2012年高考数学考前15天模拟解析分类汇编 专题三 二次函数和指数函数

1 20122012 年高考数学考前年高考数学考前 1515 天模拟解析分类汇编天模拟解析分类汇编 高考预测高考预测 1 二次函数的图象和性质的应用 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 3 函数的应用 4 二次函数闭区间上的最值的问题 5 三个 二次 的综合问题 6 含参数的对数函数与不等式的综合问题 易错点点睛易错点点睛 易错点易错点 1 1 二次函数的图象和性质的应用二次函数的图象和性质的应用 1 2012 模拟题精选 已知向量 a x2 x 1 b 1 x t 若函数 f x ab 在区间 1 1 上是增函数 求 t 的取值范围 错误答案错误答案 依定义 f x x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t 则 f x 3x2 2x t 若 f x 在 1 1 上是增函数 则在 1 1 上恒有 f 0 t 3x2 2x 在区间 1 1 上 恒成立 设 g x 3x2 2x 3 x 3 1 2 3 1 当 x 3 1 时 g x min 3 1 t 3 1 即 t 的取值范围是 3 1 错解分析错解分析 上面解答由 t 3x2 2x 在区间 1 1 上恒成立得 t 大于或等于 3x2 2x 的最小值是错误的 因为若 t g x min只能说存在一个 x 的值能使 t 3x2 2x 成立 但 不能保证 x 在 1 1 上的每一个值都能使 t 3x2 2x 成立 因而 t 应大于或等于 g x 在 1 1 上的最大值 正确解答正确解答 解法 1 依定义 f x x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t 则 f x 3x2 2x t 1 1 上是增函数 则 f x 3x2 2x t 0 在 1 1 上恒成立 即 t 3x2 2x 在 1 1 上恒成立 设 g x 3x2 2x 3 x 3 1 2 3 1 对称轴为 x 3 1 g x 0 即 f x 在 2 1 1 上是增函数 故 t 的取值范围是 5 2 2012 模拟题精选 已知函数 f x ax 2 3 x2的最大值不大于 6 1 又当 x 2 1 4 1 时 f x 8 1 1 求 a 的值 2 设 0 a1 2 1 an 1 f an n N 证明 an 1 1 n 错误答案错误答案 第 1 问 f x ax 2 3 x2 2 3 x 3 1 a 2 6 2 a 6 2 a 6 1 即 a2 1 1 a 1 又当 x 2 1 4 1 时 f x 8 1 即 f x 8 1 在 2 1 4 1 上恒成立 8 1 f x 在 2 1 4 1 上的 最小值为 f 4 1 f 4 1 8 1 即a a 8 1 32 3 4 8 7 综合 知 8 7 a 1 错解分析错解分析 上面解答错在 f x 在 2 1 4 1 的最小值的计算上 由 得 1 a 1 3 a 3 1 3 1 对称轴 x 3 a 离端点 2 1 较远 因此 f x 的最小值应是 f 2 1 而不是 f 4 1 3 假设 n k k 2 时 不等式 0 ak 1 1 k 成立 因为 f x x 2 3 x2的对称轴 x 3 1 知 f x 在 0 3 1 上为增函数 所以 0 ak 1 1 k 3 1 得 0 f ak f 1 1 k 于是有 0 ak 1 2x 的解集为 1 3 1 若方程 f x 6a 0 有两个相等的根 求 f x 的解 2 若 f x 的最大值为正数 求 a 的取值范围 错误答案错误答案 1 设 f x ax2 bx c a 0 解得 0 2 3或 2 3 a 0 故当 f x 的最大值为正数时 实数 a 的取值范围是 2 3 2 3 0 错解分析错解分析 上面解答由 f x 2x 0 的解集为 1 3 忽视了隐含条件 a 0 所 以 1 应舍去 a 1 另外第 2 问若没有 a 0 这个条件 也不能说 f x 的最大值是 a aa14 2 从而很不容易求得 a 的范围 正确解答正确解答 1 f x 2x 0 的解集为 1 3 f x 2 a x 1 x 3 且 a 0 因而 f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程 f x 6a 0 得 ax2 2 4a x 9a 0 因为方程 有两个相等的根 2 4a 2 4a 9a 0 即 5a2 4a 1 0 解得 a 1 4 或 a 5 1 由于 a 0 舍去 a 1 将 a 5 1 代入 得 f x 的解析式为 f x 5 1 x2 5 6 x 5 3 2 由 f x ax2 2 1 2a x 3a a x 2 21a 2 