2013年陕西高考文科数学试题及答案

1 2013 年陕西高考陕西高考文科数学试题及答案 注意事项 1 本试卷分为两部分 第一部分为选择题 第二部分为非选择题 2 考生领到试卷后 须按规定在试卷上填写姓名 准考证号 并在答题卡上填涂对应 的试卷类型信息 3 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交 回 第一部分第一部分 共共 50 分分 1 第一部分第一部分 共共 50 分分 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 设全集为 R 函数 1f xx 的定义域为 M 则C M R 为 A 1 B 1 C 1 D 1 答案 B 解析 1 1 1 0 1 M R CMxx即 所以选 B 2 已知向量 1 2 am bm 若 a b 则实数 m 等于 A 2 B 2 C 2 或2 D 0 2 答案 C 解析 221 2 1 mmmbambma且 所以选 C 3 设 a b c 均为不等于 1 的正实数 则下列等式中恒成立的是 A logloglog acc bab B loglologg aaa bab C log lgolog aaa bcbc D loggogoll aaa bbcc 3 答案 B 解析 a b c 1 考察对数 2 个公式 a b byxxy c c aaaa log log log logloglog 2 对选项 A b a babb c c acca log log loglogloglog 显然与第二个公式不符 所以为假 对选项 B a b bbab c c acca log log loglogloglog 显然与第二个公式一致 所以为真 对选项 C cbbc aaa logloglog 显然与第一个公式不符 所以为假 对选项 D cbcb aaa loglog log 同样与第一个公式不符 所以为假 所以选 B 4 根据下列算法语句 当输入 x 为 60 时 输出 y 的值为 A 25 B 30 C 31 D 61 4 答案 C 解析 31 50 6 025 60 xyx 所以选 C 5 对一批产品的长度 单位 mm 进行抽样检测 下图喂检测结果的频率 分布直方图 根据标准 产品长度在区间 20 25 上的为一等品 在区间 15 20 和区间 25 30 上的为二等品 在区间 10 15 和 30 35 上的为三等 品 用频率估计概率 现从该批产品中随机抽取一件 则其为二等品的 概率为 A 0 09 B 0 20 C 0 25 D 0 45 5 答案 D 解析 组距为 5 二等品的概率为45 0 5 03 0 06 0 02 0 1 所以 从该批产 品中随机抽取 1 件 则其是二等品的概率为 0 45 所以选 D 6 设 z 是复数 则下列命题中的假命题是 A 若 2 0z 则 z 是实数 B 若 2 0z 则 z 是虚数 C 若 z 是虚数 则 2 0z D 若 z 是纯虚数 则 2 0z 6 答案 C 解析 abibazRbabiaz2 222 设 经观察 C 和 D 选项可能是互相 输入 x If x 50 Then y 0 5 x Else y 25 0 6 x 50 End If 输出 y 3 排斥的 应重点注意 对选项 A 为实数则若zbz 0 0 2 所以为实数z为真 对选项 B 为纯虚数且则若zbaz 0 0 0 2 所以为纯虚数z为真 对选项 C 00 0 2 zbaz且则为纯虚数若 所以0 2 z为假 对选项 D 00 0 2 zbaz且则为纯虚数若 所以0 2 z为真 所以选 C 7 若点 x y 位于曲线 y x 与 y 2 所围成的封闭区域 则 2x y 的最小值为 A 6 B 2 C 0 D 2 7 答案 A 解析 2 yxy与的图像围成一个三角形区域 3 个顶点的坐标分别是 0 0 2 2 2 2 且当取点 2 2 时 2x y 6 取最小值 所以选 A 8 已知点 M a b 在圆 22 1 O xy 外 则直线 ax by 1 与圆 O 的位置关系是 A 相切 B 相交 C 相离 D 不确定 8 答案 B 解析 点 M a b 在圆 1 1 2222 bayx外 1 1 1 00 22 ba dbyaxO距离到直线 圆 圆的半径 故直线与圆相交 所以选 B 9 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若coscossinbCcBaA 则 ABC 的 形状为 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 9 答案 A 解析 