河南省安阳县高中数学最新学案 第2章 第8课时 等差数列的前n项和（3）（教师版） 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 听课随笔 第第 8 8 课时等差数列的前课时等差数列的前 n n 项和 项和 3 3 学习导航学习导航 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 2 了解等差数列的一些性质 并会用它们解决一些相关问题 3 利用等差数列解决相关的实际问题 自学评价自学评价 等差数列的性质 1 当公差时 等差数列的通项公式是关于的一次函数 且0d 11 1 n aanddn ad n 斜率为公差 前和dn 1 1 2 n n n Snad 是关于的常数项为 0 的二次函数 2 1 22 dd nan n 2 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差 0d 0d 0d 则为常数列 3 当时 则有 mnpq qpnm aaaa 特别地 当时 则有2mnp 2 mnp aaa 4 在等差数列中 每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列 构成的新数列是等差数 列 5 若 是等差数列 n a 也成等差数列 232 nnnnn SSSSS 6 在等差数列中 当项数为偶数时 项数为奇数时 n a2nSSnd 偶奇 21n SSa 奇偶中21 21 n Sna 中 这里即 a中 n a 1 奇偶 SSkk 7 若等差数列 的前和分别为 且 则 n a n bn n A n B n n A f n B 21 21 21 21 nnn nnn anaA bnbB 21 fn 8 如果两等差数列有公共项 那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列 且新 等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 注意 公共项仅是公共的项 其项数不一定相同 即研究 nm ab 精典范例精典范例 用心 爱心 专心2 例 1 某剧场有 排座位 后一排比前一排多 个座位 最后一排有 个座位 这 个剧场共有多少个座位 解解 这个剧场各排的座位数组成等差数列 其中公差 项数 且第 项是 由等差数列的通项公式 得 所以22 1 a 由等差数列的求和公式 得 答 这个剧场共有 820 个座位 例 2 某种卷筒卫生纸绕在盘上 空盘时盘芯直径 满盘时直径 已 知卫生纸的厚度为 问 满盘时卫生纸的总长度大约是多少米 精确到 解解 卫生纸的厚度为 可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆 然后分别计算各圆的周长 再求总和 由内向外各圈的半径分别为 20 05 20 15 59 95 因此 各圈的周长分别为 因为各圈半径组成首项为 20 05 公差为 0 1 的等差数列 设圈数为 则 59 95 20 05 0 1 所以 显然 各圈的周长组成一个首项为 公差为 项数为 的等差数 列 根据等差数列的求和公式 得 答 满盘时卫生纸的长度约为 例 3 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款 它享受整存整取利率 利息免税 教育 储蓄的对象为在校小学四年级 含四年级 以上的学生 假设零存整取 年期教育储蓄的 月利率为 2 1 欲在 年后一次支取本息合计 万元 每月大约存入多少元 零存整取 年期教育储蓄每月至多存入多少元 此时 年后本息合计约为多少 用心 爱心 专心3 听课随笔 精确到 元 解解 设每月存 元 则有 2 1 2 1 2 1 20000 利用等差数列求和公式 得 解得 A 535 元 由于教育储蓄的存款总额不超过 万元 所以 年期教育储蓄每月至多可存入 元 这样 年后的本息和为 36 20000 答 欲在 年后一次支取本息 万元 每月大约存入 535 元 年期教育储蓄每月至多存 入 555 元 年后本息合计约 20756 元 追踪训练一追踪训练一 1 已知an n N 则数列 an 的最大项是 C 156 2 n n A 第 12 项 B 第 13 项 C 第 12 项或第 13 项D 不存在 2 已知等差数列 满足 则有 1011 aa 1011 aa 1011 aa 51 51 a 3 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为 的等差数列 且最小角为 问它 是几边形 答案 9 边形 4 某钢材库新到 根相同的圆钢 要把它们堆放成正三角形垛 如图 并使剩余的 圆钢尽可能地少 那么将剩余多少根圆钢 答案 将剩余 10 根圆钢 5 时钟在 点钟的时候敲一下 在 点钟的时候敲 下 在 点钟的时候敲 下 中间每半点钟也敲一下 一昼夜内它一共敲多少下 用心 爱心 专心4 答案 一昼夜内它一共敲 180 下 选修延伸选修延伸 例 4 已知数列的通项公式为 求它的前项和 n a n a 12 12 1 nn n 分析 我们先看通项 然后将其分裂成 再求 n a 12 12 1 nn 12 1 12 1 2 1 nn 和 解解 12 12 1 nn 12 1 12 1 2 1 nn 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 1 2 1 nn Sn 12 n n 点评 如果数列的通项公式可转化为形式 常采用裂项求和的方法 特别 1nfnf 地 当数列形如 其中是等差数列 可尝试采用此法 1 1 nna a n a 常用裂项技巧如 等 knnkknn 111 1 nkn knkn 11 例 5 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 解解 由条件知 分别令 代入上式得个等式累 1 1 n n a a n n 1 3 2 1 nn 1 n 乘之 即 13 4 2 3 1 2 n n a a a a a a a a n n 1 4 3 3 2 2 1 na an1 1 又 3 2 1 a n an 3 2 追踪训练二追踪训练二 1 在等差数列中 前 n 项的和为 Sn 若 Sm 2n Sn 2m m n N 且 m n 则公差 d 的值为 A A B mn nm 4 4nm mn 用心 爱心 专心5 听课随笔 C D mn nm 2 2nm mn 2 三角形三个边长组成等差数列 周长为 36 内切圆周长为 6 则此三角形是 D A 正三角形 B 等腰直角三角形 C 等腰三角形 但不是直角三角形 D 直角三角形 但不是等腰三角形 3 设 利用课本中推导等差数列前项和方法 求 4 42 x x fx n 12 1111 ff 的值为 5 10 11 f 4 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 解解 由条件知 1 11 1 11 2 1 nnnnnn aa nn 分别令 代入上式得个等式累加之 即 1 3 2 1 nn 1 n 所以 1342312 nn aaaaaaaa 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nn n aan 1 1 1 2 1 1 a nn an 1 2 31