a aa14 2 及 a 0 可得 f x 的最大值为 a aa14 2 由 0 0 14 2 a a aa 解得 a 2 3或 2 3 af 0 f 2 B f 2 f 2 0 C f 0 f 2 f 2 D f 2 f 0 f 2 答案 B 解析 由 f 1 x f x 得 f x 的对称轴 x 2 1 b 1 f 2 2 c f 2 6 c f 0 c f 2 f 2 f 0 2 若函数 y x2 2x 3 在闭区间 0 m 上有最大值为 3 最小值为 2 则 m 的取值范围是 答案 1 2 解析 y x 1 2 2 是以直线 x 1 为对称轴开口向上 其最小值为 2 的抛 物线 又 f 0 3 结合图象易得 2 m 1 m 的取值范围是 1 2 3 设函数 f x ax2 bx 1 1 b R 1 若 f 1 0 则对任意实数均有 f x 0 成立 求 f x 的表达式 答案 解析 1 f 1 0 a b 1 0 b a 1 又 对任意实数均有 f x 0 成立 2 1 04 1 0 04 0 22 b a aa a ab a f x x2 2x 1 2 在 1 的条件下 当 x 2 2 时 g x xf x kx 是单调递增 求实数 k 的取值 5 范围 答案 g x xf x kx x x2 2x 1 kx x3 2x2 1 k x g x 3x2 4x 1 k 0 在 2 2 上恒成立 g x 在 2 2 上的最小值 g x 3 1 0 3 2 k 4 已知二次函数 f x lga x2 2x 4lga 的最大值为 3 求 a 的值 答案 解析 原函数式可化为 f x lgaa aa xlg4 lg 1 lg 1 2 由已知 f x 有最大值 3 lga 0 并且 3 lg4 lg 1 a a 整理得 4 lga 2 3lga 1 0 解得 lga 1 lga 10 10004 10 4 1 lg 0 lg 4 1 4 1 aaa故取 易错点易错点 2 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用指数函数与对数函数的图象和性质的应用 1 2012 模拟题精选 函数 y e lnx x 1 的图像大致是 错误答案错误答案 选 A 或 B 或 C 错解分析错解分析 选 A 主要是化简函数 y e lnx x 1 不注意分 x 1 和 x 1 两种情况 讨论 6 数 认为 y log2x 和 y cos2x 在 0 1 上是凸函数 其实 y cos2x 在 0 4 是凸函数 在 4 1 是凹函数 正确解答正确解答 B 根据条件 当 0 x1 x2 2 21 xfxf 恒成立知 f x 在 0 1 上是凸函数 因此只有 y log2x 适合 y 2x和 y x2在 0 1 上是函数 y cos2x 在 0 4 是凸函数 但在 4 1 是凹函数 故选 B 3 2012 模拟题精选 若函数 f x loga 2x2 x a 0 且 a 1 在区间 0 2 1 内恒有 f x 0 则 f x 的单调递增区间为 A 4 1 B 4 1 C 0 D 2 1 错误答案错误答案 选 A 或 C 7 错误答案错误答案 1 由 y f x ln ex a 得 x ln ey a f 1 x ln ex a x lna f x ln ex a ae e x x 2 由 m f 1 x ln f x 0 得 ln ae e x x ln ex a m ln ex a ln ae e x x 在 ln 3a ln 4a 上恒成立 设 h x ln ex a ln ae e x x S x ln ae e x x ln ex a 即 m h x mni 且 m S x max S x h x ln ex a ln 1 x e a 在 ln 3a ln 4a 上是增函数 h x min ln 2a ln 3 4 ln 3 8 a S x max ln 3a ln 4 5 ln 5 12 a ln 5 12 a mlna f x ae e x x 8 即 5 12 a em 3 8 a 于是 得 ln 5 12 a m ln 5 8 a 解法 2 由 m f 1 x ln f x 0 得 ln ex a ln ex a x m ln ex a ln ex a x 设 x ln ex a ln ex a x r x ln ex a ln ex a x 于是原不等式对于 x ln 3a ln 4a 恒成立等价于 x m r x 由 x ae e ae e x x x x 1 ae e ae e xr x x x x 1 注意到 0 ex a ex0 r x 0 从而可知 x 与 r x 均在 ln 3a h 4a 上单调递增 因此不等式 成立 当且仅当 ln 4a m r ln 3a 即 ln 5 12 a m ln 