高三数学总复习教案第七章直线和圆的方程

第七章第七章 直线和圆的方程直线和圆的方程 1 直线方程和两条直线的位置关系直线方程和两条直线的位置关系 1 直线l经过原点和点 1 1 则它的倾斜角是 A A 4 B 5 4 C 4 或 5 4 D 4 2 两平行直线2yx 和25yx 间的距离是 B A 5 2 B 5 C 3 2 D 5 2 3 如果直线210axy 与直线20 xy 互相垂直 那么a的值等于 D A 1 B 1 3 C 2 3 D 2 4 两直线320 xy 与3340 xy 的夹角是 A 0 30 B 0 60 C 0 90 D 0 120 答案 B 解析 21 12 tan 1 kk k k 5 过点 A 3 0 且平行于直线230 xy 的直线方程是 答案 2360 xy 6 点 2 5 关于直线0 xy 的对称点的坐标是 答案 5 2 典型例题 例 1 求满足下列条件的直线l的方程 1 在 y 轴上的截距为3 且它与两坐标轴围成的三角形面积为 6 2 与直线240 xy 的夹角为 0 45 且焦点在 x 轴上 解 1 设直线的方程为1 3 xy a 由题意得 1 36 2 a A A 4a 当4a 时 直线l的方程为1 43 xy 即34120 xy 当4a 时 直线l的方程为1 43 xy 即34120 xy 2 直线240 xy 交 x 轴于点 2 0 可设l的方程为 2 yk x 由两直线夹角公式有 0 2 tan45 12 k k 1 3 k 或3k l的方程为 1 2 3 yx 或3 2 yx 即320 xy 或360 xy 注意 求直线方程时 可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式 再根据题中其他条件确定方 程中的待定系数 变式变式 1 将直线31yx 绕它上面一点 1 3沿逆时针方向旋转 0 15 得到的直线方程是 变式变式 2 垂直于直线2340 xy 且被坐标轴所截得的线段长为13的直线方程是 例 2 如图 7 1 1 已知点 A 2 1 直线 1 2lyx 和直线 2 1 2 lyx 交于点 B 1 l交y于点 C 求ABC 中A 的平分线方程 解 解方程组 得点 B 4 2 显然点 A 在 2 l上 1 l交y于点 C 0 2 直线 AC 的斜率 1 1 21 202 k 设A 的平分线 AT 的方程为 12yk x CATTAB 则 1 1 2 2 1 11 22 k k k k 解得0k 直线 AT 得方程为1y 将其代入2yx 得1x 即点 1 1T A 的平分线方程为1 12 yx 注意 涉及三角形有关问题要考虑将直线与三角形的知识结合起来 变式变式 1 已知ABC 中 3 2 A 1 5 B C 点在直线330 xy 上 若ABC 的面积为 10 则 C 点的坐标是 例 3 求过点 P 0 1 的直线l的方程 使l夹在两条直线 1 3100lxy 与 2 2 80lxy 之间的 线段恰被 P 点平分 解 但斜率k不存在时 显然不满足条件 设过点 0 1 P的直线方程为1ykx x y 0 A C T B 1 l 2 l 与直线 1 l 2 l分别交于 A B两点 如图 7 1 2 由 11 310 0 28 0 y kxy kx xyx y 及 解得 7 31 A x k 7 2 B x k 又已知 0 1 P为 AB 的中点 则 7 31k 7 2k 0 解得 1 4 k 所求直线方程为 1 1 4 yx 即440 xy 注意 与两直线相关问题 要考虑两直线的位置关系 结合题设条件 寻求解决问题的有效办法 变式变式 1 直线l经过240350 xyxy 和的交点 且垂直于直线 1 2 yx 则直线l的方程是 变式变式 2 直线l过点 A 2 3 且被两平行直线 1 3 4703480lxyxy 和截得的线段长为3 2 则直线的方程是 例 4 点 4 0 P关于直线54210 xy 的对称点是 A 6 8 B 8 6 C 6 8 D 6 8 解 设点 4 0 P关于直线54210 xy 的对称点为 