知识讲解-解三角形应用举例-提高

解三角形应用举例解三角形应用举例 学习目标学习目标 1 能够利用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题 2 提高运用所学知识解决实际问题的能力 并初步掌握数学建模的思想方法 3 掌握运用正弦定理 余弦定理解决几何计算问题的方法 学习策略学习策略 解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题 实际应用中 首先要弄清题意 画出直观示意 图 将实际问题转化为解三角形的问题 再确定是哪类解三角形问题 即应用哪个定理来解决 要点梳理要点梳理 要点一 解三角形应用题的步骤要点一 解三角形应用题的步骤 解三角形在实际中应用非常广泛 如测量 航海 几何 物理等方面都要用到解三角形的知识 解 题时应认真分析题意 并做到算法简练 算式工整 计算正确 其解题的一般步骤是 1 准确理解题意 尤其要理解应用题中的有关名词和术语 明确已知和所求 理清量与量之间的关 系 2 根据题意画出示意图 并将已知条件在图形中标出 将实际问题抽象成解三角形模型 3 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形 正确运用正弦定理和余弦定理 有顺序的求解 4 将三角形的解还原为实际问题 注意实际问题中的单位及近似计算要求 回答实际问题 要点二 解三角形应用题的基本思路要点二 解三角形应用题的基本思路 实际问题实际问题 画图 数学问题数学问题 解三角形 数学问题的解数学问题的解 检验 实际问题的解实际问题的解 要点三 实际问题中的一些名词 术语要点三 实际问题中的一些名词 术语 仰角和俯角仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方时叫仰角 目标视线在水平视线下方时叫俯角 如图所示 坡角和坡度坡角和坡度 坡面与地平面所成的角度 叫做坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者 坡比 常用 字母 i 表示 坡比是坡角的正切值 方位角与方向角 方位角与方向角 方位角 方位角 一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角 方位角的取值范围为 0 360 如图 点的方位角是 B 0 135 方向角 方向角 一般是指以观测者的位置为中心 将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所 成的角 一般指锐角 通常表达成北 南 偏东 西 多少度 如图为南偏西方向 指以正南方向为始边 向正西方向旋转 0 60 0 60 如图为北偏东方向 指从正北开始向正东方向旋转 0 30 0 30 东南方向 东南方向 指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线 依此可类推西南方向 西北方向等 要点四 解三角形应用中的常见题型要点四 解三角形应用中的常见题型 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有 1 测量距离问题 这类问题的情景一般属于 测量有障碍物相隔的两点间的距离 在测量过程中 要 根据实际需要选取合适的基线长度 测量工具要有较高的精确度 2 测量高度问题 这类问题的情景属于 测量底 顶 部不能到达的物体的高度 测量过程中 要注 意选取适量不同的测量点 使测量有较高的精确度 3 测量角度问题 这类问题的情景属于 根据需要 对某些物体定位 测量数据越精确 定位精度越 高 典型例题典型例题 类型一 类型一 距离问题距离问题 例例 1 如图 某公司要在 A B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD 其中 D 为顶端 AC 长 35 米 CB 长 80 米 设点 A B 在同一水平面上 从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 和 1 设计中 CD 是铅垂方向 若要求 2 问 CD 的长至多为多少 结果精确到 0 01 米 2 施工完成后 CD 与铅垂方向有偏差 现在实测得 38 12 18 45 求 CD 的长 结果精 确到 0 01 米 答案 1 28 28 米 2 26 93 米 思路点拨 1 这是一道关于求两点之间的距离问题 题目条件告诉了边 AC CB 的长以及以 A C 为顶点的两个 角 根据正切函数的定义及性质得到一个关于 x 的不等式 解之得到 CD 的长度 2 根据三角形的内角 和定理和正弦定理 解得 CD 的长 解析 1 设 CD 的长为 x 米 则 tan tan 35 x 80 x 2 20 tan tan2 2 tan1 tan2 tan 即 22 6400 160 6400 1 80 2 35x x x x x 解得0 28 282200 x 即 CD 的长至多为 