矩形中的折叠问题

矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题 山东省枣庄市峄城区第二十八中学山东省枣庄市峄城区第二十八中学 潘歌潘歌 邮编 邮编 折叠问题 对称问题 是近几年来中考出现频率较高的一类题型 学生往往由于对折 叠的实质理解不够透彻 导致对这类中档问题失分严重 对于折叠问题 翻折变换 实质 上就是轴对称变换 对称轴是对应点的连线的垂直平分线 折叠前后图形的形状和大小不 变 位置变化 对应边和对应角相等 本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折 叠的典型问题的剖析 从中抽象出基本图形的基本规律 找到解决这类问题的常规方法 一 求角度一 求角度 例例 1 如图 把一张矩形纸片沿折叠后 点分ABCDEFCD 别落在的位置上 交于点 已知 CD EC ADG58EFG 那么 BEG 解析解析 在矩形折叠问题中 折叠前后的对应角相等来解决 在矩形折叠问题中 折叠前后的对应角相等来解决 解 解 根据矩形的性质 AD BC 有 EFG FEC 58 再由 折叠可知 FEC C EF 58 由此得 BEG 64 例例 2 2 将一张长方形纸片按如图的方式折叠 其中 BC BD 为 折痕 折叠后 BG 和 BH 在同一条直线上 CBD 度 解析解析 折叠前后的对应角相等 解 解 BC BD 是折痕 所以有 ABC GBC EBD HBD 则 CBD 90 二 求线段长度二 求线段长度 例例 3 如图 矩形纸片 ABCD 中 AB 4 AD 3 折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合 得折痕 DG 求 AG 的长 解析解析 根据对称的性质得到相等的对应边和对应角 再在 直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可 解 解 由勾股定理可得 BD 5 由对称的性质得 ADG A DG 由 A D AD 3 AG AG 则 A B 5 3 2 在 Rt A BG 中根据勾股定理 列 方程可以求出 AG 的值 例例 4 如图 四边形 ABCD 为矩形纸片 把纸片 ABCD 折叠 使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处 折痕为 AF 若 CD 6 则 AF 等于 A B C D 8 343324 解析解析 在矩形折叠问题中 求折痕等线段长度时 往往利用轴对 称性转化相等的线段 再借助勾股定理构造方程来解决 解 解 由折叠可知 AE AB DC 6 在 Rt ADE 中 AD 6 DE 3 由勾股定理 得 AD 设 EF x 则 FC 33x 33 在 Rt EFC 中由勾股定理求得 x 则 EF 在 Rt AEF 中 由勾股定理得3232 A B C D E F A B E C D F G C D G A C AB D AF 故选 A 34 三 求图形面积三 求图形面积 例例 5 如图 3 1 所示 将长为 20cm 宽为 2cm 的长方形白纸条 折成图 3 2 所示的图形 并在其一面着色 则着色部分的面积为 A B C D 2 34cm 2 36cm 2 38cm 2 40cm 解析 解析 折叠后重合部分为直角三角形 解 解 重合部分其面积为 因此着色部分的面积 长方形纸条面积 两2 2 1 22 个重合部分三角形的面积 即 20 2 2 2 36 故选 B 2 cm 例例 6 如图 沿矩形 ABCD 的对角线 BD 折叠 点 C 落在点 E 的位置 已知 BC 8cm AB 6cm 求折叠后重合部分的面积 解析解析 重合部分是以折痕为底边的等腰三角形 解 解 点 C 与点 E 关于直线 BD 对称 1 2 AD BC 1 3 2 3 FB FD 设 FD x 则 FB x FA 8 x 在 Rt BAF 中 BA2 AF2 BF2 62 8 x 2 x2 解得 x 25 4 所以 阴影部分的面积 S FBD FD AB 6 cm2 1 2 1 2 25 4 75 4 四 数量及位置关系四 数量及位置关系 例例 7 如图 将矩形纸片沿对角线折叠 点落在点ABCDBDC 处 交于点 连结 EBEADFAE 证明 1 BFDF 2 AEBD 解析解析 1 欲证明 BF DF 只需证 FBD FDB 2 欲证明 则需证 由折叠可知AEBD AEBDBE DC ED AB BC BE AD 又因为 AE AE 得 AEB EAD 所以 AEB EAD 所以 AEB 180 AFE 而 DBE 180 BFD 2 1 2 1 因此 AEBDBE 解 解 1 由折叠可知 FBD CBD 因为 AD BC 所以 FDB