2012年高考数学二轮精品复习资料 专题07 立体几何（文）（教师版）

1 20122012 届高考数学二轮复习资料届高考数学二轮复习资料 专题七专题七 立体几何 文 立体几何 文 教师版 教师版 考纲解读考纲解读 1 掌握平面的基本性质 三个公理 三个推论 理解确定平面的条件 会用字母 集合语 言表示点 直线 平面间的关系 2 理解线线 线面平行的定义 熟练掌握线线 线面及面面平行的判定和性质 会运用线线 线面及面面平行的判定和性质进行推理和证明 3 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等简易组合 的三视图 能识别上 述三视图所表示的立体模型 会画它们的直观图 4 理解空间中线线 线面垂直定义及分类 理解空间中线线 线面 面面垂直的有关定理 及性质 会运用线面平行与垂直的判定与性质定理进行证明和推理 5 认识柱 锥 台 球及简单几何体的结构特征 并运用这些特征描述简单物体的结构 了 解柱 锥 台 球的表面积与体积的计算公式 不要求记忆 考点预测考点预测 1 对于空间几何体中点 线 面的位置关系及平行与垂直的性质和判定 高考中常在 选择题中加以考查 解答题主要考查空间几体的点 线 面的位置关系的证明及探索存在性 问题 着重考查学生的空间想象能力 推理论证能力 运用图形语言进行交流的能力及几 何直观能力 难度中等 明年高考将仍以平行与垂直关系的证明探究为重点 注意命题题型 的多样化 新颖化 如开放性 探索存在性题型 2 三视图与直观图 空间几何体的表面积与体积 考查了学生通过直观感知 操作确 认 思辨论证 度量计算等方法认识和探索几何图形及性质的基本能力 是每年高考必考 内容 明年高考仍以三视图 空间几何体的表面积与体积为重点 在客观题中加以考查 其中表面积与体积也可能在解答题题后一问中出现 要点梳理要点梳理 1 三视图 正俯视图长对正 正侧视图高平齐 俯侧视图宽相等 2 直观图 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于 y 轴 的线段平行性不变 但在直观图中其长度为原来的一半 3 体积与表面积公式 1 柱体的体积公式 锥体的体积公式 V 柱 ShV 锥 1 3 Sh 台体的体积公式 球的体积公式 V 棱台 1 3 h SSSS V 球 3 4 3 r 2 球的表面积公式 2 4SR 球 4 有关球与正方体 长方体 圆柱 圆锥 圆台的结合体问题 要抓住球的直径与这些 几何体的有关元素的关系 5 平行与垂直关系的证明 熟练判定与性质定理 考点在线考点在线 考点一考点一 三视图三视图 例例 1 1 20112011 年高考海南卷文科第年高考海南卷文科第 8 8 题 题 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如右图 则相应的侧视图可以为 2 答案答案 D 解析解析 由主视图和府视图可知 原几何体是由后面是半个圆锥 前面是三棱锥的组合体 所以 左视图是 D 名师点睛名师点睛 本题考查三视图的基础知识 备考提示备考提示 三视图是高考的热点之一 年年必考 所以必须熟练立体几何中的有关定理是 解答好本题的关键 练习练习 1 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 9 9 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如右图所示 则该几何体的左视图为 答案答案 D 解析解析 左视图即是从正左方看 找特殊位置的可视点 连起来就可以得到答案 考点二考点二 表面积与体积表面积与体积 例例 2 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 8 8 一个空间几何体得三视图如图所示 则该几何体的表面积 为 3 解析解析 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱 底面等腰梯形的上底为 2 下底 为 4 高为 4 两底面积和为 四个侧面的面积为 1 224424 2 所以几何体的表面积为 故选 C 4 422 17248 17 488 17 名师点睛名师点睛 本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法 备考提示备考提示 表面积与体积的求解也是高考的热点之一 年年必考 大多以三视图为载 体 在选择与填空题中考查 难度不大 也可能在解答题的一个问号 上 练习练习 2 2 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 4 4 设图 是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 942 3618 9 12 2 9 18 2 答案答案 D 解析解析 有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体 其 体积 3 439 3 3 2 18 322 V 考点三考点三 球的组合体球的组合体 例例 3 3 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 10 10 己知球的直径 SC 4 A B 是该球球面上的两 点 AB 2 则棱锥的体积为 45ASC SABC 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 4 A B C D 3 3 2 3 3 4 3 3 5 3 3 答案答案 C 解析解析 取 SC 的中点 D 则 D 为球心 则 AD BD DS 2 因为 ASC BSC 45 所以 SDB SDA 900 即 AD SC BD SC ABD 是等边三角形 故棱锥 S ABC 的体积等于棱 锥 S ABD 和棱锥 C ABD 的体积和 即 2 134 3 24 343 名师点睛名师点睛 本小题考查三棱锥的外接球体积的求解 关键是找出球的半径 备考提示备考提示 球的组合体 在高考中 经常考查球与长方体 正方体 三棱锥 四棱锥 圆锥 圆柱等的组合 熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键 练习练习 3 20112011 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 16 16 已知两个圆锥有公共底面 且两圆锥的顶点和底面的 