2012年高考数学《圆锥曲线于方程》专题 椭圆学案

1 第第 1 1 课时课时 椭圆椭圆 1 椭圆的两种定义 1 平面内与两定点 F1 F2的距离的和等于常数 大于 21F F 的点的轨迹叫椭圆 这两个定点 叫做椭圆的 之间的距离叫做焦距 注 当 2a F1F2 时 P 点的轨迹是 当 2a F1F2 时 P 点的轨迹不存在 2 椭圆的第二定义 到 的距离与到 的距离之比是常数e 且 e 的点的轨迹叫椭圆 定点 F 是椭圆的 定直线l是 常数e是 2 椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上 中心在原点的椭圆标准方程是 1 2 2 2 2 b y a x 其中 0 且 2 a 2 焦点在y轴上 中心在原点的椭圆标准方程是1 2 2 2 2 b x a y 其中a b满足 3 焦点在哪个轴上如何判断 3 椭圆的几何性质 对1 2 2 2 2 b y a x a b 0 进行讨论 1 范围 x y 2 对称性 对称轴方程为 对称中心为 3 顶点坐标 焦点坐标 长半轴长 短半轴长 准线方程 4 离心率 e 与 的比 e e越接近 1 椭圆越 e越接近 0 椭圆越接近于 5 焦半径公式 设 21 F F分别为椭圆的左 右焦点 00 yxP是椭圆上一点 则 1 PF 12 2PFaPF 4 焦点三角形应注意以下关系 老师补充画出图形 1 定义 r1 r2 2a 2 余弦定理 2 1 r 2 2 r 2r1r2cos 2c 2 3 面积 21F PF S 2 1 r1r2 sin 2 1 2c y0 其中 P 00 y x 为椭圆上一点 基础过关基础过关 2 PF1 r1 PF2 r2 F1PF2 变式训练 2 已知P x0 y0 是椭圆1 2 2 2 2 b y a x a b 0 上的任意一点 F1 F2是焦点 求证 以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切 证明 设以PF2为直径的圆心为A 半径为r F1 F2为焦点 所以由椭圆定义知 PF1 PF2 2a PF2 2r PF1 2r 2a 即 PF1 2 a r 连结OA 由三角形中位线定理 知 OA 2 2 1 2 1 1 raraPF 故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切 评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理 使题目得证 例 3 如图 椭圆的中心在原点 其左焦点 1 F与抛物线 2 4yx 的焦点重合 过 1 F的直线 l与椭圆交于A B两点 与抛物线交于C D两点 当直线l与x轴垂直时 2 2 CD AB 1 求椭圆的方程 2 求过点 O 1 F 并且与椭圆的左准线相切的圆的方程 3 求 22 F A F B 的最大值和最小值 解 1 由抛物线方程 得焦点 1 1 0 F 设椭圆的方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 解方程组 2 4 1 yx x 得C 1 2 D 1 2 由于抛物线 椭圆都关于x轴对称 1 1 2 2 FCCD F AAB 1 2 2 F A 2 1 2 A 2 分 22 11 1 2ab 又1 222 cba 因此 22 11 1 12bb 解得 2 1b 并推得 2 2a 典型例题典型例题 3 故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 2 2 1 1abc 圆过点 O 1 F 圆心 M 在直线 1 2 x 上 设 1 2 Mt 则圆半径 由于圆与椭圆的左准线相切 13 2 22 r 由 OMr 得 22 13 22 t 解得2 t 所求圆的方程为 22 19 2 24 xy 8 分 3 由 12 1 0 1 0 FF 点 若AB垂直于x轴 则 2 2 1 2 2 1 BA 22 22 2 2 22 F AF B 22 17 4 22 F A F B 9 分 若AB与x轴不垂直 设直线AB的斜率为k 则直线AB的方程为 1 xky 由 022 1 22 yx xky 得 0 1 24 21 2222 kxkxk 088 2 k 方程有两个不等的实数根 设 11 yxA 22 yxB 2 2 21 21 4 k k xx 2 2 21 21 1 2 k k xx 11 分 1 1 222112 yxBFyxAF 4 1 1 1 1 1 1 21 2 21212122 xxkxxyyxxBFAF 2 21 2 21 2 1 1 1 kxxkxxk 2 2 2 2 2 2 2 1 21 4 1 21 1 2 1 k k k k k k k 21 2 9 2 7 21 17 22 2 kk k 1 21 1 0 121 0 2 22 k kk 2 7 1 22 BFAF 所以当直线l垂于x轴时 BFAF 22 取得最大值 2 7 当直线l与x轴重合时 BFAF 22 取得最小值1 变式训练 3 在平面直角坐标系xOy中 已知点A 1 0 B 1 0 动点C满足条件 ABC的周长为 2 2 记动点C的轨迹为曲线W 2 1 求W的方程 2 经过点 0 且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q 2 求k的取值范围 3 