排列组合二项式定理、概率专题复习(学生版)

2018 届高三数学排列 组合 概率与统计 1 一 排列 组合 二项式定理一 排列 组合 二项式定理 1 分类计数原理 2 分步计数原理 注 分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心 既可用来推导排列数 组合数公式 也可用来直接解题 它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算 只不过利用分类计 算原理时 每一种方法都独立完成事件 如需连续若干步才能完成的则是分步 利用分类计数原理 重在分 类 类与类之间具有独立性和并列性 利用分步计数原理 重在分步 步与步之间具有相依 性和连续性 比较复杂的问题 常先分类再分步常先分类再分步 3 排列的定义 排列数 用符号表示 其中 n m 并且 m n m n AN 排列数公式 1 1 m n n An nnmmn n mN nm 当 m n 时 排列称为全排列 排列数为 记为 n 且规定 O 1 注 注 n n A 1 2 1nn 1 n nnn 1 1 m n m n nAA 4 组合的定义 组合数 用符号表示 m n C 组合数公式 1 1 m m n n m m An nnmn C Amm nm 规定 其中 m n N m n 0 1 n C 注 排列是 排成一排 组合是 并成一组 前者有序而后者无序 组合数的两个性质 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n m 个元素 因此从 n 个不同元素中取出 mn m nn CC n m 个元素的方法是一一对应的 因此是一样多的 根据组合定义与加法原理得 在确定 n 1 个不同元素中取 m 个元素方法时 对 1 1 mmm nnn CCC 于某一元素 只存在取与不取两种可能 如果取这一元素 则需从剩下的 n 个元素中再取 m 1 个元素 所以有 C 如果不取这一元素 则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素 所以共有 C种 依分类原 1 m n m n 理有 m n m n m n CCC 1 1 5 解排列 组合题的基本策略与方法 排列 组合问题几大解题方法 直接法 排除法 捆绑法 在特定要求的条件下 将几个相关元素当作一个元素来考虑 待整体排好之后再考虑它们 局部 的排列 它主要用于解决 元素相邻问题 插空法 先把一般元素排列好 然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中 此法主要解决 元 素不相邻问题 占位法 从元素的特殊性上讲 对问题中的特殊元素应优先排列 然后再排其他一般元素 从位置 的特殊性上讲 对问题中的特殊位置应优先考虑 然后再排其他剩余位置 即采用 先特殊后一般 的解 题原则 调序法 当某些元素次序一定时 可用此法 解题方法是 先将 n 个元素进行全排列有种 n n A 个元素的全排列有种 由于要求 m 个元素次序一定 因此只能取其中的某一种排法 可 m mn m m A 以利用除法起到去调序的作用 即若 n 个元素排成一列 其中 m 个元素次序一定 共有种排列方 m m n n A A 法 排列组合常见解题策略 特殊元素优先安排策略 合理分类与准确分步策略 排列 组合混合问题先选后排的策略 处理排列组合综合性问题一般是先选元素 后排列 正难则反 等价转化策略 相邻问题插空处理策略 不相邻问题插空处理策略 定序问题除法处理策略 分排问题直排处理的策略 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 构造模型的策略 6 二项式定理 对于 这个公式所表示的定理nN 00110 nnnrn rrnn nnnn abC a bC abC abC a b 2018 届高三数学排列 组合 概率与统计 2 叫做二项式定理 右边的多项式叫做的展开式 nab 注 展开式具有以下特点 项数 共有项 系数 依次为组合数1 n 210n n r nnnn CCCCC 且每一项的次数是一样的 即为 n 次 展开式依 a 的降幂排列 b 的升幂排列展开 二项展开式的通项 的展开式第 r 1 为 n a b 1 0 rn rr rn TC abrn rZ 二项式系数的性质 二项展开式中的叫做二项式系数 0 1 2 r n Crn 在二项展开式中与首未两项 等距离 的两项的二项式系数相等 即 011 nnrn r nnnnnn CCCCCC 二项展开式的中间项二项式系数最大 且当时 二项系数是逐渐增大 当时 二项式系数是逐渐减小的 1 2 n k 当 n 是偶数时 中间项是第项 它的二项式系数最大 1 2 n 2 n n C 当 n 是奇数时 中间项为两项 即第项和第项 它们的二项式系数最大 1 2 n 1 1 2 n 11 22 nn nn CC 系数和 所有二项式系数的和 奇数项二项式系数的和 偶数项而是系数的 01 2 nn nnn CCC 和 024131 2 n nnnnn CCCCC 1 121 mmmmm mmmm nm n CCCCC 如何来求展开式中含的系数呢 其中且把 n abc pqr a b c p q rN pqrn 视为二项式 先找出含有的项 另一方面在 nn abcabc r c rn rr n Cabc 中含有的项为 