圆周都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的 则这两个圆锥中 体积较小 3 16 者的高与体积较大者的高的比值为 答案答案 1 3 解析解析 设圆锥的底面半径为 球半径为 则 解得 所以对rR 22 3 4 16 rR 3 2 rR 应球心距为 故小圆锥的高为 大圆锥的高为 所以之比为 1 2 R 11 22 RRR 3 2 R 1 3 考点四考点四 空间中平行与垂直关系的证明空间中平行与垂直关系的证明 5 集合问题大都比较抽象 解题时要尽可能借助文氏图 数轴或直角坐标系等工 具将抽象问题直观化 形象化 明朗化 然后利用数形结合的思想方法使问题灵活 直观地获解 例例 4 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 19 19 如图 在四棱台中 平面 1111 ABCDABC D 1 D D 底面是平行四边形 60 ABCDABCDAB 2AD 11 AD A BBAD 证明 1 AABD 证明 11 CCA BD 平面 解析解析 证明 因为 所以设AB 2AD AD a 则 AB 2a 又因为60 所以在中 由余弦定理得 BAD ABD 所以 BD 所以 故 2222 2 22cos603BDaaaaa 3a 222 ADBDAB BD AD 又因为 平面 所以BD 又因为 所以平面 1 D D ABCD 1 D D 1 ADD DD BD 11 ADD A 故 1 AABD 2 连结 AC 设 ACBD 0 连结 由底面是平行四边形得 O 是 AC 的中点 由四 1 AOABCD 棱台知 平面 ABCD 平面 因为这两个平面同时都和平面 1111 ABCDABC D 1111 ABC D 相交 交线分别为 AC 故 又因为 AB 2a BC a 11 ACAC 11 AC 11 ACACAABC 120 所以可由余弦定理计算得 AC 又因为 A1B1 2a B1C1 所以 7a 3 2 a 111 A B C 120 6 可由余弦定理计算得 A1C1 所以 A1C1 OC 且 A1C1 OC 故四边形 OCC1A1是平行四边 7 2 a 形 所以 CC1 A1O 又 CC1平面 A1BD A1O平面 A1BD 所以 11 CCA BD 平面 名师点睛名师点睛 本题以四棱台为载体 考查空间中平行与垂直关系的论证 考查空间想 象能力 逻辑思维能力 分析问题与解决问题的能力 备考提示备考提示 熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键 练习练习 4 4 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 16 16 如图 在四棱锥中 平面 PAD 平面ABCDP ABCD AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 解析 证明 1 因为 E F 分别是 AP AD 的中点 所以 EF PD 又因为 EF平面 PCD PD平面 PCD 所以直线 EF 平面 PCD 2 设 AB AD 则 AF 又因为 BAD 60 2aa 所以在中 由余弦定理得 BF ABF 3a 所以 所以 BF AF 2222 4AFBFaAB 因为平面 PAD 平面 ABCD 交线为 AD 平面 ABCD 所以BF BF 平面 PAD 因为平面 BEF 所以平面 BEF 平面 PAD BF 易错专区易错专区 问题 三视图与表面积 体积问题 三视图与表面积 体积 例例 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 5 5 某几何体的三视图如图所示 则 它的体积是 A B 2 8 3 8 3 C D 82 2 3 答案答案 A 解析解析 由三视图可知该几何体为立方体与圆锥 立方体棱长为 2 圆锥底面半径为 1 高 7 为 2 所以体积为故选 A 32 1 212 3 2 8 3 名师点睛名师点睛 本小题以三视图为载体考查空间几何体的体积的求解 备考提示备考提示 由三视图准确判断几何体的形状以及找出几何体各个边长是解答此类问题 的关键所在 考题回放考题回放 1 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 8 8 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为 它2 3 的三视图中的俯视图如右图所示 左视图是一个矩形 则这个矩形的面积是 A 4 B c 2 D 2 33 答案答案 B 解析解析 设正三棱柱的侧棱长和底面边长为 a 则由 解得 a 2 正三棱 2 3 2 3 4 aa 柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同 故该矩形的面积是 3 2 22 3 2 2 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 6 6 1 l 2 l 3 l是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A 1223 ll ll 1 l 2 l B 12 ll 1 l 3 l 13 ll C 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 3 l共面 D 1 l 2 l 3 l共点 1 l 2 l 3 l共面 答案答案 B 解析解析 若则有三种位置关系 可能平行 相交或异面 故 A 不对 虽 1223 ll ll 13 l l 然 或共点 但是可能共面 也可能不共面 故 C D 也不正确 123 lll 123 l l l 123 l l l 3 20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 3 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其侧 面积等于 A B 2 C D 632 3 8 答案 D 解析 由正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 侧面积为 选 D 3 242 3 4 3 2 16 4 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 4 4 