在在 C a b C a b 中 中 M x t x t M x t x t 0 t0 t a b a b 是凸集 开球是凸集 开球 O 0 r x t x t O 0 r x t x t r t 0 r 0 为确定的实数为确定的实数 在在 2 52 5 节关于变分法的例子中 泛函节关于变分法的例子中 泛函 L L 的定义域的定义域 D D 是是 线性空间线性空间 C C1 1 a b a b 中的一个凸集 中的一个凸集 例例 2 6 102 6 10 积分算子和求导算子 见例积分算子和求导算子 见例 2 3 12 3 1 和例和例 2 3 22 3 2 皆是线性算子 皆是线性算子 习题 3 1 答案 习题 3 2 习题 3 3 习题 3 4
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