排列组合例题与解析

排列组合例题与解析排列组合例题与解析 公式公式 r n P n n r r r n P n n r C n r n r r C n 例题分析 1 1 首首先先明明确确任任务务的的意意义义 例 1 从 1 2 3 20 这二十个数中任取三个不同的数组成 等差 数列 这样的不同等差数列有 个 分析 首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列 组合问题 设 a b c 成等差 2b a c 可知 b 由 a c 决定 又 2b 是偶数 a c 同奇或同偶 即 分别从 1 3 5 19 或 2 4 6 8 20 这十个数中选出两个数进行排列 由此就可确定等 差数列 C 2 10 2 P 2 2 90 2 2 因而本题为 360 例 2 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道 街道之间的间距相同 如图 若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进 则从M 到 N 有多少 种不同的走法 分析 对实际背景的分析可以逐层深入 一 从 M 到 N 必须向上走三步 向右走五步 共走八步 二 每一步是向上还是向右 决定了不同的走法 三 事实上 当把向上的步骤决定后 剩下的步骤只能向右 从而 任务可叙述为 从八个步骤中选出哪三步是向上走 就可以确定 走法数 本题答案为 56 2 2 分分析析是是分分类类还还是是分分步步 是是排排列列还还是是组组合合 注意加法原理与乘法原理的特点 分析是分类还是分步 是排列还是组 合 例 3 在一块并排的 10 垄田地中 选择二垄分别种植 A B 两种作物 每种种植一垄 为有利于作物生长 要求 A B 两种作物的间隔不少于 6 垄 不同的选法共有 种 分析 条件中 要求 A B 两种作物的间隔不少于 6 垄 这个条件不容 易用一个包含排列数 组合数的式子表示 因而采取分类的方法 第一类 A 在第一垄 B 有 3 种选择 第二类 A 在第二垄 B 有 2 种选择 第三类 A 在第三垄 B 有一种选择 同理 A B 位置互换 共 12 种 例 4 从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只 其中恰好有一双同色的取法 有 A 240 B 180 C 120 D 60 分析 显然本题应分步解决 一 从 6 双中选出一双同色的手套 有 6 种方法 二 从剩下的十只手套中任选一只 有 10 种方法 三 从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只 有8 种方 法 四 由于选取与顺序无关 因 二 三 中的选法重复一次 因而 共 240 种 或分步 1 从 6 双中选出一双同色的手套 有 C 1 6 6 种方法 2 从剩下的 5 双手套中任选两双 有 C 2 5 10 种方法 3 从两双中手套中分别拿两只手套 有 C 1 2 C 1 2 4 种方 法 同样得出共 1 2 3 240 种 例 5 身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列 在第一行的每一个人 都比他同列的身后的人个子矮 则所有不同的排法种数为 分析 每一纵列中的两人只要选定 则他们只有一种站位方法 因而每 一纵列的排队方法只与人的选法有关系 共有三纵列 从而有 90 种 例 6 在 11 名工人中 有 5 人只能当钳工 4 人只能当车工 另外 2 人 能当钳工也能当车工 现从 11 人中选出 4 人当钳工 4 人当车工 问共有多 少种不同的选法 分析 采用加法原理首先要做到分类不重不漏 如何做到这一点 分类 的标准必须前后统一 以两个全能的工人为分类的对象 考虑以他们当中有几个去当钳工为分 类标准 第一类 这两个人都去当钳工 有 10 种 第二类 这两人有一个去当钳工 有 100 种 第三类 这两人都不去当钳工 有 75 种 因而共有 185 种 例 7 现有印着 0 l 3 5 7 9 的六张卡片 如果允许 9 可以作 6 用 那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数 分析 有同学认为只要把 0 l 3 5 7 9 的排法数乘以 2 即为所求 但实际上抽出的三个数中有 9 的话才可能用 6 替换 因而必须分类 抽出的三数含 0 含 9 有 32 种方法 抽出的三数含 0 不含 9 有 24 种方法 抽出的三数含 9 不含 0 有 