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 解析 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得 出答案 5 2010 2010 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 5 5 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的 正视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该集合体 的俯视图为 9 6 2010 2010 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 9 9 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积是 A 372 B 360 C 292 D 280 答案 B 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方 体的 4 个侧面积之和 2 10 8 10 28 2 2 6 88 2 360S 7 20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1111 已知是球表面上的点 S A B COSAABC 平面 则球的表面积等于ABBC 1SAAB 2BC O A 4 B 3 C 2 D 解析 选 A 由已知 球的直径为 表面积为O22RSC 2 44 R 8 2010 2010 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 8 8 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的 体积是 A cm3 B cm3 352 3 320 3 C cm3 D cm3 224 3 160 3 答案答案 B 解析解析 本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识 别以及几何体体积的计算 属容易题 9 2010 2010 年高考宁夏卷文科年高考宁夏卷文科 7 7 设长方体的长 宽 高分别为 2a a a 其顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 A 3a2 B 6a2 C 12a2 D 24a2 答案答案 B 解析解析 根据题意球的半径满足 所以R 22 2 6Ra 10 2 6Sa 球 10 20102010 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 4 4 用 表示三条不同的直线 表示平面 给出下abcy 列命题 若 则 若 则 abbcacabbcac 若 则 若 则 aybyabaybyab A B C D 11 2010 年高考全国年高考全国 卷文科卷文科 6 直三棱柱中 若 111 ABCA BC 90BAC 则异面直线与所成的角等于 1 ABACAA 1 BA 1 AC A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 延长 CA 到 D 使得 则为平行四边形 就是异面直ADAC 11 ADAC 1 DAB 线与所成的角 又三角形为等边三角形 1 BA 1 AC 1 ADB 0 1 60DAB 12 20102010 年高考全国年高考全国 卷文科卷文科 1212 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 答案 B 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为 则有h 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 22 max 2 212 3h max 4 3 3 V 13 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 15 15 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 点 E 为 AD 的中点 点 F 在 CD 上 若 EF 平面 AB1C 则线段 EF 的长度等于 11 答案 2 解析 由于在正方体中 AB 2 所以 AC 又 E 为 AD 中点 EF 平 1111 ABCDABC D 2 2 面 AB1C EF平面 ADC 平面 ADC平面 AB1C AC 所以 EF AC 所以 F 为 DC 中点 所以 EF 1 2 AC2 14 20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 1212 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 答案 3 解析 由三视图知 该几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱 棱柱的高为 1 梯形的 上下底面边长分别为 1 2 梯形的高为 2 所以这个几何体的体积为 1 12 2 13 2 15 20102010 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 6 6 已知四棱椎的底面是边长为 6 的正方形 侧PABCD 棱底面 且 则该四棱椎的体积是 PA ABCD8PA 答案 96 解析 考查棱锥体积公式96836 3 1 V 16 20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1616 如图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用粗线画 出了某多面体的三视图 则这个多面体最长的一条棱的 长为 12 答案 2 3 解析 图中四棱锥即是 所以最长的一条棱的长为PABCD 2 3 PB 17 2010 2010 年高考宁夏卷文科年高考宁夏卷文科 15 15 一个几何体的正视图为一个 三角形 则这个几何体可能是下列几何体中的 填入所有可能的几何体前的编号 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 答案 18 20102010 