因为coscossinbCcBaA 所以AABCCBsinsincossincossin 又ACBBCCBsin sin cossincossin 联立两式得AAAsinsinsin 所以 2 1sin AA 选 A 10 设 x 表示不大于 x 的最大整数 则对任意实数 x y 有 A x x B x 1 2 x C 2x 2 x D 1 2 2 xxx 4 10 答案 D 解析 代值法 对 A 设 x 1 8 则 x 1 x 2 所以 A 选项为假 对 B 设 x 1 8 则 x 2 1 2 x 1 所以 B 选项为假 对 C 设 x 1 4 2x 2 8 3 2 x 4 所以 C 选项为假 故 D 选项为真 所以选 D 二 填空题 把答案填写在答题卡相应题号后的横线上 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 双曲线 22 1 169 xy 的离心率为 11 答案 4 5 解析 所以离心率为 4 5 4 5 16 25 16 9 2 2 2 2 2 e a c e a b 12 某几何体的三视图如图所示 则其表面积为 12 答案 3 解析 综合三视图可知 立体图是一个半径 r 1 的半个球体 其表面积 34 2 1 22 rr 13 观察下列等式 2 3 1 1 2 1 21 22 21 3 31 32 33 21 3 5 照此规律 第 n 个等式可为 13 答案 12 5312 3 2 1 nnnnnn n 解析 考察规律的观察 概况能力 注意项数 开始值和结束值 40m x 40m 5 第 n 个等式可为 12 5312 3 2 1 nnnnnn n 14 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩形花园 阴影部分 则其 边长 x 为 m 14 答案 20 解析 利用均值不等式解决应用问题 设矩形高为 y 由三角形相似得 40 40 0 0 40 40 40 yxyx yx 且 40020 240取最大值时 矩形的面积仅当xysyxxyyx 15 考生请注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 A 不等式选做题 设 a b R a b 2 则关于实数 x 的不等式 2xaxb 的解集是 B 几何证明选做题 如图 AB 与 CD 相交于点 E 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P 已知AC PD 2DA 2 则 PE C 坐标系与参数方程选做题 圆锥曲线 2 2 xt yt t 为参数 的焦点坐标是 15 A 答案 R 解析 考察绝对值不等式的基本知识 函数 bxaxxf 的值域为 2 baxfRxba时 因此 当 所以 不等式2 bxax的解集为 R B 答案 6 解析 BADPEDBADBCDPEDBCDPEBC 且在圆中 6 6 23 2 PEPDPAPE PE PD PA PE APEEPD所以 C 答案 1 0 解析 0 1 4 2 2 2 Fxy ty tx 抛物线的焦点 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程及演算步骤 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 D B C E P A 6 已知向量 1 cos 3sin cos2 2 xxx x abR 设函数 f x a b 求 f x 的最小正周期 求 f x 在0 2 上的最大值和最小值 16 答案 2 1 1 解析 f x a b 6 2sin 2cos 2 1 2sin 2 3 2cos 2 1 sin3cos xxxxxx 最小正周期 2 2 T 所以 6 2sin xxf最小正周期为 上的图像知 在 由标准函数时 当 6 5 6 sin 6 5 6 6 2 2 0 xyxx 1 2 1 2 6 6 2sin ffxxf 所以 f x 在0 2 上的最大值和最小值分别为 2 1 1 17 本小题满分 12 分 设 Sn表示数列 n a的前 n 项和 若 n a为等差数列 推导 Sn的计算公式 若 1 1 0aq 且对所有正整数 n 有 1 1 n n q S q 判断 n a是否为等比数列 17 答案 2 1 2 1 1 d n an aan S n n n a数列是首项1 1 a 公比1 q的等比数列 解析 设公差为 d 则dnaan 1 1 7 2 111121 121 121 aaaaaaaaS aaaaS aaaaS nnnnn nnn nnn 2 1 2 2 1 1 1 d