概率统计复习

仅供参考 概率统计复习概率统计复习 1 2 例题四 1 3 例题二 四 1 4 例题一 六 七 1 5 例题四 2 2 例题四 五 2 3 例题 二 2 4 例题一 三 四 2 5 例题一 二 三 3 1 例题一 二 3 2 例题二 4 1 例题一 三 五 六 4 2 例题一 五 七 八 4 3 例题一 六 4 3 例题四 六 4 4 例题一 二 五 5 2 例题一 四 5 3 例题一 二 6 1 例题一 6 2 例题一 五 1 2 习题四 已知 P A P B P C 求事件 4 1 16 1 BCPACP 0ABP A B C 全不发生的概率 解 CBAP 1CBAPCBAP ABCPBCP ACP ABP CPBPAP 1 8 3 0 16 1 16 1 0 4 1 4 1 4 1 1 1 3 习题一 袋中装有 5 个白球 3 个黑球 从中一次任取两个 求求取到的两个球颜色不同的概率 1 求取到的两个球有黑球的概率 2 解 设 A 取到的两个球颜色不同 则 1 28 15 C CC AP 2 8 1 3 1 5 2 则由题意有球取到黑 球个黑取到设 B2 1iiAi 2121 APAPAAPBP 14 9 C CC C CC 2 8 2 3 0 5 2 8 1 3 1 5 1 4 习题二 假设一批产品中一 二 三等品各占 60 30 10 从中任 1 件 结果不是三等品 求取到的是一等品的概率 解 令 A 为 取到的是 i 等品 i 1 2 3 3 2 9 0 6 0 AP AP AP AAP AAP 3 1 3 31 31 1 4 习题三 设 10 件产品中有 4 件不合格产品 从中任取 2 件 已知所取 2 件产品中有 1 件不合格品 求另一件也是不合格品的概率 解 已知取出的两件中有一件不合格品 的情况下 另一件有两种情况 1 是不合格 品 即一件为合格品 一件为不合格品 2 为合格品 即两件都是合格品 对于 1 对于 2 提问实际上是求在这两种情况下 1 的概率 则 15 8 C CC 2 10 1 6 1 4 15 2 C C 2 10 2 4 5 1 15 2 15 8 15 2 p 1 4 习题七 用 3 个机床加工同一种零件 零件由各机床加工的概率分别为 0 5 0 3 0 2 各机床加工 的零件为合格的概率分别等于 0 94 0 9 0 95 求全部产品中的合格率 解 设事件 A B C 分别表示三个机床加工的产品 事件 E 表示合格品 依题意 95 0 CEP9 0BEP94 0 AEP 2 0CP3 0BP5 0AP 由全概率公式 93 0 95 0 2 09 03 094 0 5 0 CEPCPBEPBPAEPAPEP 1 4 习题八 某仓库有同样规格的产品六箱 其中三箱是甲厂生产的 二箱是乙厂生产的 另一箱是丙 厂生产的 且它们的次品率依次为 先从中任取一件产品 试求取得的一件产 20 1 15 1 10 1 品是正品的概率 解 设 Ai i 1 2 3 分别表示所取一箱产品是甲乙丙厂生产的事件 B 为 取得一件产 品为正品 则 20 19 ABP 6 1 AP 15 14 ABP 6 2 AP 10 9 ABP 6 3 AP 33 22 11 由全概率公式 92 0 360 331 360 57112162 20 19 6 1 15 14 6 2 10 9 6 3 ABPAPBP i 3 1i i 1 5 习题四 一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成 两部分有任何一个失灵 这个报警器就失灵 若使用 100 小时候 雷达失灵的概率为 0 1 计算机失灵的概率为 0 3 若两部分失灵与否 为独立的 求这个报警器使用 100 小时而不失灵的概率 解 记事件 A 为 报警器使用 100 小时候雷达失灵 事件 B 为 报警器使用 100 小时后计 算机失灵 依题意得 3 0 1 0 BPAP 从而所求概率为 63 03 0 11 0 1BPAPBAPp 2 2 习题九 纺织厂女工照顾 800 个纺绽 每一纺锭在某一段时间 内断头的概率为 0 005 在 这段时 间内断头次数不大于 2 的概率 解 以 X 记纺锭断头数 n 800 p 0 005 np 4 应用泊松定理 所求概率为 P 0 X 2 P X xi b k 800 0 005 2xi0 2 0k P k 4 e 4 1 41 422 0 2381 2 0k 2 3 习题五 设 X 的分布函数为 求 P 0 40 5 P 1 7 X 2 5 1x 1 1 5x1 21 x 2x0 2x 0 x 0 xF 解 P 0 