浙江省台州市初中数学教学论文 海阔凭鱼跃天高任鸟飞—对一道数学教学问题解决链的深刻认识

1 海阔凭鱼跃 天高任鸟飞海阔凭鱼跃 天高任鸟飞 对一道数学问题解决链的深刻认识对一道数学问题解决链的深刻认识 摘 要 数学教学以 问题解决 为核心 以 思想方法 为背景 以提高 思维能力 为目标 因此 作为新时期的数学教师 如何在这些方面下功夫 如何引领学生对数学知 识的提炼和组织 以 问题链 为抓手 以拓展 思想方法 为指导 通过对低层次活动 本身的分析 提炼和组织形成更高层次的知识 方法与策略 从而自觉地用高观点去俯视 面对的数学问题 带动学生自己去立于思维的 制高点 剖析问题链的深层结构 追本求 源 让数学问题的解决策略变得更清晰 让师生的能力在反复的实践中得到进一步地锤炼 与提高 关键词 方程 问题链 思想方法 数学视野 当我们刚从 G 波利亚的 怎样解题表 的思考中走出来时 我们就会有一种冲动 要让学生好好地学会如何解题 学会理性地思考和反思 当我们沉思于新课程数学课堂教 学以 问题解决 为核心的教学理念之中时 这种 冲动 会更让我们思绪 现在的数学 课堂教学的根本目的是什么 学生应该真正地学点什么 新课程实施已经好几年了 可有 些问题还时不时困惑着 依据数学学科特点 我们知道数学教育是以 培养学生的思维能 力 为己任的 但面对我们的课堂教学的规律发展方向 又好象总感觉与教育现实有些 不合拍 似的 为此 我们常常在思索 数学教学一定要关注学生的学习过程 可我们 怎样才算是在关注呢 又如何关注才更实效呢 对于数学 我们教师自身 又应该关注些 什么 不知庐山真面目 只缘身在此山中 课堂 让我们跳出课堂看课堂 那会是 怎样一幅 景色 学生需要的是什么 数学 能给予学生什么 暑假里一次 帮教 活动 让我好象明白了似的 学生在学校里 重要的不是学得 多少知识和技能 而是学会一种会学习的能力 拥有自己去学习的能力 前苏联教育家 苏霍姆林斯基语 而这种自己去学习的能力的支撑点是什么 我想不外乎是学习过程中习 得的解决问题的思想方法 策略等 因此 这教育上难得的一点 顿悟 促成了自己对 问题链 数学教学的一些探索与思考 笔者也希望通过本文 借浙教版初一数学暑假作 业本中的一题的解决过程 谈谈对 问题链教学 的一点看法与认识 借此与同行们共鸣 问题背景 暑假里 两位亲戚的小孩说有一些数学问题让笔者给他们点拨一下 其中 一位是初一升初二的学生且在浙江诸暨读书 用新浙教版教材 下称准初二学生 一位是 一级重点高中的一年级学生 下称准高二学生 其中在准初二学生问到暑假作业本中有这 2 样一道题目 原始问题 如果不论 k 为何值时 总是关于 x 的方程1x 的解 则 a b 值得一提的是新浙教版在体系安排上1 3 2 2 bkxakx 与新人教版是不一样的 一 学生的知识在 对白 中清晰而深入 乍看此题 觉得有点意思 刚读完初一 是否有 超纲 嫌疑 但转念一想 命题者 出此题时不乏一定的高度 便顺势也让这位准高二学生做了这道题目 结果情况并不如人 所愿 两位学生都碰到了一些困难 首先 对于这位准初二学生来说 他一看到这题目就 自言自语地说 这么多字母啊 晕死了 就打住不往下做了 此时 笔者就很纳闷 连 这个解也不会代入吗 为了探究该学生现有的认知水平与认知结构 笔者特将问题1x 链作了如下的设计与呈现 问题 解下列方程 这两小题会吗 准初二236xx 236kk 学生不假思索的脱口而出 第 小题就是解一个一元一次方程 会 第 小题就是字 母换了一下 腼腆地说 应该会 其实 此时笔者特地观察了他的表情 发现他有一 点犹豫 便追问 什么是一元一次方程 与字母是关于的方程还是关于的方程或换xk 成其它字母有关系吗 他顺口接了一句 会做 就是不常见罢了 这点应该没关系 笔者说 哈哈 就像我们上网打游戏时 换了一个 马甲 其实还是这个人 问题 解下列方程组 这题总会解吧 他点了点头 说 2 1 23 12 1 23 a ab 这就是解一个二元一次方程组 笔者特地强调了一句 今后要习惯于看这类问题 不 要被字母或者符号蒙蔽了问题本质 其实关于两个变量的方程组就是二元方程组 到此 应该说学生对解一次方程与二元一次方程组的问题也即 正向 解决有着清晰的认识了 问题 已知方程的解是 则 7xa 1x a 已知 