111 P x y 由轴对称概念 1 PP的中点 11 40 22 xy M 在对称轴54210 xy 上 且 1 PP与对称轴垂直 则有 11 1 1 4 5421 0 22 4 45 xy y x 解得 11 6 8 xy 1 6 8 P 故选 D 注意 对称问题可化为点关于点对称 点关于直线对称的问题 变式变式 1 直线l与直线2360 xy 关于点 1 1 A 对称 则直线l的方程为 变式变式 2 光线由点 1 4 A 射出 遇直线 2360lxy 即行反射 已知其反射光线过点 62 3 13 B 反 射线所在的直线方程为 小结 1 直线的各种形式均有它的优越性 应在不同的题设下灵活运用 要注意当直线斜率不存在时的特殊情 况 2 在解析几何中 设而不求往往是简化计算的重要方法之一 3 在两条直线的位置关系中 讨论最多的是平行与垂直 在两条直线的夹角公式 12 12 tan 1 kk k k 中 当分子为 0 时 两条直线斜率相等 平行 当分母为 0 时 tan 不存在 90 0 垂直 达标训练 1 经过点 2 1 且倾斜角的正弦等于 3 5 的直线方程是 A 3 1 2 4 yx B 3 1 2 4 yx C 3 1 2 4 yx D 4 1 2 3 yx 2 过点 1 1 A作直线l 使l在两坐标轴上的截距相等 这样的直线有 条 A 0 B 1 C 2 D 3 3 三点 3 1 A 2 Bk 8 11 C在一条直线上 则k的值是 A 2 B 3 C 9 D 9 4 若直线 2 1 1 0 xaya 与直线260axy 平行但不重合 则 a 的值 A 1 B 2 C 2 3 D 1 或 2 5 三条直线 1 0lxya 2 10lxay 3 10laxy 能构成三角形的条件是 A 1a B 1a C 2a D 1a 且2a 6 若点 P 在直线40 xy 上 O 为原点 则OP的最小值是 7 已知直线 240lxy 与x轴相交点 P 现将直线l绕点 P 逆时针旋转 0 45所得直线方程是 8 直线l与两直线1y 70 xy 分别交于 P Q 两点 线段 PQ 的中点是 1 1 则直线l的斜 率为 9 求与直线240 xy 的夹角为 0 45 且交点在x轴上的直线方程 10 1 求证 无论m为任意实数 直线 2150m xm ym 都过一定点 P 并求出此点坐 标 2 分别在yx 及x轴上各取一点 B C 使BPC 的周长最小 6 2 线性规划线性规划 基础练习 1 不等式49xyo 表示直线490 xy A 上方的平面区域 B 下方的平面区域 C 上方的平面区域 包括直线 D 下方的平面区域 包括直线 2 不等式2xy 所表示平面区域的面积为 A 2 B 4 C 8 D 16 3 若0 0 xy 且1xy 则zxy 的最大值是 A 1 B 1 C 2 D 2 4 若01 02xy 且21yx 则224zyx 的最小值为 A 2 B 3 C 4 D 5 5 点 P 0 4到直线220 xy 的距离等于2 5且在不等式33xy 表示的平面区域内 则点 P 的 坐标为 典型例题 例 1 设2zxy 式中变量 x y满足条件 46 24 xy xy 求z的最大值和最小值 解 由已知 变量 x y满足的每个不等式都表示一个平面区域 因此 所表示的区域为如图中的四边形 ABCD 当2zxy 过点 C 时 z取最小值 当2zxy 过点 A 时 z取最大值 即当3 1xy 时 min 7z 当5 1xy 时 max 11z 注意 求线性规划问题 应用图解法有下面几个步骤 1 指出线性约束条件和线性目标函数 2 画出可行域的图 3 求出目标函数的可行解 4 求出目标函数的最优解 变式 1 已知 x y满足条件 6750 3 2 xy x y 若 x y都是整数 则35zxy 的最大值是 变式 2 已知 x y满足条件 5315 1 53 xy yx xy 则35zxy 的最大 最小值分别是 例 2 用图解法求线性规划问题 min12 2sxx 即求 S 的最小值 A B C D O A B 2 C 2 D 0 x y 12 