故在中含的项为 n r ab q b qn r qqqpq n rn r CabCa b n abc pqr a b c 其系数为 rqpqr nn r C Ca b c rqpqr nn rnn pr nnrn C CC CC r nrq nrqr q p 二项式定理的应用 解决有关近似计算 整除问题 运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指 数有关的不等式 二 概率统计二 概率统计 1 随机事件及其概率 必然事件 不可能事件 随机事件 随机事件的概率 概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小 它的取值范围是 必然事件的概率是 1 不可能事 0 1 件的概率是 0 2 等可能事件的概率 基本事件 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件 等可能事件的概率 如果一次试验由个基本事件组成 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一n 个基本事件的概率都是 如果某个事件包含的结果有个 那么事件的概率为 1 n AmA m P A n 3 互斥事件 如果事件 A B 互斥 那么事件 A B 发生 即 A B 中有一个发生 的概率 等于事件 A B 分别发生的概 率和 即 P A B P A P B 推广 1212 nn P AAAP AP AP A 对立事件 对立事件的概率和等于 1 1 AP A AP P A 互为对立的两个事件一定互斥 但互斥不一定是对立事件 从集合的角度看 由事件 A 的对立事 件所含的结果组成的集合 是全集 I 中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 A 4 相互独立事件 注 独立事件是对任意多个事件来讲 而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件 且这多个事件不能 同时发生 故这些事件相互之间必然影响 因此互斥事件一定不是独立事件 两个相互独立事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积 即 P A B P A P B 推广 如果事件相互独立 那么 12 n AAA 1212 nn P A AAP AP AP A 独立重复试验 若 n 次重复试验中 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果 则称这 n 次试验是独立的 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰 2018 届高三数学排列 组合 概率与统计 3 好发生 k 次的概率 注 此式为二项式 1 P P n展开式的第 k 1 项 1 kkn k nn PkC PP 注 一般地 如果事件 A 与 B 相互独立 那么 A 与与 B 与也都相互独立 B AAB 对任何两个事件都有对任何两个事件都有 P ABP AP BP A B 5 随机试验 试验如果满足下述条件 试验可以在相同的情形下重复进行 试验的所有可能结果是明确可知的 并且不止一个 每次 试验总是恰好出现这些结果中的一个 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果 它就 被称为一个随机试验 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示 那么这样的变量叫做随机变量 如果随机变量可以按一 定次序一一列出 这样的随机变量叫做离散型随机变量 注 若随机变量可以取某一区间内的一切值 这样的变量叫做连续型随机变量 6 离散型随机变量 设离散型随机变量 可能取的值为 21i xxx 取每一个值的概率 则表称为随机变量 的概率分布 简称 的分布列 2 1 1 ix ii pxP 1 x 2 x i x P 1 p 2 p i p 有性质 1 0 1 2 pi 12 1 i ppp 7 称为的数学期望或平均数 均值 1122nn Ex px px p 数学期望又简称期望 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平 注 随机变量的数学期望 ab EE abaEb 8 方差 标准差 当已知随机变量的分布列为时 则称 1 2 kk Pxpk 为的方差 222 1122 nn DxEpxEpxEp 显然 故为的根方差或标准差 随机变量的方差与标准差都反映了随机变0D D 量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 越小 稳定性越高 波动越小 D 注 随机变量的方差 a b 均为常数 ab 2 DD aba D 期望与方差的转化 22 DEE 9 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 P 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发 生 k 次的概率是 其中 kkn k n PkC p q 0 1 1kn qp 于是得到随机变量 的概率分布如下 01 k n P n q 111n n