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 1414 圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水 若放入三个相同的珠 球的半么与圆柱的底面半径相同 后 水恰好 淹没最上面的球 如图所示 则球的半径是 cm 答案 4 解析 设球半径为 r 则由可得 解得 r 4 3VVV 柱柱柱 3 322 4 86 3 rrrr 19 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 2020 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形是正方形 ABCD 平面 分别为 的中点 且MA ABCD PDMAEGFMBPBPC 2ADPDMA I 求证 平面平面 EFG PDC II 求三棱锥与四棱锥的体积PMAB PABCD 之比 解析 I 证明 由已知 MA 平面 ABCD PD MA 所以 PD 平面 ABCD 又 BC 平面 ABCD 因为 四边形 ABCD 为正方形 所以 PD BC 又 PD DC D 因此 BC 平面 PDC 在 PBC 中 因为 G 平分为 PC 的中点 所以 GF BC 因此 GF 平面 PDC 13 又 GF 平面 EFG 所以 平面 EFG 平面 PDC 解 因为 PD 平面 ABCD 四边形 ABCD 为正方形 不妨设 MA 1 则 PD AD 2 ABCD 所以 Vp ABCD 1 3S正方形 ABCD PD 8 3 由于 DA 面 MAB 的距离 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离 三棱锥 Vp MAB 1 3 1 2 1 2 2 2 3 所以 Vp MAB p ABCD 1 4 高考冲策演练高考冲策演练 一 选择题 一 选择题 1 2009 年高考广东卷年高考广东卷 A 文科第文科第 6 题 题 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 w w w c o m 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 D 解析 错 正确 错 正确 故选 D 2 20092009 年高考湖南卷文科第年高考湖南卷文科第 6 6 题 题 平面六面体 1111 ABCDABC D 中 既与AB共面也 与 1 CC共面的棱的条数为 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 解析 如图 用列举法知合要求的棱为 BC CD 11 C D 1 BB 1 AA 故选 C 3 山东省青岛市山东省青岛市 20112011 年年 3 3 月高考第一次模拟月高考第一次模拟 已知直线 l m 平面 且l 14 m 则 是lm 的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 4 山东省济宁市山东省济宁市 2011 年年 3 月高三第一次模拟月高三第一次模拟 已知 a b 为直线 为平面 在下列四 个命题中 若 a b 则 a b 若 a b 则 a b 若 a a 则 若 b b 则 正确命题的个数是 A 1 B 3 C 2 D 0 答案 C 解析 由 垂直于同一平面的两直线平行 知 真 由 平行于同一平面的两直线平行或 异面或相交 知 假 由 垂直于同一直线的两平面平行 知 真 易知 假 选 C 5 山东省泰安市 山东省泰安市 2012 届高三上学期期末文科 届高三上学期期末文科 设 l m n 为不同的直线 为不 同的平面 有如下四个命题 若 若 l l则 l l则 若 若nlnmml 则 nmnm 则且 A 0B 1C 2D 3 答案 B 6 山东省济南一中 山东省济南一中 20122012 届高三上学期期末文科 届高三上学期期末文科 已知正三棱锥的主视图 俯VABC 视图如下图所示 其中 VA 4 AC 则该三棱锥的左视图的面积 32 A 9 B 6 C D 3339 15 答案 B 7 山东省烟台市山东省烟台市 20122012 届高三上学期期末文科届高三上学期期末文科 已知空间两条不同的直线和两nm 个不同的平面 则下列命题中正确的是 A 若 B 若 mnmn 则 m mnn 则 C 若 D 若 mnmn 则 mmnmn 则 答案 D 8 2011 年高考广东卷文科 9 如图 1 3 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分别为等边三角形 等腰三角形和菱形 则该几何体体积为 A B C D 2 4 342 3 答案答案 C 解析解析 由题得该几何体是如图所示的四棱锥 P ABCD 棱锥的高 323232 2 1 3 1 3312332312 2 2 VPOhAO 所以选择 C 9 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 4 4 若直线 不平行于平面 且 则 lala A 内的所有直线与 异面 B 内不存在与 平行的直线alal C 内存在唯一的直线与 平行 D 内的直线与 都相交alal 答案 B 解析 直线 不平行于平面 所以 与相交 故选 B lala la 10 20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 10 10 高为2的四棱锥SABCD 的底面是边长为 1 的正方形 点S A B C D均在半径为 1 的同一球面上 则底面ABCD的中心与顶点 16 S之间的距离为 A 10 2 B 23 2 C 3 2 D 2 答案 A 11 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 7 7 设球的体积为 V1 它的内接正方体的体积为 V2 下列说法 中最合适的是 A V1比 V2大约多一半B V1比 V2大约多两倍半 C V1比 V2大约多一倍D V1比 V2大约多一倍半 答案 D 解析 设球半径为 R 其内接正方体棱长为 a 则 即由 222 2aaaR 2 3 3 aR 比较可得应选 D 333 12 48 3 39 vR vaR 12 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 11 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如 