72 种方法 抽出的三数不含 9 也不含 0 有 24 种方法 因此共有 32 24 72 24 152 种方法 例 8 停车场划一排 12 个停车位置 今有 8 辆车需要停放 要求空车位 连在一起 不同的停车方法是 种 分析 把空车位看成一个元素 和 8 辆车共九个元素排列 因而共有种 停车方法 3 3 特特殊殊优优先先 特殊元素 优先处理 特殊位置 优先考虑 例 9 六人站成一排 求 1 甲 乙即不再排头也不在排尾数 2 甲不在排头 乙不在排尾 且甲乙不相邻的排法数 分析 1 按照先排出首位和末尾在排中间四位分步计数 第一类 排出首尾和末尾 因为甲乙不再首尾和末尾 那么首尾和末尾 实在其它四位数选出两位进行排列 一共有 p 4 2 12 种 第二类 由于六个元素中已经有两位排在首尾和末尾 因此中间四位是 吧剩下的四位元素进行排列 共 p 4 4 24 种 根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共 12 24 288 种 2 第一类 甲在排尾 乙在排头 有 P 4 4 种方法 第二类 甲在排尾 乙不在排头 有 3XP 4 4 种方法 第三类 乙在排头 甲不在排尾 有 3XP 4 4 种方法 第四类 甲不在排尾 乙不在排头 有 P 4 2 XP 4 4 种方法 共 P 4 4 3XP 4 4 3XP 4 4 P 4 2 XP 4 4 456 种 例 10 对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试 至区 分出所有次品为止 若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现 则这样的 测试方法有多少种可能 分析 本题意指第五次测试的产品一定是次品 并且是最后一个次品 因而第五次测试应算是特殊位置了 分步完成 第一步 第五次测试的有 C 4 1 种可能 第二步 前四次有一件正品有 C 6 1 中可能 第三步 前四次有 P 4 4 种可能 共有 576 种可能 4 4 捆捆绑绑与与插插空空 例 11 8 人排成一队 1 甲乙必须相邻 2 甲乙不相邻 3 甲乙必须相邻且与丙不相邻 4 甲乙必须相邻 丙丁必须相邻 5 甲乙不相邻 丙丁不相邻 分析 1 甲乙必须相邻 就是把甲乙 捆绑 甲乙可交换 和 7 人排 列 P 7 7 2 2 甲乙不相邻 P 8 8 P 7 7 2 3 甲乙必须相邻且与丙不相邻 先求甲乙必须相邻且与丙相邻 P 6 6 2 2 甲乙必须相邻且与丙不相邻 P 7 7 2 P 6 6 2 2 4 甲乙必须相邻 丙丁必须相邻 P 6 6 2 2 5 甲乙不相邻 丙丁不相邻 P 8 8 P 7 7 2 2 P 6 6 2 2 例 12 某人射击 8 枪 命中 4 枪 恰好有三枪连续命中 有多少种不同 的情况 分析 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻 因而这是一个插 空问题 另外没有命中的之间没有区别 不必计数 即在四发空枪之间形成 的 5 个空中选出 2 个的排列 即 P 5 2 例 13 马路上有编号为 l 2 3 10 十个路灯 为节约用电又 看清路面 可以把其中的三只灯关掉 但不能同时关掉相邻的两只或三只 在两端的灯也不能关掉的情况下 求满足条件的关灯方法共有多少种 分析 即关掉的灯不能相邻 也不能在两端 又因为灯与灯之间没有区 别 因而问题为在 7 盏亮着的灯形成的不包含两端的 6 个空中选出 3 个空放 置熄灭的灯 共 C 6 3 20 种方法 5 5 间间接接计计数数法法 1 排除法 例 14 三行三列共九个点 以这些点为顶点可组成多少个三角形 分析 有些问题正面求解有一定困难 可以采用间接法 所求问题的方法数 任意三个点的组合数 共线三点的方法数 共 76 种 例 15 正方体 8 个顶点中取出 4 个 可组成多少个四面体 分析 所求问题的方法数 任意选四点的组合数 共面四点的方法数 共 C 8 4 12 70 12 58 个 例 16 l 2 3 9 中取出两个分别作为对数的底数和真数 可组 成多少个不同数值的对数 分析 由于底数不能为 1 1 当 1 选上时 1 必为真数 有一种情况 2 当不选 1 时 从 2 9 中任取两个分别作为底数 真数 共 其中 log2 为底 4 log3 为底 9 log4 为底 2 log9 为底 3 log2 为底 3 log4 为底 9 log3 为底 2 log9 为底 4 因而一共有 53 个 3 补上一个阶段 转化为熟悉的问题 例 17 六人排成一排 