是方程的一个解 则 3x 1y 38xay a 已知二元一次方程组的解是 则 5 2 axby bxay 4 3 x y A B C D 2 1 a b 2 1 a b 2 1 a b 2 1 a b 没等我写完题目 他们就报出了答案 这说明学生对方程的解与方程组的解的问题的 逆 3 向 认识上也不存在问题 笔者顺势追问道 那刚才的 原始问题 如何做呢 这位 准初二学生胸有成竹地做了起来 此时 我也看了看这位准高二学生做得如何 结果发现 两位不约而同地作了如下解答 令代入方程得1x 1 3 2 2 bkxakx 由题知 分别取和得即 2 1 23 kabk 0k 1k 020 1 23 12 1 23 ab ab 10 3 3 2 a b 点评 首先我肯定这位准初二学生 的确就他目前的知识水平而言 就只能用二元一次方 程组的思想方法解决了 但对这位准高二学生而言 我此时此刻在想 多读了三年的书 难道这题的解决办法只能与这位小师弟如出一辙吗 难道这三年的数学学习 对此题没有 一点帮助吗 这三年的书 读与不读 一样吗 带着这一串串疑问 我又重新思索起来 难道本题这两位学生真得理解了吗 他们已理解到什么程度呢 他们理解的程度一样吗 二 学生的思维在 变式 中流淌而增效 带着上述问题 笔者对问题进行了如下的变式与设计 试图进一步帮助他们建立对此 问题完整的认知结构 从而更好地暴露思维的探求过程 暴露方法 策略的提炼过程 出示 问题 已知关于的方程组 当为 时 方程组有 x y 231 1 2 xy xmy 1 2 m 一组解 当 时 方程组有无数组解 当我一出示这个问题时 这个准高二学生就动m 笔做起来了 而这位准初二学生就呆在这里 做了一会儿 我特叫这位准高二学生说说 你是如何想的 下面摘入他当时大致的想法与思路 解 由 得 再把 代入 式得 当 1 2 xmy 23 0my 时 即时 得 再把代入 式得 当230m 3 2 m 0y 0y 1 2 x 时 即时 得 所以无论取什么值都满足上式 这样取任230m 3 2 m 00y y 一个值再代入 式便得相应无数个的值 因此 此方程组就有无数组解 于是 yx 我就问这位准初二学生 怎么样 会做吗 他说 我听得懂 应该会做吧 不过我觉 4 得是不是可以这样做啊 然后 他讲了他的想法 能否把 2 式乘以 2 得 然后再与 1 式进行对比呢 但下面好像有一点糊涂 不过看他的答案 221xmy 我又好像觉得我这样做更容易些 原来他呆在这里 还大有想法 因此 我马上表扬 了他的想法 这位准高二学生也笑了 说道 噢 这个方法我这么没想到呢 其实 这位准初二学生在这里恰当地运用了一个合情推理 才使问题简洁明了 合情推理并非 是空中楼阁 而是对贮备知识的一种顿悟 这也是新课程加强的亮点 于是 我又问道 如果同这位同学的想法一样 的确简单 不过谁能倒过来更好地解析这个猜想的合理性 呢 他们两个面面相觑 从他们的表情中看出他们没找出答案 于是我又接着设计了下 列的问题链 问题 解关于的方程组 x y 4 258 mxy xy 1 2 结果他们两个都解出了这题 解法大致如下所示 由 1 得 4yxm 把 代入 2 得 解得 25 4 8xmx 25 12m x 当 即时 方程无解 则原方程组无解 250m 2 5 m 当 即时 方程解为250m 2 5 m 12 52 x m 将代入 得 12 52 x m 88 25 m y m 故当时 原方程组的解为 2 5 m 12 52 88 25 x m m y m 看他们这么快解出这道题目 我顺手将题目作了进一步改编 问题 解关于 的xy 方程组 其中 均为已知数 且与 与 111 222 a xb yc a xb yc 1 a 1 b 1 c 2 a 2 b 2 c 1 a 1 b 2 a 都至少有一个不等于零 结果这位准初二学生写出以下结果 2 b 当时 原方程组的解为 当时 原方程组无 2 121 0a bb a 2 12 1 2 121 2 121 2 121 c bb c x a bb a a cc a y a bb a 2 121 0a bb a 解 5 在此 我深有感触 学生的潜能是无限的 关键是看教师如何激发 授之以鱼 不如授 之以渔 而这位准高二学生写出以下结果 当时 原方程组有惟一解 