CBD 所以 图 3 1 图 1 1 图 3 2 A B C D E F 3 2 1 F E D C B A FBD FDBBFDF 2 因为四边形 ABCD 是矩形 所以 AB DC AD BC 由折叠可知 DC ED AB BC BE AD 又因为 AE AE 所以 AEB EAD 所以 AEB EAD 所以 AEB 180 AFE 2 1 而 DBE 180 BFD AFE BFD 所以 所以 AE BD 2 1 AEBDBE 例例 8 如图 将一个边长为 1 的正方形纸片 ABCD 折叠 使点 B 落在边 AD 上 不与 A D 重合 MN 为折痕 折叠后 B C 与 DN 交于 P 1 连接 BB 那么 BB 与 MN 的长度相等吗 为什么 2 设 BM y AB x 求 y 与 x 的函数关系式 3 猜想当 B 点落在什么位置上时 折叠起来的梯形 MNC B 面 积最小 并验证你的猜想 解析解析 对折前后图形的位置变化 但形状 大小不变 要注 意构造全等三角形 解 解 1 BB MN 过点 N 作 NH BC 交 AB 于点 H 证 ABB HNM 2 MB MB y AM 1 y AB x 在 Rt ABB 中 BB AB2 AB 21 x2 因为点 B 与点 B 关于 MN 对称 所以 BQ B Q 则 BQ 1 2 1 x2 由 BMQ BB A 得 BM BA BQ BB y 1 2 1 x2 1 x2 1 2 1 x2 3 梯形 MNC B 的面积与梯形 MNCB 的面积相等 由 1 可知 HM AB x BH BM HM y x 则 CN y x 梯形 MNCB 的面积为 y x y 1 2y x 2 x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x2 x 2 1 2 1 2 3 8 当 x 时 即 B 点落在 AD 的中点时 梯形 MNC B 的面积有最小值 且最小值是 1 2 3 8 五 判断图形形状五 判断图形形状 例例 9 将一张矩形纸条 ABCD 按如图所示折叠 若折叠角 FEC 64 则 1 度 EFG 的形状 三角形 解析解析 对折前后图形的位置变化 但形状 大小不变 注意一般情况下要画出对折前后的图形 便于寻找对折前后 图形之间的关系 注意以折痕为底边的等腰 GEF 解 解 四边形 CDFE 与四边形 C D FE 关于直线 EF 对 称 2 3 64 4 180 2 64 52 5 4 1 3 2 G D F C D BC A E P C N BC AD M B Q P H C N BC AD M B F E D A BC AD BC 1 4 52 2 5 又 2 3 3 5 GE GF EFG 是等腰三角形 例例 10 如图 把矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠 点 B 落在点 E 处 EC 与 AD 相交于点 F 1 求证 FAC 是等腰三角形 2 若 AB 4 BC 6 求 FAC 的周长和面积 解析解析 对折前后图形的位置变化 但形状 大小不变 注 意一般情况下要画出对折前后的图形 便于寻找对折前后图形之间的关系 1 证明 由题意可知 ABC ACD ACE 所以 DAC ACE 所以 FAC 是等腰三角形 2 解 设 CF AF x 且 AD BC 6 CD AB 4 Rt CDF 中 DF AD AF 6 x 由勾股定理得 6 x 222 4 6 xx 13 3 x 5 3 Rt ABC 中 AC 2 13 FAC 的周长 26 3 2 13 FAC 的面积 ACD 的面积 CDF 的面积 26 3 六 连续折叠的规律六 连续折叠的规律 例例 11 如图 矩形纸片 ABCD 中 AB BC 第一次将纸片折叠 使点 B 与 610 点 D 重合 折痕与 BD 交于点 O1 O1D 的中点为 D1 第二次将纸片折叠使点 B 与点 D1重 合 折痕与 BD 交于点 O2 设 O2D1的中点为 D2 第三次将纸片折叠使点 B 与点 D2重合 折痕与 BD 交于点 O3 按上述方法 第 n 次折叠后的折痕与 BD 交于点 On 则 BO1 BOn 解析解析 问题中涉及到的折叠从有限到无限 要明白每一次折叠中的变与不变 充分 展示运算的详细过程 在找规律时要把最终的结果写成一样的形式 观察其中的变与不变 特别是变化的数据与折叠次数之间的关系 解 解 第一次折叠时 点 O1是 BD 的中点 则 BO1 DO1 第二次折叠时 点 O2是 BD1的中点 则 BO2 D1O2 第三次折叠时 点 O3是 BD2的中点 则 BO3 D2O3 因为 AB BC 所以 BD 4 610 第一次折叠后 有 BO1 DO1 BO1 2 第二次折叠后 有 BO2 D1O2 B