河南省安阳县高中数学最新学案 第2章 第13课时 等比数列的前n项和（2）（教师版） 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 第第 1313 课时课时 等比数列的等比数列的 前前n n项和项和 2 2 学习导航学习导航 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 2 了解杂数列求和基本思想 解决简单的杂数列求和问题 自学评价自学评价 1 常见的数列的前 n 项的和 n 321 2 1 nn 即 n i i 1 2 1 nn 2 6 12 1 1 2 nnn i n i 3 2 1 3 2 1 nn i n i 2 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几 个等差 等比或常见的数列 即能分别求和 然后再合并这种方法叫做分组求和法 3 错位相减法 适用于 的前项和 其中是等差数列 是等比数列 n a n bn n a n b 4 裂项法 求的前项和时 若能将拆分为 则 n an n a n a n b 1 n b 11 1 n n k k bba 5 倒序相加法 6 在等比数列中 当项数为偶数时 项数为奇数时 n a2nSqS 偶奇 21n 1 SaqS 奇偶 精典范例精典范例 例 1 求数列 的前n项和 2 1 1 4 1 2 8 1 3 用心 爱心 专心2 听课随笔 分析 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和 因此可以分组 求和法 解 n S 2 1 1 4 1 2 n n 2 1 n 2 1 8 1 4 1 2 1 2 1 1 2 1 n nn 例 2 设数列为 n a 23 1 2 3 4xxx 求此数列前项的和 1n nx 0 xn 分析 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积 因此可以用错 项相减法 解 231 1234 n n Sxxxnx 23 1 23 1 n nn xSxxx nxnx 由 得 1 n x S 21 1 nn xxxnx 当时 1 x n n n nx x x Sx 1 1 1 x nxnxx nnn 1 1 1 x nxxn nn 1 11 1 2 1 1 11 x nxxn S nn n 当时 1 x 2 1 4321 nn nSn 追踪训练一追踪训练一 1 求和 10 1 23 k k 答案 2076 用心 爱心 专心3 2 求和 132 12 7531 n n xnxxxS 答案 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 3 若数列的通项公式为 则前项和为 B n a n n n a 2 n A B C D n n S 2 1 1 nn n n S 22 1 2 1 n n nS 2 1 1 nn n n S 22 1 2 1 4 数列 1 的前项和为 B 21 1 321 1 n 21 1 n A B 1 2 n n 12 2 n n C 1 2 n n D 1 n n 5 求和 1 2 3 4 5 6 1 n 1n 解 设n 2k 则 1 2 3 4 2k 1 2k k 2 n 设n 2k 1 则 1 2 3 4 2k 3 2k 2 2k 1 k 1 2k 1 k 2 1 n 1 2 3 4 5 6 1 nn 1 为奇数 为偶数 n n n n 2 1 2 选修延伸选修延伸 例 3 已知数列 an 中 an 1 an 2n a1 3 求an 解 由an 1 an 2n 得an an 1 2n 1即 2 2 2 2 12 3 32 2 21 1 1 aa aa aa aa n nn n nn n nn an a1 2n 2 21 21 2 1 n 用心 爱心 专心4 听课随笔 听课随笔 因此an 2n 2 a1 2n 1 点评点评 利用数列的求和 可求出一些递推关系为an 1 an f n 的数列的通项公式 例 4 已知 为等比数列 且 a b ab 0 求 n a n S n S2 n S3 解 设等比数列的公比为 q n a 若 q 1 此时数列为常数列 则 n a b n S 1 a 12 2naS n 从而有 2a b 或 anaS n 33 13 2 3 33 13 b anaS n 若 q 1 即 2a b 由已知 a q qa S n n 1 1 1 b q qa S n n 1 1 2 1 2 又 ab0 得 a b q n 11 a b q n 将 代入 得 ba a q a 21 2 1 n S3 q qa n 1 1 3 1 q a 1 1 1 3n q ba a 2 2 1 1 3 a b a baba 22 追踪训练二追踪训练二 1 等比数列 an 的首项为 1 公比为q 前n项和为S 则数列 的前n项之和为 n a 1 C A B S C D S 1 1 n q S Sq n 1 1 2 在等比数列 an 中 已知a1 前三项的和S3 则公比q的值为 1 或 2 2 5 2 15 3 在等比数列 an 中 a1 a2 20 a3 a4 40 则S6 140 4 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一常数 那么 用心 爱心 专心5 这个数列叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 已知数列是等和数列 且 n a 公和为 5 求的值及这个数列的前项和 1 2a 18 an n S 解 是等和数列 公和为 5 则知 n a 1 2a 2 3a 34 2 3 aa 221 3 2 nn a