当时 原方程组有无穷多组解 11 22 ab ab 111 222 abc abc 当时 原方程组无解 111 222 abc abc 其实 他们俩的写法都存在着一定的问题 不过这位准高二学生的写法蕴含着更深层的 含义 本题是一个含字母系数的二元一次方程组 它和数字系数的方程组的解法相同 但注 意求解时需要讨论字母系数的取值情况 就从这方面来说 学生已自觉地注意到分类讨论 在思维能力上就已迈进了一大步 这是可喜可贺的 此时 笔者已觉得从学生角度来继续 讲方程组的有关理论已经没必要了 同时 笔者也觉得通过上述的一系列变式好像把他们 俩带入了一片花丛中 只是看到了一望无际的花海 始终看不到花海的 另一边 于是笔 者追问了一句 从 问题 到 问题 为什么有时只有一解 有时有无数解 有时 无解呢 以及 原始问题 中为什么取和就行了呢 如果我们取别的值 结0k 1k k 果对的值会影响吗 a b 三 师生的观点在 拓展 中锤炼而开阔 带着这些解而未决的问题 我们又踏上了征途之旅 正如罗增儒教授所提倡的 解题 分析应该有 第二过程 的暴露 即倡导解题过程的 自觉分析 也就是要在暴露结论发 现 思路探求的基础上 继续反思数学解题的思维过程 从解决问题的方法与策略上加以 强化与提炼 这样才能更好地拓展师生 解题活动 的时间和空间 提升 解题活动 的 质量与功能 在此 笔者在想 我们该把学生带到 多高 的高度去看花海那一边的 风 景 呢 为此 笔者好好地对上述问题链进行了一番梳理与研究 觉得应该给学生渗透 烘托以下的思想方法 让学生体验如何用思想方法去分析和解决问题 从而更好地拓展对 知识本原的认识 加深对问题深层的理解 开阔学生的数学视野 观点之一 数形结合思想 笔者首先让学生相应翻开人教版 义务教育课程标准实验教科书数学 八年级 上册 43页看第一段 书中写道 一般地 每个二元一次方程组都对应两个一次函数 于是也 对应两条直线 从 数 的角度看 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相 6 等 以及这个函数值是何值 从 形 的角度看 解方程组相当于确定两条直线交点的坐 标 此时 两个学生不约而同地说 噢 刚才 问题 到 问题 的结果出现的情 况我明白了 其中那个准高二学生还补充了一句 这不是我们高中数学 必修 平 面解析几何初步中学的直线内容吗 准初二学生也接了一句 怎么 高中数学中还讲 这个啊 此时 我说道 对 函数 方程的知识在今后高中还会进一步学习 初中有 关这方面的内容还要达到活用的地步 对于上述问题中无数组解的问题 就是两条直线重 合时情形 这样理解起来就太直观 易懂了 看着他们兴趣昂然 余兴未减的样子 我就 趁热打铁顺势再将知识作了如下的拓展与讲述 过两相交直线和 111 0AxB yC 交点的直线系方程 式中 222 0A xB yC 111222 0AxB yCA xB yC 为任意常数 但不包括直线 如果取 方程变为 222 0A xB yC n m 式中 m n 不同时为零的常数 方程可表示 111222 0m AxB yCn A xB yC 过两已知直线交点的所有直线 讲述之后 我们便又对 原始问题 作了进一步解释 令代入方程1x 得 即按 k 为变量整理 得1 3 2 2 bkxakx2 1 23 kabk 只要把该等式中的相应地换成 即可很清晰地把问题化 15 0 3223 ba k a b x y 归为上述直线系问题 从而便也解决了 原始问题 中取别的值 结果对的值影响k a b 与不影响的问题 这让学生赏心悦目 觉得也挺容易接受的 这也正是新课程中需要加强 的 特别是在代数中介绍有关几何背景 也就是所谓的加强直观教学吧 观点之二 函数与方程思想 实际上 直线对应的就是二元一次方程与一次函数 因此 这块内容自然跟函数与方 程息息相关 而函数与方程是数学中重要的概念和思想 正如新教材主编所提倡的 对于 那些重要的概念和思想要螺旋上升地呈现 因此 从方程思想进一步考虑 进而 原始问 题 转化为对一切实数 k 恒成立问题 再加上学生对一个完全平方式 15 0 3223 ba k 或多个完全平方式之和恒等于零问题的启发 学生自然就想到 令即可得出答 1 0 32 5 0 23 b a 7 案 