28 28 米 2 设 DB a DA b CD m 则 ADB 180 123 43 由正弦定理得 ADBsin AB sin a 即 06 85 43 123sin 12 38sin115 a 93 2645 18cos16080 22 aam 答 CD 的长为 26 93 米 总结升华 1 此题虽为解三角形问题的简单应用 但关键是把未知边所处的三角形找到 在转换过程中应注意 排除题目中非数学因素的干扰 将数量关系从题目准确地提炼出来 2 解三角形的应用题时 通常会遇到两种情况 1 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 依次利用正弦定理或余弦定理解之 2 已知量与未知量涉及两个或几个三角形 这时需要选择条件足够的三角形优先研究 再逐步在 其余的三角形中求出问题的解 3 在研究三角形时 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案 但有些过程较繁复 如何 找到最优的方法 最主要的还是分析两个定理的特点 结合题目条件来选择最佳的计算方式 举一反三 举一反三 变式 1 如图 为测量山高 MN 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点 从 A 点测得 M 点的 仰角 MAN 60 C 点的仰角 CAB 45 以及 MAC 75 从 C 点测得 MCA 60 已知山高 BC 100m 则山高 MN m 答案 ABC 中 BAC 45 ABC 90 BC 100 AC 100 45sin 100 2 AMC 中 MAC 75 MCA 60 AMC 45 由正弦定理可得 AMCsin AC ACMsin AM 即 解得 AM 100 45sin 2100 60sin AM 3 Rt AMN 中 MN AM sin MAN 100 sin60 150 m 3 故答案为 150 变式 2 为了开凿隧道 要测量隧道上 D E 间的距离 为此在山的一侧选取适当点 C 如图 测得 CA 400m CB 600m ACB 60 又测得 A B 两点到隧道口的距离 AD 80m BE 40m A D E B 在一条直线上 计算隧道 DE 的长 答案 在 ABC 中 CA 400m CB 600m ACB 60 由余弦定理得 222 2cos60ABACBCAC BC 22 1 4006002 400 600200 7529 2 2 ABm 409 2 DEABADBEm 答 隧道长约为 409 2m 变式 3 2016 春 邢台校级期中 张晓华同学骑电动自行车以 24 km h 的速度沿着正北方向的公路 行驶 在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30 方向上 15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的 北偏东 75 方向上 则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是 A km B km C km D km2 23 23 32 3 答案 如图 由已知可得 15 246 60 AB 在 ABS 中 BAS 30 AB 6 ABS 180 75 105 ASB 45 由正弦定理可得 sin30sin45 BSAB 1 6 sin30 2 3 2 sin452 2 AB BS 故选 B 类型二 测量高度问题类型二 测量高度问题 高清课堂 高清课堂 解三角形应用举例 例 2 例例 2 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进 40 米后 望见 塔在东北方向 若沿途测得塔的最大60 仰角为 求塔高 30 思路点拨 画出空间图形后 先寻找可解的三角形 进而解目标所在三角形 解析 由上图所示 过 B 做于点 E 由题意知在 E 点测得BECD 塔的最大仰角 在 0 30 由正弦定理 得 00 CD 40 BCD 30 135BCDDBC A中中 sinsin CDBD DBCBCD 0 0 40sin30 20 2 sin135 BD 在中 Rt BEDA 0000 1801353015BDE 0 62 sin1520 210 31 4 BEBD 在中 米 Rt ABEA 0 30 AEB 0 10 tan30 33 3 ABBE 故所求塔高为米 10 33 3 总结升华 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形 在依条件结合正弦定理和余弦定 理来解 解决测量高度的问题时 常出现仰角与俯角的问题 要注意它们的区别与联系 举一反三 举一反三 变式 1 2016 绵阳校级模拟 如图 无人机在离地面高 200 m 的 A 处 观测到山顶 M 处的仰角为 15 山脚 C 处的俯角为 45 已知 MCN 60 则山的高度 MN 为 m 答案 在 Rt ABC 中 ACB DAC 