要求甲在乙的前面 不一定相邻 共有多少种 不同的方法 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢 分析 一 实际上 甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称 具 有相同的排法数 因而有 360 种 二 先考虑六人全排列 其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站 位 因而前面的排法数重复了种 共 120 种 例 18 5 男 4 女排成一排 要求男生必须按从高到矮的顺序 共有多少 种不同的方法 分析 首先不考虑男生的站位要求 共 P 9 9 种 男生从左至右按从高 到矮的顺序 只有一种站法 因而上述站法重复了次 因而有 9 8 7 6 3024 种 若男生从右至左按从高到矮的顺序 只有一种站法 同理也有 3024 种 综上 有 6048 种 例 19 三个相同的红球和两个不同的 白球排成一行 共有多少种不同的 方法 分析 先认为三个红球互不相同 共种方法 而由于三个红球所占位置 相同的情况下 共有变化 因而共 20 种 6 6 挡挡板板的的使使用用 例 20 10 个名额分配到八个班 每班至少一个名额 问有多少种不同的 分配方法 分析 把 10 个名额看成十个元素 在这十个元素之间形成的九个空中 选出七个位置放置档板 则每一种放置方式就相当于一种分配方式 因而共 36 种 7 7 注注意意排排列列组组合合的的区区别别与与联联系系 所有的排列都可以看作是先取组合 再做全排列 同样 组合如补充一 个阶段 排序 可转化为排列问题 例 21 从 0 l 2 9 中取出 2 个偶数数字 3 个奇数数字 可 组成多少个无重复数字的五位数 分析 先选后排 另外还要考虑特殊元素 0 的选取 一 两个选出的偶数含 0 则有种 二 两个选出的偶数字不含 0 则有种 例 22 电梯有 7 位乘客 在 10 层楼房的每一层停留 如果三位乘客从 同一层出去 另外两位在同一层出去 最后两人各从不同的楼层出去 有多 少种不同的下楼方法 分析 一 先把 7 位乘客分成 3 人 2 人 一人 一人四组 有种 二 选择 10 层中的四层下楼有种 共有种 例 23 用数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的四位数 1 可组成多少个不同的四位数 2 可组成多少个不同的四位偶数 3 可组成多少个能被 3 整除的四位数 4 将 1 中的四位数按从小到大的顺序排成一数列 问第 85 项是什么 分析 1 有个 2 分为两类 0 在末位 则有种 0 不在末位 则有种 共 种 3 先把四个相加能被 3 整除的四个数从小到大列举出来 即先选 0 1 2 3 0 1 3 5 0 2 3 4 0 3 4 5 1 2 4 5 它们排列出来的数一定可以被 3 整除 再排列 有 4 96 种 4 首位为 1 的有 60 个 前两位为 20 的有 12 个 前两位为 21 的有 12 个 因而第 85 项是前两位为 23 的最小数 即为 2301 8 8 分分组组问问题题 例 24 6 本不同的书 1 分给甲乙丙三人 每人两本 有多少种不同的分法 2 分成三堆 每堆两本 有多少种不同的分法 3 分成三堆 一堆一本 一堆两本 一堆三本 有多少种不同的分法 4 甲一本 乙两本 丙三本 有多少种不同的分法 5 分给甲乙丙三人 其中一人一本 一人两本 第三人三本 有多少 种不同的分法 分析 1 有中 2 即在 1 的基础上除去顺序 有种 3 有种 由于这是不平均分组 因而不包含顺序 4 有种 同 3 原因是甲 乙 丙持有量确定 5 有种 例 25 6 人分乘两辆不同的车 每车最多乘 4 人 则不同的乘车方法为 分析 一 考虑先把 6 人分成 2 人和 4 人 3 人和 3 人各两组 第一类 平均分成 3 人一组 有种方法 第二类 分成 2 人 4 人各一组 有种方法 二 再考虑分别上两辆不同的车 综合 一 二 有种 例 26 5 名学生分配到 4 个不同的科技小组参加活动 每个科技小组至 少有一名学生参加 则分配方法共有 种 分析 一 先把 5 个学生分成二人 一人 一人 一人各一组 其中涉及到平均分成四组 有 C 4 3 4 种分组方法 可以看成 4 个板三个板不空的隔板法 二 再考虑分配到四个不同的科技小组 有 A 4 4 24 种 由 一 二 可知 共 96 种 练练习习 例 1 书架上放有 3 本不同的数学书 5 本不同的语文书 6 本不同的英语书 1 若从这些书中任取一本 