C p q kkn k n C p q n p 我们称这样的随机变量服从二项分布 记作 B n p 其中 n p 为参数 并记 kkn k n C p qb k n p 注 对二项分布有 B n p 0 n kn k k n Ekp qnp k nk 1 Dnpp 10 几何分布 在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是 该事件第一次发生时所做试验的次数是p 一个取值为正整数的离散型随机变量 表示在第次独立重复试验时事件第一次发生 于是得 kk 到随机变量的概率分布如下 1qp 123 k P pqp 2 q p 1 qp k 2018 届高三数学排列 组合 概率与统计 4 则称这样的随机变量服从几何分布 并记 其中 1 gpqp k k1qp 1 2 3 k 注 如果随机变量服从几何分布即 则 Pgp kk 2 1 q ED pp 11 常用的抽样方法有 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样三种 12 总体分布的估计 用样本估计总体 是研究统计问题的一个基本思想方法 样本容量越大 估计越准确 将 总体与随机变量沟通后 就可以用概率的知识研究统计问题 当总体中的个体取不同值很少时 其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频率来表示 其几 何表示就是相应的条形图 当总体中的个体取不同值较多时 对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识 列出分组区间 和各区间内取值的频数和频率 其几何表示就是相应的频率分布直方图 累积频率分布是从另一个角度反映了一组数据分布的情况 因此在频率分布表中常增设一列累积 频率 而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图 频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布 当样本容量无限增大且分组的组距无限缩 小时 则频率分布直方图趋近于总体密度曲线时 相应的累积频率分布图也会趋近于一条光滑曲线 即累 积分布曲线 生产过程中的质量控制图 通过生产过程中的质量控制图 了解统计中假设检验的基本思想 明确 正态总体及其概率密度函数的概率 掌握正态曲线的性质及其应用 并了解 小概率事件 的概念和它在 一次试验中不可能发生的思想 13 正态分布 1 密度曲线与密度函数 对于连续型随机变量 如图位于 x 轴上方的曲线叫的密度 曲线 以其作为图像的函数叫做的密度函数 则落在任一区间内的概率等于它与 x 轴 f x a b 和直线与直线所围成的曲边梯形的面积 如图阴影部分 由于 是必然事件 xa xb 故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1 2 正态分布与正态曲线 如果随机变量 的概率密度为 2 2 2 1 2 x f xe 为常数 且 xR 0 称服从参数为的正态分布 用 表示 2 N 的表达式可简记为 它的密度曲线简称为正态曲线 f x 2 N 正态分布的期望与方差期望与方差 若 则的期望与方差分别为 2 N 2 ED 3 正态曲线的性质 曲线在 x 轴上方 与 x 轴不相交 曲线关于直线对称 x 当时曲线处于最高点 当 x 向左 向右远离时 曲线不断地降低 呈现出 中间高 两x 边低 的钟形曲线 当 时 曲线上升 当 时 曲线下降 并且当曲线向左 向右两边无限延伸时 以x x x 轴为渐近线 向 x 轴无限的靠近 当一定时 曲线的形状由确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 4 标准正态分布 如果随机变量的概率函数为 则称服从标 2 2 1 2 x xex 准正态分布 即 有 求出 而 0 1 N xPx 1 xx P a b 的计算则是 P abba 注意 当标准正态分布的的 x 取 0 时 x 有当的 x 取大于 0 的数时 0 5x x 有 比如则必然小于 0 如图 0 5x 0 5 0 07930 5 0 5 5 正态分布与标准正态分布间的关系 若 则 的分布函数常用 2 N 表示 F x 且有 x PxF x 注 一般正态分布 均可化为 2 N 标 类 别共同点不同点联 系适用范围 简单随 机抽样 从总体中逐个抽取 是后两种方法的基 础 总体个数较少 系统 抽样 将总体均分成几部 分 按事先确定的 规则在各部分抽取 在超始部分抽样时 用简单随机抽样 总体个数较多 分层 抽样 抽样过程中 每个个体被 抽取的概率 相等 将总体分成几层 分层进行抽取 各层抽样时采用简 单随机抽样或系统 抽样 总体由差异明 显的几部分组 成 2018 届高三数学排列 组合 概率与统计 5 准正态总体 来进行研究 0 1 N 若 只需作变换 就可使 有公式 2 N 0 1 N x F x 若 则 2 N P ab ba 14 3 原则 假设检验是就正态总体而言的 进行假设检验可归结为如下三步 提出统计假设 统计假设里的变量服从正态分布 确定一次试验中的取值是否落入范围 2 Na 3 3 做出判断 如果 接受统计假设 如果 由于这是小概率事件 3 3 a 3 3 a 就拒绝统计假设 3 原则的应用 若随机变量 服从正态分布则 落在内的概率为 