已知点M 0 N 0 1 在 的条件下 是否存在常数k 使得向量 2 OPOQ 与MN 共线 如果存在 求出k的值 如果不存在 请说明理由 解 设C x y 22 2ACBCAB 2AB 2 22ACBC 由定义知 动点C的轨迹是以A B为焦点 长轴长为 2的椭圆除去与x轴的两个交点 2 2 1ac 222 1bac W 2 2 1 2 x y 0 y 2 设直线l的方程为2ykx 代入椭圆方程 得 2 2 2 1 2 x kx 整理 得 22 1 2 210 2 kxkx 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 222 1 84 420 2 kkk 解得 2 2 k 或 2 2 k 5 y x O C B A M F 满足条件的k的取值范围为 22 22 k 3 设P x1 y1 Q x2 y2 则OPOQ x1 x2 y1 y2 由 得 12 2 4 2 12 k xx k 又 1212 2 2yyk xx 因为 2 0 M 0 1 N 所以 2 1 MN 所以OPOQ 与MN 共线等价于 1212 xxyy 2 将 代入上式 解得 2 2 k 所以不存在常数k 使得向量OPOQ 与MN 共线 例 4 已知椭圆 W 的中心在原点 焦点在x轴上 离心率为 6 3 两条准线间的距离为 6 椭 圆 W 的左焦点为F 过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆 W 交于不 同的两点A B 点A关于x轴的对称点为C 1 求椭圆 W 的方程 2 求证 CFFB R 3 求MBC 面积S的最大值 解 1 设椭圆 W 的方程为 22 22 1 xy ab 由题意可知 222 2 6 3 26 c a abc a c 解得6a 2c 2b 所以椭圆 W 的方程为 22 1 62 xy 4 分 2 解法 1 因为左准线方程为 2 3 a x c 所以点M坐标为 3 0 于是可设直线l 的方程为 3 yk x 6 22 3 1 62 yk x xy 得 2222 1 3 182760kxk xk 由直线l与椭圆 W 交于A B两点 可知 2222 18 4 1 3 276 0kkk 解得 2 2 3 k 设点A B的坐标分别为 11 x y 22 xy 则 2 12 2 18 1 3 k xx k 2 12 2 276 1 3 k x x k 11 3 yk x 22 3 yk x 因为 2 0 F 11 C xy 所以 11 2 FCxy 22 2 FBxy 又因为 1221 2 2 xyxy 1221 2 3 2 3 xk xxk x 1212 25 12 kx xxx 22 22 541290 12 1 31 3 kk k kk 222 2 5412901236 0 1 3 kkkk k 所以CFFB 10 分 解法 2 因为左准线方程为 2 3 a x c 所以点M坐标为 3 0 于是可设直线l的方程为 3 yk x 点A B的坐标分别为 11 x y 22 xy 则点C的坐标为 11 xy 11 3 yk x 22 3 yk x 由椭圆的第二定义可得 22 11 3 3 xyFB FCxy 所以B F C三点共线 即CFFB 10 分 7 3 由题意知 12 11 22 SMFyMFy 12 1 2 MFyy 12 1 6 2 k xxk 2 3 1 3 k k 333 1 22 3 3 k k 当且仅当 2 1 3 k 时 成立 所以MBC 面积S的最大值为 3 2 变式训练 4 设 1 F 2 F分别是椭圆 22 1 54 xy 的左 右焦点 1 若 P 是该椭圆上的一个动点 求 21 PFPF 的最大值和最小值 2 是否存在过点 A 5 0 的直线l与椭圆交于不同的两点 C D 使得 F2C F2D 若 存在 求直线l的方程 若不存在 请说明理由 解 1 易知 0 1 0 1 1 2 5 21 FFcba 设 P x y 则1 1 1 22 21 yxyxyxPFPF 3 5 1 1 5 4 4 222 xxx 5 5 x 0 x当 即点 P 为椭圆短轴端点时 21 PFPF 有最小值 3 当5 x 即点 P 为椭圆长轴端点时 21 PFPF 有最大值 4 2 假设存在满足条件的直线l易知点 A 5 0 在椭圆的外部 当直线l的斜率不存在时 直线l与椭圆无交点 所在直线l斜率存在 设为 k 直线l的方程为 5 xky 由方程组 22 2222 1 54 50125200 54 5 xy kxk xk yk x 得 8 依题意 2 55 20 1680 0 55 kk 得 当 5 5 5 5 k时 设交点 C 2211 yxDyx CD 的中点为 R 00 yx 则 45 25 2 45 50 2 2 21 0 2 2 21 k kxx x k k xx 45 20 5 45 25 5 22 2 00 k k k k kxky 又 F2C F2D 1 2 2 RF kklRF 1 204 20 45 25 1 45 20 0 2 2 2 2 2 2 k k k k k k kkk RF 20k2 20k2 4 而 20k2 20k2 4 不成立 所以不存在直线l 使得 F2C F2D 综上所述 不存在直线l 使得 F2C F2D 1 在解题中要充分利用椭圆的两种定义 灵活处理焦半径 熟悉和掌握a b c e关系及 几何意义 能够减少运算量