12 12 2 2 0 0 xx xx xx 解 如图作出直线 1212 2 2xxxx 1 0 x 2 0 x 的图像 可得其可行域 ABCD 由0 2 4 6s 作出等值线 012112212312 20 22 24 26 lxxlxxlxxlxx 显然 直线离原点越近 S 值越小 而且在可行域 B 点达到最小值 由 12 2 2 0 xx x 求得 B 2 0 所以 min 22 02 S 注意 利用图解法只适用两个变量得线性规划问题 变式变式 1 若 2312 312 0 0 xy xy xy 且57 Sxy 则 max S 例 3 某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付 3000 元的固定费用 它生产 1 千克糖果的成 本是 10 元 而销售价是每千克 15 元 试问 每天应生产并销售多少糖果 才能使收支平衡 即它的盈亏 平衡点是多少 解 设生产x千克的糖果的成本函数为 3000 10y xx 销售x千克的糖果的收益函数为 15R xx 在同一坐标系中画出它们的图像 交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量 令 y xR x 得3000 1015600 xxx 得 即每天必须生产并销售 600 千克糖果 这条 流水线才能做到盈亏平衡 从图中可以看出 当600 x 时 R xy x 表示有盈利 反之则表示亏本 例 5 某人有楼房一幢 室内面积共 180m 2 拟分隔成两类房间作为旅游客房 大房间每间面积为 18 可住游客 5 名 每名游客每天住宿费为 40 元 小房间每间面积为 15 可住游客 3 名 每 300600 3000 6000 9000 y x 9000 R x 9000 名游客每天住宿费为 50 元 装修大房间每间需要 1000 元 装修小房间每间需要 600 元 如果 他们只能筹 8000 元用于装修 且游客能住满客房 它应隔出大房间和小房间各多少间 能获 最大利益 解 设应隔出大房间x间和小房间y间 则目标函数为5 403 50zxy 则约束条件为 作出可行域 根据目标函数200150zxy 作出一组平行线200150 xyt 当此线经过直线1815180 xy 和直线10006008000 xy 的交点 20 60 77 C 此直线方程为 13000 200150 7 xy 由于 20 60 77 不是整数 所以经过整点 3 8 时 才是他们的最优解 即应隔大房间 3 间 小房间 8 间 所获利益最大 小结 1 中学所学的线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题 而解决这类问题的最常用 和最重要的一种方法就是图解法 2 寻求线性规划问题中最优解的关键问题是应用数形结合的方法 弄清目标函数所表示的几何意义 3 寻求整点最优解的方法仍是平移找解的方法 即先打网格 描整点 平移直线 找最先经过和最后经 过的整点便是最优整点解 达标训练 A B C D 1 由0 0 xy 及4xy 所围成的平面区域的面积是 A 16 B 8 C 4 D 2 2 若不等式 21 1 0axay 表示直线 21 10axay 的下方区域 则a的取值范围是 A 0a B 1 2 a C 0a D 1 0 2 a 3 方程22xy 的图像 绕y轴旋转一周所得的旋转体体积是 A 8 3 B 16 3 C D 2 3 4 已知直线370 20 xykxy 与x轴 y轴围成的四边形内接一个圆 则实数k的值为 A 3 B 3 C 6 D 6 5 ABC 的三个顶点为 4 1 A 1 6 B 3 2 C R 为这个三角形的三边为成的区域 包括边界 当 P x y在 R 中变动时 43Sxy 的最大值和最小值分别为 A 13 和 18 B 18 和 14 C 14 和 18 D 14 和 13 6 不等式组 0 1 1 xy x y 表示平面区域的面积是 7 曲线 22 xyxy 所围成的图形面积是 8 若0 0 10 250 