3 8 a 特别提醒特别提醒 论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时 首先要弄清复合函数的构成 然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决 注意不可忽视定义域 忽视指数和对数的 底数对它们的图像和性质起的作用 变式探究变式探究 1 已知函数 f x e2 1 ex e2 x x 1 其中 e 为自然对数的底数 则 A f 1 2 1 f 1 2 3 B f 1 2 1 f 1 2 3 C f 1 2 3 0 恒成立 解析 1 当 a 1 时 只要 1 1 2 1 x a 即 2 1 02 1 2 1 0 2 1 a a xx a 与 1 矛盾 2 当 0 a 1 时 设 g x 1 2 1 x a 只要 0 g x 1 a 2 1 时 g x 1f x 0 不能使 f x 恒为正 当 0 a 2 1 时 2 1 01 2 1 1 0 1 02 1 矛盾与解得只要是增函数 aa g g xg a 当 3 2 2 1 3 2 2 1 1 1 0 2 0 2 1 1 2 1 aa g g xg a a综上所述解得只要是减函数时 易错点易错点 3 3 函数的应用函数的应用 1 2012 模拟题精选 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别 为 10 x 10 时 获得最大利润 L 0 15 102 3 06 10 30 45 6 万元 选 B 2 甲方是一农场 乙方是一工厂 由于乙方生产须占用甲方的资源 因此甲方有权 向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入 在乙方不赔付甲方的情况下 乙方的年利 润 x 元 与年产量 t 吨 满足函数关系 x 2000t 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S 元 以下称 S 为赔付价格 1 将乙方的年利润 W 元 表示为年产量 t 吨 的函数 并求出乙方获得最大利润的年 产量 2 甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额 y 0 002t2 在乙方按照获得最大利润的 产量进行生产的前提下 甲方要在索赔中获得最大净收入 应向乙方要求的赔付价格 S 是 多少 错误答案错误答案 1 因为赔付价格为 S 元 吨 所以乙方的实际利润为 W 2000t St 2000 St S 2000 t S 2 2 2000 tt 10003S 当且仅当 t 2000 t 即 t 106 吨 时 W 取得最大值 2 设甲方净收入为 v 元 则 v St 0 002t2 将 t 106代入上式 v 106S 1012 0 002 106 S 2 103 11 v 在 0 上是增函数 即 S 越大 v 越大 故甲方要在索赔中获得最大净收入 应向乙方要求的赔付价格 S 是任意大的数字 错解分析错解分析 上面解答主要在第 1 问求 w 的最值时 变形出了错误 即由 w 2000 t St St 2000 t 正确的变形为 w 2000t St St S 2000 t 这一步出错导 致后 面结果都是错误的 由 w t 1000 S t tS 1000 令 w 0 得 t t0 S 1000 2 当 t0 当 t t0时 w 0 所以 t t0时 w 取得最大值 因此乙方取得最大年利润的年产量 t0 S 1000 2吨 设甲方净收入为 v 元 则 v St 0 002t2 将 t S 1000 2代入上式 得到甲方净收入 v 与赔付价格 S 之间的函数关系式 v S 2 1000 4 3 10002 S 又 v 5 32 5 3 2 3 8000 1000100081000 S S SS 令 v 0 得 S 20 当 S0 当 S 20 时 v 0 S 20 时 v 取得最大值 因此甲方向乙方要求赔付价格 S 20 元 吨 时 获得最大净收入 12 3 2012 模拟题精选 某段城铁线路上依次有 A B C 三站 AB 5km BC 3km 在列车 运行时刻表上 规定列车 8 时整从 A 站发车 8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟 8 时 12 分 到达 C 站 在实际运行时 假设列车从 A 站正点发车 在 B 站停留 1 分钟 并在行驶时以 同一速度 vkm h 匀速行驶 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对 值称为列车在该站的运行误差 1 分别写出列车在 B C 两站的运行误差 2 若要求列车在 B