有多少种不同的取法 2 若从这些书中取数学书 语文书 英语书各一本 有多少种不同的取法 3 若从这些书中取不同的科目的书两本 有多少种不同的取法 解 1 由于从书架上任取一本书 就可以完成这件事 故应分类 由于有 3 种书 则分为 3 类然后依据加法原理 得到的取法种数是 3 5 6 14 种 2 由于从书架上任取数学书 语文书 英语书各 1 本 需要分成 3 个步 骤完成 据乘法原理 得到不同的取法种数是 3 5 6 90 种 3 由于从书架上任取不同科目的书两本 可以有 3 类情况 数语各 1 本 数英各 1 本 语英各 1 本 而在每一类情况中又需分 2 个步骤才能完成 故应 依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是 3 5 3 6 5 6 63 种 例 2 已知两个集合 A 1 2 3 B a b c d e 从 A 到 B 建立映射 问 可建立多少个不同的映射 分析 首先应明确本题中的 这件事是指映射 何谓映射 即对 A 中的每一个 元素 在 B 中都有唯一的元素与之对应 因 A 中有 3 个元素 则必须将这 3 个元素都在 B 中找到家 这件事才完成 因此 应分 3 个步骤 当这三个步骤全进行完 一个映射就被建立了 据乘法 原理 共可建立不同的映射数目为 5 5 5 53 种 2 排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式 一是连乘积的形式 这种形式主要用于 计算 二是阶乘的形式 这种形式主要用于化简与证明 连乘积的形式 阶乘形式 等式成立 评述 这是一个排列数等式的证明问题 选用阶乘之商的形式 并利用阶乘 的性质 n n 1 n 1 可使变形过程得以简化 例 4 解方程 解 原方程可化为 解得 x 3 评述 解由排列数与组合数形式给出的方程时 在脱掉排列数与组合数的符 号时 要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及 它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前 3 排列与组合的应用题 历届高考数学试题中 排列与组合部分的试题主要是应用问题 一般都附有 某些限制条件 或是限定元素的选择 或是限定元素的位置 这些应用问题的 内容和情景是多种多样的 而解决它们的方法还是有规律可循的 常用的方法 有 一般方法和特殊方法两种 一般方法有 直接法和间接法 1 在直接法中又分为两类 若问题可分为互斥各类 据加法原理 可用分 类法 若问题考虑先后次序 据乘法原理 可用占位法 2 间接法一般用于当问题的反面简单明了 据的原理 采用排除的方法来 获得问题的解决 特殊方法 1 特元特位 优先考虑有特殊要求的元素或位置后 再去考虑其它元素或 位置 2 捆绑法 某些元素必须在一起的排列 用 捆绑法 紧密结合粘成小组 组内外分别排列 3 插空法 某些元素必须不在一起的分离排列用 插空法 不需分离的站 好实位 在空位上进行排列 4 其它方法 例 5 7 人排成一行 分别求出符合下列要求的不同排法的种数 1 甲排中间 2 甲不排两端 3 甲 乙相邻 4 甲在乙的左边 不要求相邻 5 甲 乙 丙连排 6 甲 乙 丙两两不相邻 解 1 甲排中间属 特元特位 优先安置 只有一种站法 其余 6 人任意 排列 故共有 1 720 种不同排法 2 甲不排两端 亦属于 特元特位 问题 优先安置甲在中间五个位置上任 何一个位置则有种 其余 6 人可任意排列有种 故共有 3600 种不同排法 3 甲 乙相邻 属于 捆绑法 将甲 乙合为一个 元素 连同其余 5 人 共 6 个元素任意排列 再由甲 乙组内排列 故共有 1400 种不同的排法 4 甲在乙的左边 考虑在 7 人排成一行形成的所有排列中 甲在乙左边 与 甲在乙右边 的排法是一一对应的 在不要求相邻时 各占所有排列的一半 故甲在乙的左边的不同排法共有 2520 种 5 甲 乙 丙连排 亦属于某些元素必须在一起的排列 利用 捆绑法 先将甲 乙 丙合为一个 元素 连同其余 4 人共 5 个 元素 任意排列 现由甲 乙 丙交换位置 故共有 720 种不同排法 6 甲 乙 丙两两不相邻 属于某些元素必须不在一起的分离排列 用 插空法 先将甲 乙 丙外的 4 人排成一行 形成左 右及每两人之间的五 个 空 再将甲 乙 丙插入其中的三个 空 故共有 1440 种不同的排法 例 6 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字组成无重复数字的五位数