从函数思想进一步考虑 记 则是一个一次函数 进 15 3223 ba f kk f k 一步是一个零的常函数即可 所以 我们的教学一方面要不断地深化对方程和函数的理解 一方面要强化它们之间的联系 从函数角度提高对方程等内容的认识 剖析后 笔者给出了 问题 7 希望杯 邀请赛试题 当 b 1 时 关于 x 的方 程有无数多个解 则等于 32 23 87axbxx a A 2 B C D 不存在2 3 2 结果 他们都觉得这道竞赛题原来也不过如此 还给出两 三种方法解释 观点之三 特殊化的思想 其实 原始问题 中为什么取和就行了 这里也蕴含着这种将一般问题特0k 1k 殊化 从而更好地解决原问题的思想方法 也即特殊化思想 观点之四 向量的思想 进一步 原始问题 还可以用高中新课程中引进的平面向量来认识 即与平面向量基 本定理有密切关联 甚至可以用高等代数中有关线性代数知识来认识 当然 除了上述思想方法之外 在上述问题链中还有转化与化归思想 分类讨论思想 等都可以利用恰当的时机一一地向学生加以渗透 烘托 四 教师的教学观在 行动 中审视而践行 探究 问题链 的形成方式 落实问题链教学 在现有的新课程教材中 各知识有许多方面保留着较大余地 对形成 问题链 较为 有利 只要做一位 有心人 在教学中 对课本上的例 习题加以改编 挖掘同一领域内 容之间的相互关联 知识与系统之间的相互支撑 利用学生思维习惯与生活经验 在数学 核心概念 法则的内涵或外延处 形成递进或突变式的 问题链 在 链 的魅力下 实 现新课程所强调的 突出知识之间的联系与综合 的特征与理念 为学生提供一个自由发 展的思维平台 更好地提高课堂单位效益 把握 问题链 的思想内涵 加强思想方法教学 数学 问题链 的形成 实施中往往会于问题的解决中 揭示数学知识发生 发展的 过程 同时也是其思想方法产生 同化的过程 数学思想方法是对数学问题解决或构建所 做的整体性考虑 它来源于现实原型又高于现实原型 往往借助现实原型使数学思想方法 得以生动地表现 有利于对数学问题深入地理解和把握 但是大量的思想方法却是蕴含于 表层知识之中 处于潜形态 作为教师 教学过程中应该将深层知识揭示出来 将这些深 8 层知识由 潜形态 转变为 显形态 让学生对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰 理 解和掌握 这样才能根据学生实际 采取适当措施去体现思想方法的教学 但是结合初中 生的身心特点 数学教师应适时地利用 问题链 用简朴 易懂的范例 不断地渗透 烘 托常见的数学思想方法 在提升教师自身数学素养的同时 也为学生打开探究数学问题 掌握数学地思考本原的窗户 让窗户外的风景更好地纳入学生的视野范围 发挥 问题链 的教学功能 加强分层教学 新课程提出的核心理念 为了每一个学生的发展 是不容置疑的 体现在教学中 就是加强分层教学 即让 不同的人在数学上得到不同的发展 但课堂上做好这件事 按 现有班级授课方式 其艰难程度是不言而喻的 不过 问题链 是一个值得一试的方 法 从上述两位学生 特别是这位准初二学生来看 如果教师能通过合适的机会 搭建恰 当的平台 还是可以得到长足的发展 他甚至还可以理解到高一级的基础知识 进而反过 来推动对旧知识的深刻理解 因此 教师在平时的教学中 利用 问题链 强化分层教学 意识 为学生搭建好共同学习的平台的同时 发挥 问题链 的功能 递进层次分明 选 择性强和灵活性大 将不同学生的大脑中已有的知识储备同时激活 充分地利用初中数学 中隐含着的现代数学的一些原始生长点 能让每一个学生都有机会接触 了解 钻研自己 感兴趣的数学问题 最大限度的满足每一个学生的数学需要 最大限度的发挥每一个学生 的智慧潜能 而且 从面向每一个人出发 也能为有特殊才能和爱好的学生提供更多的发 展机会 真正地落实好新课程提出的 不同的人在数学上得到不同的发展 等理念 利用 问题链 的趋进模式 加强初高中衔接内容的研究 初中教材中有些内容特别是探究活动课的内容 是新课标的延续 也是高中内容的奠 基 将这些奠基用 问题链 的形式与探究活动 串联 起来 在学生学习方法上给予必 要的指导 使学生学会一些科学的学习方法 懂得知识间的来龙去脉 从而更好地拓展了 学生的知识观 学习观 加深对初中知识本原的理解