C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟 求 v 的取值范围 错解分析错解分析 上述解答错在单位不统一 应将速度 v km h 化为 v 60km 分 由于 一开始出现错误 导致后面结果全是错误的 正确解答正确解答 1 列车在 B C 两站的运行误差 单位 分钟 分别是 v 300 7 和 v 480 11 2 由于列车在 B C 两站的误差之和不超过 2 分钟 v 300 7 v 480 11 2 当 0 v 7 300 时 式变形为 v 300 7 v 480 11 2 解得 39 v 7 300 当 7 300 v 11 480 式变形为 7 v 300 v 480 11 2 解得 7 300 11 480 时 式变形为 7 v 300 11 v 480 2 解得 11 480 v 4 195 综上所述 v 的取值范围是 39 4 195 4 2012 模拟题精选 某人在一山坡 P 处观看对面山崖顶上的一座铁塔 如图所示 塔及所在的山崖可视为图中的竖直线 OC 塔高 BC 80 米 山高 OB 220 米 OA 200 米 图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上 l 与水平地面的夹角为 tan 2 1 试问 设此人距山崖的水平距离为 x 则 P x 2 200 x x 200 由经过两点的直线的斜率公式 kPC x x 300 2 200 2 800 x x kPB x x 2 640 由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得 tan BPC 640160288 64 2 640 2 800 1 2 160 1 2 xx x x x x x x kk kk PCPB PCPB 14 设 u 200 640160288 64 2 x xx x ux2 288u 64 x 160 640u 0 u 0 x R 288u 64 2 4 160 640u2 0 解得 u 2 当 u 2 时 x 320 即此人距山崖 320 米时 观看铁塔的视角 BPC 最大 错解分析错解分析 上述解答过程中利用 x R 由判别式法求 u 的最大值是错误的 因为 x 200 即由判别式求得 u 的最大值 还必须检验方程 的根在 200 内 设此人距山崖的水平距离为 x 则 P x 2 200 x x 200 由经过两点的直线的斜 率公式 kPC x x x x 2 800 300 2 200 kPB x x x x 2 640 220 2 200 由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得 tan BPC x x x x x kk kk PCPB PCPB 2 640 2 800 1 2 1 200 288 640160 64 640160288 64 2 x x x xx x 要使 tan BPC 达到最大 只须 x 288 640160 x 达到最小 由均值不等式 15 x 288 640160 x 2288640160 当且仅当 x x 640160 时上式取得等号 故当 x 320 时 tan BPC 最大 由此实际问题知 0 BPC5 时 f x 12 0 25x 12 1 255 时 12 0 25x 0 5 x 48 综合得 0 1 x 48 即生产量在 10 件到 4800 件不亏本 特别提醒特别提醒 与函数有关的应用题经常涉及到物价 路程 产值 环保 税收 市场信息等实际问 题 也可涉及角度 面积 体积 造价的最优化问题 解答这类问题的关键是建立相关函 数的解析式 然后应用函数知识加以解决 在求得数学模型的解后应回到实际问题中去 看 是否符合实际问题 变式探究变式探究 1 把长为 12cm 的细铁丝截成两段 各自围成一个正三角形 那么这两个正三角形面 积之和的最小值是 A 3 2 3 cm2 B 4cm2 C 32c m2 D 23cm2 答案 D 解析 S 3236 18 3 6 36 6 18 3 7212 36 32 60sin 3 12 2 1 60sin 3 2 1 min 22 2 2 Sxxxx xx 时 2 将一张 2mx6m 的硬钢板按图纸的要求进行操作 沿线裁去阴影部分 把剩余部分按 要求焊接成一个有盖的长方体水箱 其中 与 与 分别是全等的矩形 且 设水箱的高为 xm 容积为 ym3 1 求 y 关于 x 的函数关系式 17 答案 依题意 长方体水箱长 22 3 2 26 xmmxmx x 高为宽为 故水箱容积 y 3 x 2 2x x 又 0 1 0022 03 x xx x y 关于 x 的函数关系式为 y 2x 1 x 3 x 0 x0 当 1 3 74 时 