45 ABC 90 AB 200 200 2AC MCN 60 ACM 180 MCN ACN 75 MAC 15 45 60 AMC 180 MAC ACM 45 在 MAC 中 由正弦定理得 即 sinsin MCAC MACAMC 200 2 32 22 MC 解得 200 3MC 3 sin 2 MN MCN MC 3 300 2 MNMC 故答案为 300 变式 2 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 沿 BE 方向前进 30m 至点 C 处测得顶 端 A 的仰角为 2 再继续前进 10m 至 D 点 测得顶端 A 的仰角为 4 求的大小和建筑物 AE 的 3 高 答案 所求角 建筑物高度为 15m 15 类型三 方位角问题类型三 方位角问题 例例 3 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在西偏北 的方向上 行驶后到达 B 处 测得此山顶在西偏北的方向上 仰角为 求此山的高度 CD 0 308 2km 0 75 0 15 思路点拨 欲求出 CD 只需在BCD 中求出 BD 或 BC 而在BCD 中先求 BC 边比较适合 或设 CD x 列方程解答 解析 方法一 方法一 在ABC 中 0 30CAB 000 753045ACB 8 2ABkm 根据正弦定理 有 A BC sinC AB sin 0 0 sin8 2sin30 8 sinsin45 ABCAB BC ACB 00 tantan158tan15168 3 CDCBDBCCBkm 方法二 方法二 设 CD x 则 0 23 tantan15 CDCD CBx DBC 根据正弦定理 有 A BC sinC AB sin 0 0 sin8 2sin30 8 sinsin45 ABCAB BC ACB 解得 即 23 8x 168 3 xkm 168 3 CDkm 总结升华 正确地画出其空间示意图是解题的关键 举一反三 举一反三 变式 1 两灯塔 A B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km 灯塔 A 在观察站 C 的北偏西 30 灯塔 B 在观察站 C 南偏西 60 则 A B 之间的距离为 答案 2kma 如图 ACBCa 0000 180306090ACB 2kmABa 变式 2 如图示 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 灯塔 A 在观察站 Cakm 的北偏东 20 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 A B C D akm3akm2akm2akm 答案 B 类型四 航海问题类型四 航海问题 高清课堂 高清课堂 解三角形的应用举例 例 3 例例 4 如图所示 在海岸 A 处 发现北偏东 45 方向 距 A 为 km 的 B 处有一艘走私船 在 A 处31 北偏西 75 方向 距 A 为 2 km 的 C 处的缉私船奉命以km h 的速度追截走私船 此时走私船正以10 3 10km h 的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜 则缉私船沿什么方向能最快追上走私船 并求出所需要的时 间 思路点拨 这里必须弄清楚三个概念 1 方位角 2 沿什么方向追 即按什么方位角航行 3 最快追上 即应理解为按直线航行 且两船所用时间相等 画出示意图 即可求出 CD 的方位角及 由 C 到 D 所需航行的时间 解析 设缉私船追上走私船需 则 t h10 3CDt 10BDt 由余弦定理 得 22 2cosBCABACAB ACBAC 82 322 31 cos 4575 6 km 由正弦定理 得 sin1202 sin 2 AC ABC BC 而 45ABC 120CBD sin10 sin1201 sin 210 3 BDCBDt BCD CDt 30BCD 30BDC 即 6 BDBCkm 106t 6 10 th 答 缉私船向东偏北方向 只需便能追上走私船 30 6 10 h 总结升华 航海问题中关键是方向角的表示 最好要参照方向坐标 准确的画出图形 举一反三 举一反三 变式 1 如图 A B 是海面上位于东西方向相距 5 3 海里的两个观3 测点 现位于 A 点北偏东 45 B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号 位于 B 点南偏西 60 且与 B 点相距 20海里的 C 点的救援船立即前往营救 3 其航行速度为 30 海里 小时 求该救援船到达 D 点需要多长时间 答案 由题意知 AB 5 3 海里 DBA 90 60 30 3 DAB 90 45 45 ADB 180 45 30 105 在 DAB 中 由正弦定理得 sinsin DBAB DABADB DB sin sin ABDAB ADB 0 0 533sin