n an aan SaanS n nnn 1 01 1 qqa由题知 n nnnn nnn n n q q qq q q q q SSa q q SNn 11 1 1 1 1 1 11 11 2 11 1 1 Nnqa nq n a n n n n 所以 n a数列是首项1 1 a 公比1 q的等比数列 18 本小题满分 12 分 如图 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 O 为底面中心 A1O 平面 ABCD 1 2ABAA O D1 B1 C1 D A C B A1 证明 A1BD 平面 CD1B1 求三棱柱 ABD A1B1D1的体积 18 答案 111 BCDBDA面面 见下 1 解析 设 111 ODB线段的中点为 11111111 DBBDDCBAABCDDBBD 的对应棱是和 的对应线段是棱柱和同理 111111 DCBAABCDOAAO 为平行四边形四边形且且 11111111 OCOAOCOAOCOAOCAOOAAO 1111111111 BCDBDAODBCOOBDOACOOA面面且 证毕 的高是三棱柱面ABDDBAOAABCDOA 11111 8 在正方形 AB CD 中 AO 1 1 11 OAOAART中 在 11 2 2 1 2 1111 111 OASVABDDBA ABDABDDBA 的体积三棱柱 所以 1 111 111 ABDDBA VABDDBA的体积三棱柱 19 本小题满分 12 分 有 7 位歌手 1 至 7 号 参加一场歌唱比赛 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次 根据 年龄将大众评委分为 5 组 各组的人数如下 组别ABCDE 人数5010015015050 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委 其中从 B 组中抽取了 6 人 请将其余各组抽取的人数填入下表 组别ABCDE 人数5010015015050 抽取人数6 在 中 若 A B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手 现从这两组被抽到 的评委中分别任选 1 人 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率 19 答案 组别ABCDE 人数5010015015050 抽取人数36993 9 2 解析 按相同的比例从不同的组中抽取人数 从 B 组 100 人中抽取 6 人 即从 50 人中抽取 3 人 从 100 人中抽取 6 人 从 100 人中抽 取 9 人 A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手 则从 3 人中任选 1 人 支持支持 1 号歌手 的概率为 3 2 B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手 则从 6 人中任选 1 人 支持支持 1 号歌手的概率 为 6 2 现从抽样评委 A 组 3 人 B 组 6 人中各自任选一人 则这 2 人都支持 1 号歌手的概率 9 2 6 2 3 2 P 所以 从 A B 两组抽样评委中 各自任选一人 则这 2 人都支持 1 号歌手的概率为 9 2 20 本小题满分 13 分 已知动点 M x y 到直线 l x 4 的距离是它到点 N 1 0 的距离的 2 倍 求动点 M 的轨迹 C 的方程 过点 P 0 3 的直线 m 与轨迹 C 交于 A B 两点 若 A 是 PB 的中点 求直线 m 的斜率 9 20 答案 1 34 22 yx 2 3 解析 点 M x y 到直线 x 4 的距离 是到点 N 1 0 的距离的 2 倍 则 1 34 1 2 4 22 22 yx yxx 所以 动点 M 的轨迹为 椭圆 方程为1 34 22 yx P 0 3 设 21212211 3202 B Ayyxxyxyx 由题知 椭圆 3 0 3 0 和的上下顶点坐标分别是经检验直线 m 不经过这 2 点 即直线 m 斜率 k 存在 3 kxym方程为设直线 联立椭圆和直线方程 整理得 2 21 2 21 22 43 24 43 24 02424 43 k xx k k xxkxxk 2 3 2 9 24 43 24 2 52 2 2 1 2 2 21 21 2 21 1 2 2 1 k k k xx xxxx x x x x 所以 直线 m 的斜率 2 3 k 21 本小题满分 14 分 已知函数 e x f xx R 求 f x 的反函数的