xy 3 74 0取最大值时当yx 因此把水箱的高设计成m 3 74 时 水箱装的水最多 4 某车间有工人 30 人 现有生产任务 加工 A 型零件 100 个 B 型零件 50 个 在单 位时间内 每个工人若加工 A 型零件能完成 10 个 若加工 B 型零件能完成 7 个 问这 30 名工人应如何分组 才能使任务完成得 最快 答案 解 设加工 A 型零件的一组工人数为 x 则加工 B 型零件的另一组工人数为 30 x 由题意加工 100 个 A 型零件所需的时间为 p x 10 100 x 加工 50 个 B 型零件所需的时间为 18 30 7 50 x xq 令 p x q x 2 1 17 307 50 10 100 x xx 解得 当 x xpxq 时 2 1 当 0 xq x 当 0 xq x 3018 30 7 50 171 10 x x x x xy 考虑到人数必须是整数 分别考虑 p 17 和 q 18 p 17 595 0 127 50 18 588 0 1710 100 q 即 p 17 b c a 0 c 0 从而 b2 4ac 0 即函数 f x 与 g x 的图像交于不同的 两点 2 c a b a b c 即 a c a b 得 2a b a b b c b a c 得 a a c c a c 2 2 1 设 A1B1 2 h a c 4 2 1 a c 2 4 3 的对称轴为 x 2 1 h a c 在 a c 2 2 1 上是减函 数 A1B1 2 3 12 得 A1B1 32 3 难点难点 2 2 三个三个 二次二次 的综合问题的综合问题 1 已知二次函数 f x ax2 bx 1 a b R 且 a 0 设方程 f x x 的两个实根为 x1 和 x2 1 如果 x1 2 x2 1 2 如果 x1 2 x2 x1 2 求 b 的取值范围 解析解析 1 由二次函数的图像找出方程 f x x 的两根 x1 x2满足 x1 2 x2 4 的充 要条件 从而求出 x0 a b 2 的范围即可 2 由 x1 x2 a 1 0 知 x1 x2同号 故对较小根 x1 分 0 x1 2 和 2 x10 由 x1 2 x2 4 得 g 2 0 即 aa b a aaaaba ba ba 4 1 1 28 3 2 8 1 2 2 1 4 4 3 2 2 1 4 4 3 03416 0124 得由故 x0 1 8 1 4 1 1 2 a b 22 2 由 g x ax2 b 1 x 1 0 知 x1x2 a 1 0 x1 x2同号 若 0 x12 g 2 4a 2b 1 0 又 x2 x1 a a b4 1 2 2 4 得 2a 1 1 1 2 b a 0 负根舍去 代入上式得 21 1 2 b 3 2b 解得 b 4 1 若 2 x1 0 则 x2 2 x1 2 g 2 0 即 4a 2b 3 4 7 故 b 的取值范围是 4 1 4 7 2 设二次函数 f x ax2 bx c a b c R a 0 满足条件 当 x R f x 4 f 2 x 且 f x x 当 x 0 2 时 f x 2 2 1 x f x 在 R 上的最小值为 0 1 求 f x 的表达式 2 求最大的 m m 1 使得存在 t R 只要 x 就有 f x t x 恒成立 由条件 f x 在 R 上的最小值为 0 可知 函数 f x 的图像是开口向上 顶点位于点 1 0 的抛物线 故不妨设 f x a x 1 2 a 0 由条件 f x x x R 当 x 1 时 f 1 1 由条件 f x 2 2 1 x x 0 2 当 x 1 时 有 f 1 1 f 1 1 从而 a 4 1 2 1 4 1 1 4 1 4 1 22 xxxxf 23 方法三 同解法 1 可判断 f x 图像的对称轴为 x 1 且 f 1 0 b 2a a b c 0 即 b 2a c a 故 f x ax2 2ax a 由条件 f x x 对一切 x R 恒成立 即 ax2 2a 1 x a 0 x R 恒成立 4 1 04 12 0 22 a aa a 由条件 f x 2 2 1 x x 0 2 令 a 4 1 x2 2a 2 1 x a 4 1 由上 a 4 1 0 2 F 0 0 F 0 4 1 4 1 aa 有故 4 1 2 1 4 1 4 1 2 xxxfa 2 方法一 假设存在 t 只要 x 1 m 就有 f x t x 即 f x t x 0 x2 2 t 1 x t 1 2 0 对一切 x 1 m 恒成立 不妨设 G x x2 2 t 1 x t 1 2 则对 x 1 m 都有 G x 0 故 0 1 22 04 0 G 0 1 G 22 mtmt t m 设 h t t2 2 2m t m 1 2即在区间 4 0 上存在实数 t 使 h t 0 成立 由图像 得 1 