40 5 1 P X 0 5 1 F 0 5 1 0 75 2 5 0 P 1 7 X 2 F 2 F 1 7 1 1 0 2 4 习题三 设连续型随机变量 X 的分布函数为 试求 1 A B 的值 2 P 0 0 0 xF 2 x xBeA x 1 X 1 3 概率密度函数 f x 解 1 A 1 1limF 2 x x BeA 又 B 1 00lim 2 0 FBeA x x 2 P 1 X10 1 P X10 1 1 那么他等到服务的概率是 1 那么 Y 的分布是 2 1 e 2 1 e 2 1 e P Y y P Y 0 所以 yy ee 5 22 y 5 1 1 1 C 5 2 1 1 e P Y1 1 P Y 0 5 2 1 1 1 e 2 5 习题五 设 X N 0 1 求 Y 2X2 1 的概率密度 解 因 y 2x2 1 是非单调函数 故用分布函数法先求 FY y 2 1 0 1N X 2 2 x X exf 则由 FY y P Y y P 2X2 1 y 2 1 y XP 2 当 yo 又已知 其它 0 1 0 xkx xf a E X 0 75 求 k a 的值 解 75 0 1 dxxxfdxxf 即 75 0 0 1 1 0 1 dxxkxdxkx aa 75 0 0 1 2a k 1 0 1 1a k 21 aa xx 2a3k 4 3 习题二 设 X 服从参数为 2 的泊松分布 Y 3X 2 试求 E Y D Y 及 YXcov XY 解 42 232 XE32 X3EYE 1829XD92 X3DYD 6XD32 X3XcovYXcov 1 YDXD YXcov XY 5 2 习题二 设总体 X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 问下列各统计量服从什么分布 1 2 3 2 4 2 3 21 XX X X 2 n 2 3 2 2 1 XXX X1 n n 4i 2 i 3 1i 2 i XX1 3 n 5 2 习题六 查表求标准正态分布的下列上侧分位数 05 0 1 02 04 0 与 5 2 习题七 查表求分布的下列上侧分位数 2 101055 2 01 0 2 99 0 2 05 0 2 95 0 与 6 2 习题一 设 X1 X2 Xn为总体的一个样本 x1 x2 xn为一相应的样本观察值 求下述各总体的密度 函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值及最大似然估计量 1 其中 c c 0 为已知 1 为未知参数 2 其它 0 1 cxxc xf 其中 0 为未知参数 其它 0 10 1 xx xf 3 其中 x 0 1 2 m p 0 p 1 为未知参数 xm x pp x m xX 1P 解 1 令 11 XE 1 c c c dxxc c dxxxfX c 1 c X X 得 似然函数 1 21 n 1 L n nn i i xxxcxf 0lnln ln ln1lnlnln 11 i n i i n i xcn nd Ld xcnnL 解唯一故为极大似然估计量 cnxi n i lnln n 1 2 2 1 1 10 1 X X XdxxdxxxfXE 得 令 d Ld x n Lxxxxf i n i n n i i ln ln1ln 2 ln L 1 1 21 2 n 1 解唯一故为极大似然估计量 2 11 ln 0ln 2 11 2 i n i i n i xnx n 3 m X pXmpmpX 解得令 E i n i i n i xmn x n n i i pp x m x m xXpp 1 1 1L 11 pxmnpx x m p i n i i n i i n i 1lnlnlnLln 111 0 1 lnd 11 p xmn p x dp pL n i i i n i 解得 解唯一故为极大似然估计量 m X mn x n i i 1 p 6 2 习题二 设总体 X 服从均匀分布 U 0 它的密度函数为 其它 0 0 1 x xf 1 求未知参数 的矩估计量 2 当样本观察值为 0 3 0 8 0 27 0 35 0 62 0 55 时 求 的矩估计 值 解 1 因为 20 1 XE xdxdxxxf XXXEXE2 2 由 2 由所给样本的观察值算得 0 3 0 8 0 27 0 35 0 62 0 55 0 4817 1616X 6 1i i x 所以 2 0 9634 X 6 2 习题五 设总体 X 具有分布律 X123 pi 2 12 2 1 其中 0 1 为未知参数 已知取得了样本值 x1