xyxyxy 则25txy 的最大值是 9 已知函数 2 f xaxc 满足 411 125ff 求 3f的取值范围 10 某厂生产甲 乙两种产品每吨所需的煤 电和产值如下表所示 但国家每天分配给该厂的煤 电有限 每天供煤至多 56 吨 供电至多 450 千瓦 问该厂如何安排生产 使得该厂日产值大 用煤 吨 用电 千瓦 产值 千元 甲产品7208 乙产品35011 6 3 圆的方程圆的方程 供稿 中山纪念中学 常丽霞 要点与目标 知识要点 圆的定义 圆的标准方程 一般方程 参数方程 目标 掌握圆的定义 会求圆的方程 掌握简单的直线与圆的关系 基础练习 1 圆 22 420 xyxy 的圆心和半径分别是 A 2 1 5 B 2 1 5 C 2 1 5 D 2 1 5 答案 A 2 点 1 1 在圆 22 4xaya 的内部 则 a 的取值范围是 A 11a B 01a C 1a 或1a D 1a 答案 A 3 2003 年北京春季高考题 已知直线 ax by c 0 0abc 与圆 x2 y2 1 相切 则三条边长分别为 a b c的三角形 A 是锐角三角形 B 是直角三角形 C 是钝角三角形 D 不存在 答案 B 4 X2与 y2的系数相同 且不等于零 并且没有 xy 这样的项是二元二次方程表示圆的 A 必要条件 B 充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 5 过点 C 1 1 和 D 1 3 圆心在 x 轴上的圆的方程是 答案 x 2 2 y2 10 6 方程 2 11 1 xy 表示的曲线是 答案 两个半圆 7 已知圆 C 的圆心在直线 1 10lxy 上 与直线 2 4 3140lxy 相切 且截直线 3 3 4100lxy 所得弦长为 6 则圆 C 的方程 答案 22 2125xy 典型例题 例 1 一圆过点 P 2 1 且和直线10 xy 相切 圆心在直线 y 2x 上 求此圆的方程 解 设圆方程为 22 2 xaybr 由已知 22 2 21 1 2 2 abr ab r ba 解得 a 1 b 2 r 2或 a 9 b 18 r 132 所以圆的方程为 2222 122918338xyxx 或 注意 求圆的方程 可先设所求圆的标准方程式或一般方程 再由题设条件建立方程组 解方程组确 定方程中的待定系数 变式 1 如果三角形的顶点分别是 0 0 0 15 8 0 oAB 那么它的内切圆方程是 答案 x 3 2 y 3 2 9 例 2 求圆 22 412390 xyxy 关于直线3450 xy 的对称圆方程 解 圆方程可化为 22 261xy 圆心 O 2 6 半径为 1 设对称圆圆心为 O a b 则 O 与 O 关于直线3450 xy 对称 因此有 26 3450 22 6 3 1 2 4 ab b a AA A 解得 32 5 26 5 a b 所求圆的方程为 22 3226 1 55 xy 注意 圆的对称问题可以转化为点 圆心 的对称问题 由对称性质知对称圆半径相等 变式 1 圆 22 41230 xyxyq 关于点 1 1 的对称圆方程是 答案 x 4 2 y 4 2 40 3q 变式 2 圆 22 0 xypxqy 关于 y 轴对称的圆的方程是 答案 22 0 xypxqy 例 3 设方程 2224 2 3 2 1 4 1690 xymxmym 若该方程表示一个圆 求 m 的取值 范围及这时圆心的轨迹方程 解 配方得 2 2 22 3 1 4 1 67xmymmm 该方程表示圆 则有 2 1 670mm 得 1 1 7 m 此时圆心的轨迹方程为 2 3 1 4 xm ym 消去 m 得 2 4 3 1yx 由 1 1 7 m 得 x m 3 20 4 7 所求的轨迹方程是 2 4 3 1yx 20 4 7 x 注意 方程表示圆的充要条件 求轨迹方程时 一定要讨论变量的取值范围 如题中 20 4 7 x 变式 1 方程 22 4 1 40axayaxy 表示圆 求实数 a 的取值范围 并求出其中半径最小的圆 的方程 解 原方程可化为 