2 N 3 3 99 7 亦即落在之外的概率为 0 3 此为小概率事件 如果此事件发生了 就说明 3 3 此种产品不合格 即不服从正态分布 三 典型例题三 典型例题 例 1 甲有一个放有 3 个红球 2 个白球 1 个黄球的箱子 乙也有一个放有 3 个红球 2 个白球 1 个黄球的箱子 两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色 规定同色时为甲胜 异色时为乙胜 这个 游戏规则公平吗 请说明理由 变式一 如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干个同色球 仍规定同色时为甲胜 异色时为乙胜 则他胜的概率能达到2 1 吗 变式二 如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干个任意球 仍规定同色时为甲胜 异色时为乙胜 则他胜的概率能达到2 1 吗 四 检测评估四 检测评估 1 若 5 12 2 aba b 为有理数 则ab A 45 B 55 C 70 D 80 2 用 0 到 9 这 10 个数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A 324 B 328 C 360 D 648 3 1 naxby 展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243 不含y的项的系数绝对值的和为32 则 a b n的值可能为 A 2 1 5abn B 2 1 6abn C 1 2 6abn D 1 2 5abn 4 若 20092009 012009 1 2 xaa xaxxR 则 200912 22009 222 aaa 的值为 A 2 B 0 C 1 D 2 5 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排 若男生甲不站两端 3 位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法的种数是 A 360 B 188 C 216 D 96 6 在区间 2 2 上随机取一个数 x cosx的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 A 3 1 B 2 C 2 1 D 3 2 7 考察正方体 6 个面的中心 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 6 个点中任意选两个 点连成直线 则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A 1 75 B 2 75 C 3 75 D 4 75 2018 届高三数学排列 组合 概率与统计 6 8 为了庆祝六一儿童节 某食品厂制作了3种不同的精美卡片 每袋食品随机装入一张卡片 集齐 3种卡片可获奖 现购买该种食品5袋 能获奖的概率为 A 31 81 B 33 81 C 48 81 D 50 81 9 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个 花生馅汤圆 5 个 豆沙馅汤圆 4 个 这三种汤圆的外部特征完全相同 从中任意舀取 4 个汤圆 则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 A 8 91 B 25 91 C 48 91 D 60 91 10 7 名志愿者中安排 6 人在周六 周日两天参加社区公益活动 若每天安排 3 人 则不同的安排方案 共有 种 用数字作答 11 在 323 1 1 1 xxx 的展开式中 x的系数为 用数字作答 12 用数字 0 1 2 3 4 5 6 组成没有重复数字的四位数 其中个位 十位和百位上的数字之和为 偶数的四位数共有 个 用数字作答 13 观察下列等式 153 55 22CC 15973 999 22CCC 15913115 13131313 22CCCC 1591317157 1717171717 22CCCCC 由以上等式推测到一个一般的结论 对于 nN 15941 41414141 n nnnn CCCC 14 甲 乙 丙3人站到共有7级的台阶上 若每级台阶最多站2人 同一级台阶上的人不区分站的位 置 则不同的站法种数是 用数字作答 15 4 xyy x 的展开式中 33 x y的系数为 16 某校甲 乙两个班级各有 5 名编号为 1 2 3 4 5 的学生进行投篮练习 每人投 10 次 投中的 次数如下表 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班67787 乙班67679 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s 17 本题满分 14 分 在1 2 3 9 这9个自然数中 任取3个数 I 求这3个数中恰有1个是偶数的概率 II 设 为这3个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数为1 2 3 则有两组相邻的数1 2和2 3 此时 的 值是2 求随机变量 的分布列及其数学期望E 18 某学生在上学路上要经过 4 个路口 假设在各路口是否遇到红灯