下图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判断 可以 二 填空题 二 填空题 13 2009 年高考江苏卷第年高考江苏卷第 12 题 题 设和为不重合的两个平面 给出下列命题 17 1 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线 则平行于 2 若外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和平行 3 设和相交于直线l 若内有一条直线垂直于l 则和垂直 4 直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号 写出所有真命题的序号 答案 1 2 14 山东省济南市山东省济南市 20112011 年年 2 月高三教学质量调研文科月高三教学质量调研文科 已知右上图是一个空 间几何体的三视图 则该几何体的外接球的表面积为 答案 8 15 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 15 15 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 点 E 为 AD 的中点 点 F 在 CD 上 若 EF 平面 AB1C 则线段 EF 的 长度等于 答案 2 解析 由于在正方体中 AB 2 所以 AC 又 E 为 AD 中点 EF 平 1111 ABCDABC D 2 2 面 AB1C EF平面 ADC 平面 ADC平面 AB1C AC 所以 EF AC 所以 F 为 DC 中点 所 以 EF 1 2 AC2 16 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 15 15 已知正方体中 E 为的中点 则 1111 ABCDABC D 11 C D 异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为 答案 2 3 解析 取的中点 为所求角 设棱长为 2 则 11 ABFAEF 3 5 2AEAFEF 222 2 cos 23 AEEFAF AEF AEEF 三 解答题 三 解答题 17 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 20 20 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD AB AD 点 E 在线段 AD 上 且 CE AB 1 求证 CE 平面 PAD 18 11 若 PA AB 1 AD 3 CD CDA 45 求四棱锥 P ABCD 的体积2 解析 1 证明 因为 PA 平面 ABCD CE平面 ABCD 所以 PA CE 因为 AB AD CE AB 所以 CE AD 又 PAAD A 所以 CE 平面 PAD 2 解 由 1 可知 CE AD 在直角三角形 ECD 中 DE CD CE CD cos451 sin451 又因为 AB CE 1 AB CE 所以四边形 ABCE 为矩形 所以 又 PA 平面 ABCDABCEBCD SSS 1 2 AB AECE DE 15 1 21 1 22 ABCD PA 1 所以四棱锥 P ABCD 的体积等于 1155 1 3326 ABCD SPA 18 2009 年高考山东卷文科第年高考山东卷文科第 18 题 题 如图 在直四棱柱 ABCD A B C D 中 底面 ABCD 1111 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA 2 E E 分别是棱 AD AA 的中点 111 设 F 是 AB 的中点 证明 直线 EE 平面 FCC 11 证明 平面 平面 1 D AC 11 BBC C 解析解析 1 在直四棱柱 ABCD A B C D 中 1111 取 A1B1的中点 F1 连结 111 FF C F E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 19 由于 所以平面 1 FF 1 BB 1 CC 1 F 1 FCC 因此平面即为平面 连结 A1D CF1 1 FCC 11 C CFF 由于 CDA1F1CD 11 DC 所以四边形 A1F1CD 为平行四边形 因此 CF1 A1D 又因为 E E 分别是棱 AD AA 的中点 所以 EE1 A1D 11 所以 CF1 EE1 又因为平面 FCC 平面 FCC 1 EE 11 CF 1 所以直线 EE 平面 FCC 11 证明 连结 AC 在中 FC BC FB FBCV 又 F 为 AB 的中点 所以 AF FC FB 所以 AC BC 又 AC 且 1 CC 1 CCBCC 所以 AC 平面 又平面 11 BBC CAC 1 D AC 故平面 平面 1 D AC 11 BBC C 19 2010 2010 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 19 19 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是正方形 AB 2EF 2 EF AB EF FB BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 求证 FH 平面 EDB 求证 AC 平面 EDB 求四面体 B DEF 的体积 解析 1 设底面对角线交点为 G 则可以通过 证明 EG FH 得 平面 2 利用线FHEDB 线 线面的平行与垂直关系 证明 FH 平面 ABCD 得 FH BC FH AC 进而得 EG AC 平面 3 证明 BF 平面AC EDB CDEF 得 BF 为四面体 B DEF 的高 进而求体 A B C D E F H 20 1 1 2 1 2 ACBDGGACEG GHHBC GHAB EFABEFGH EGFHEGEDBFHEDB 证 设与交于点 则为的中点 连 由于为的中点 故 又四边形为平行四边形 而平面 平面 0 90 FBBFGFH FHBFFG HBCFHBC FHABCD FHACFHEGACEGACBDEGBDG ACEDB FBBFCBFCDEF BFBDEFBCA 证 由四边形ABC D 为正方形 有ABBC 又EF AB EFBC 而EF EF平面EF AB又为的中点 平面 又 又 平面 解