2 2 2 2 2 1 24 22 aaa xy aaa 2 220 aa 当 a0 时 原方程表示圆 又 2 222 222 2222 44 4 22 22 aaaaaa r aaa 当 min 2 2ar 所以半径最小的圆方程为 22 112xy 例 4 已知圆 x2 y2 16 A 2 0 若 P Q 是圆上的动点 且APAQ 求 PQ 中点的轨迹方程 解 设 PQ 中点 M 的坐标为 x y 由已知圆的参数方程 可设 11 4cos 4sinP 22 4cos 4sinQ 12 12 2cos2cos 2sin2sin x y 22 1212 448 coscossinsinxy 1 又APAQ 1 PAAQ KK 12 12 4sin4sin 1 4cos2 4cos2 化简得 121212 4 sinsincoscos2 coscos11x 代入 1 式 得 22 82 1 xyx 所以所求轨迹方程为 22 260 xyx 小结 1 求圆方程 主要用待定系数法 根据题设选用圆的标准方程或一般方程 联立方程求出 a b r 或 D E F 2 注意数形结合的方法的应用 充分应用圆的几何性质 简化运算过程 达标训练 1 方程 22 0 xyxym 表示一个圆 则 m 的取值范围是 A 2m B 2m C 1 2 m D 1 2 m 答案 C 2 已知圆心为点 2 3 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上 则这个圆的方程是 A 22 4680 xyxy B 22 4680 xyxy C 22 460 xyxy D 22 460 xyxy 答案 D 3 圆 22 30 xyDxEy 的圆心在 x 轴上 半径 r 2 且 D E 则 D A 1 B 2 C 1 D 2 答案 D 4 M 3 0 是圆 22 82100 xyxy 内一点 过 M 点最长的弦所在的直线方程是 A 30 xy B 30 xy C 260 xy D 260 xy 答案 B 5 过点 A 1 2 和 B 1 10 且和直线210 xy 相切的圆方程为 答案 x 3 2 y 6 2 80 或 x 7 2 y 6 2 80 6 圆 22 339xy 上到直线34110 xy 的距离等于 1 的点有 个 答案 2 7 已知 BC 是圆 22 25xy 的弦 且6BC 则 BC 的中点的轨迹方程是 答案 x2 y2 16 8 已知直线24yx 与 x 轴和 y 轴分别交于 A B 求以线段 AB 为直径的圆的方程 答案 x 1 2 y 2 2 5 9 直线 y k x 3 4 与曲线 2 14yx 有一个交点 求实数 k 的取值范围 解 直线 y k x 3 4 过定点 P 3 4 曲线 2 14yx 化为 x2 y 1 2 4 1 y 因为 A 2 1 B 2 1 所以可得 3 3 5 PAPB kk 又设 lPC y 4 k x 3 即 kx y 4 3k 0 由 2 143 2 1 k k 得 152 30 5 k 或 152 30 5 k 舍 综上所述 所求实数 k 的取值范围是 152 30 5 k 或 3 3 5 k 6 4 直线与圆直线与圆 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 供稿 中山纪念中学 常丽霞 要点与目标 知识要点 直线与圆 圆与圆的位置关系 目标 通过练习掌握基本知识 并能综合运用所学知识正确解题 基础练习 1 x 轴与圆 22 2410 xyxy 的位置关系是 A 相切 B 相离 C 相交且不过圆心 D 通过圆心 答案 A 2 圆 22 20 xyx 与圆 22 40 xyy 的位置关系是 A 相离 B 外切 C 相交 D 内切 答案 C 3 由点 M 5 3 向圆 22 2690 xyxy 所引切线长是 A 51 B 3 C 51 D 1 答案 A 4 2003 年上海春季高考题 若过两点 A 1 0 B 0 2 的直线 l 与圆 22 1 1xya 相切 则 a 答案 45 5 