当 a 0 时 若函数 f x 的图像与直线 y x 均无公共点 求证 4ac b2 4 1 2 若 a c 0 f x 在 2 2 上的最大值为 3 2 最小值为 2 1 求证 a b 2 24 3 当 b 4 c 4 3 时 对于给定负数 a 有一个最大正数 M a 使得 x 0 M a 时都 有 f x 5 问 a 为何值时 M a 最大 并求出这个最大值 M a 证明你的结论 4 若 f x 同时满足下列条件 a 0 当 x 2 时 有 f x 2 当 x 1 时 f x 最大值为 2 求 f x 的解析式 解析解析 1 利用 0 证明 2 用反证法证明 3 借助二次函数图像进行分类讨 论 4 利用不等式性质推出 2 f 0 2 得 f 0 2 再借助最值可求得 a b c 值 答案答案 1 f x 的图像与 y x 是公共点 2b 1 2 16ac 4b2 16bc 1 4b 0 同理由 f x 的图像与 y x 公共点得 4b2 16ac 1 4b5 即 8 a 0 此时 0 M a a 4 M a 是方程 ax2 8x 3 5 的较大根 M a 2 15 22 4 224 4 2 8648 aa a a 2 1 2 15 因此当且仅当 a 8 时 M a 取最大值 2 15 25 4 f x 2ax 2b a 0 f x max 2a 2b 2 a b 1 2 f 0 4c 4a 4b 4c 4 a b f 2 4 2 4 2 4c 2 c 2 1 又 f x 2 f x 2 f 0 f x 在 x 0 处取到最小值且 0 2 2 0 2 2 a b b 0 从而 a 1 f x x2 2 难点难点 3 3 含参数的对数函数与不等式的综合问题含参数的对数函数与不等式的综合问题 1 已知函数 f x log2 x 1 当点 x y 在 y f x 图像上运动时 点 P 2 1 tx 2y 在 函数 y g x 的图像上运动 1 求 y g x 的解析式 2 当 t 4 且 x 0 1 时 求 g x f x 的最小值 3 若在 x 0 1 时恒有 g x f x 成立 求 t 的取值范围 3 由 g x f x 即 2log2 2x t log2 x 1 在 x 0 1 时恒成立 即 x 4x2 4 t 1 x t2 1 0 在 0 1 上恒成立 即 1 1 1 8 14 0 8 14 0 0 0 0 8 14 ttt 或或即 1 t 8 17 或 t 8 17 综合 得 t 1 即满足条件 t 的取值范围是 1 2 设函数 f x ax 3a a 0 且 a 1 的反函数为 y f 1 x 已知函数 y g x 的图像与 26 函数 y f 1 x 的图像关于点 a 0 对称 1 求函数 y g x 的解析式 2 是否存在实数 a 使当 x a 2 a 3 时 恒有 f 1 x g x 1 成立 若存在 求出 a 的取值范围 若不存在 说明理由 解析解析 1 先求反函数 f 1 x 再用相关点法可求得 y g x 的解析式 2 可将原不 等式转化为一元二次不等式在 a 2 a 3 上恒成立 利用二次函数图像和性质可判断是否 存在实数 a 答案答案 由 f x ax 3a 易得 f 1 x loga x 3a 由题设的点对称可得 g a x f 1 a x 0 则 g x loga x a x3a 又 x a 2 a 3 应有 a 2 3a 0 a2a 函数 h x x2 4ax 3a2在 a 2 a 3 上为增函数 函数 H x loga x2 4ax 3a2 在 a 2 a 3 上为减函数 从而 H x max H a 2 loga 4 4a H x min H a 3 loga 9 6a 于是目标不等式等价于 a a a a a 1 44 log 69 log 10 解得 0 a 12 579 综上可知 存在实数 a 0 12 579 可使当 x a 2 a 3 时 恒有 f 1 x g x 1 成立 典型习题导练典型习题导练 1 若不等式 3x2 logax 0 的解集为 x 0 x 3 1 的非空子集 则实数 a 的取值范围 是 A 27 1 1 B 27 1 1 C 0 27 1 D 0 27 1 27 答案 A 解析 作出 y 3x2 y logax 的图象知 0 a 1 当 y logax 过点 1 27 1 27 1 3 1 3 1 aa故时 2 已知 f x 2 xx ee 则下列正确的是 A 奇函数 在 R 上为增函数 B 偶函数 在 R 上为增函数 C 奇函数 在 R 上为减函数 D 偶函数 在 R 上为减函数 答案 A 解析 函数 f x 2 2 是奇函数且是增函数xfxf ee xf ee xxxx 3 若不等式 x2 2x a y2 2y 对任意实数 x y 都成立 则实数 a 的取值范围是 A a 0 B a 1