如果直线 l 将圆 22 240 xyxy 平分 且不通过第四象限 那么 l 的斜率取值范围是 答案 0 2 6 方程 22 1 40 xyxy 的曲线形状是 答案 圆或二射线 典型例题 例 1 一直线经过点 P 3 3 2 被圆 22 25xy 截得的弦长为 8 求此弦所在直线方程 解 1 当斜率 k 不存在时 过点 P 的直线方程为3x 代入 22 25xy 得 12 4 4yy 弦长为 12 8yy 符合题意 2 当斜率 k 存在时 设所求方程为 3 3 2 yk x 即 3 30 2 kxyk 由已知 弦心距 22 543OM 2 3 003 2 3 1 kk k 解得 3 4 k 所以此直线方程为 33 3 24 yx 即34150 xy 所以所求直线方程为30 x 或34150 xy 注意 关于圆的弦长问题 可用几何法从半径 弦心距 半弦所组成的直角三角形求解 也可用代数法的 弦长公式求解 本题还要注意 斜率不存在时直线30 x 符合题意 例 2 自点 A 3 3 发出的光线 l 射到 x 轴上 被 x 轴反射 其反射光线所在的直线与圆 22 4470 xyxy 相切 求光线 l 所在的直线方程 解 由已知可得圆 C 22 221xy 关于 x 轴对称的圆 C 的方程为 22 221xy 其 C 2 2 中 则 l 与圆 C 相切 设 l y 3 k x 3 2 55 1 1 k k 整理得 12k2 25k 12 0 解得 3 4 k 或 4 3 k 所以所求直线方程为 y 3 3 4 x 3 或 y 3 4 3 x 3 即 3x 4y 3 0 或 4x 3y 3 0 注意 关于求切线问题 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件 是求圆的切线方程的常用方法 若本题 由 0 A 求切线方程也可 但过程要复杂些 变式 1 曲线 2 14 22 yxx 与直线 y k x 2 4 有两个交点 则实数 k 的取值范围是 答案 12 5 例 3 如果实数满足 22 2 3xy 求 1 y x 的最大值 2 2x y 的最小值 解 1 问题可转化为求圆 22 2 3xy 上一点到原点连线的斜率 y k x 的最大值 由图形性质 可知 由原点向圆 22 2 3xy 作切线 其中切线斜率的最大值即为 y x 的最大值 设过原点的直线为 y kx 即 kx y 0 由 2 20 3 1 k k 解得3k 或3k max 3 y x 2 x y 满足 22 2 3xy 23cos 3sin x y 242 3cos3sin415sinxy min 2415xy 注意 圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题 由圆的参数方程设圆上一点的坐标在解题中应用也 非常广泛 例 4 一个圆和已知圆 22 20 xyx 外切 并与直线 l 30 xy 相切于点 M 3 3 求该圆 的方程 解 已知圆方程化为 22 1 1xy 其圆心 P 1 0 半径为 1 设所求圆的圆心为 C a b 则半径为 2 2 33ab 因为两圆外切 1PC 2 2 33ab 从而 2 2 1ab 1 2 2 33ab 1 又所求圆与直线30 xy 相切于 M 3 3 直线 1 CMl CMl kk 于是 13 1 33 b a 即34 3ba 2 将 2 代入 1 化简 得 a2 4a 0 a 0 或 a 4 当 a 0 时 4 3b 所求圆方程为 2 2 4 336xy 当 a 4 时 b 0 所求圆方程为 22 4 4xy 变式 1 求圆 C1 22 1xy 与圆 C2 22 2210 xyxy 的公共弦所在直线被圆 C3 2225 11 4 xy 所截得的弦长 解 圆 C1与圆 C2的公共弦所在直线方程为 2222 12210 xyxyxy 即 x y 1 0 圆心 C3到直线 x y 1 0 的距离 1 1 12 22 d 所以所求弦长为 22 251 2223 42 rd 小结 1 圆与直线的位置关系 我们主要讨