河南泌阳2011高考物理一轮复习 单摆 振动中的能量

用心 爱心 专心 1 20112011 河南泌阳高考物理一轮复习河南泌阳高考物理一轮复习 单摆单摆 振动中的能量振动中的能量 一 单摆一 单摆 1 单摆 在细线的一端挂上一个小球 另一端固定在悬点上 如果线的伸缩和质量可以 忽略 球的直径比线长短得多 这样的装置叫做单摆 这是一种理想化的模型 一般情况 下细线 杆 下接一个小球的装置都可作为单摆 2 单摆振动可看做简谐运动的条件是 在同一竖直面内摆动 摆角 100 3 单摆振动的回复力是重力的切向分力 不能说成是重力和拉力的合力 在平衡位置振 子所受回复力是零 但合力是向心力 指向悬点 不为零 4 单摆的周期 当 l g 一定 则周期为定值 T 2 gl 与小球是否运动无关 与 摆球质量m 振幅A都无关 其中摆长 l 指悬点到小球重心的距离 重力加速度为单摆所 在处的测量值 要区分摆长和摆线长 5 小球在光滑圆弧上的往复滚动 和单摆完全等同 只要摆角足够小 这个 振动就是简谐运动 这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差 6 秒摆 周期为 2s 的单摆 其摆长约为 lm 例例 1 1 如图为一单摆及其振动图象 回答 1 单摆的振幅为 频率为 摆长为 一周期内 位移 x F回 a Ep 最大的时刻为 解析解析 由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为 3crn 横坐 标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据 的时间 轴长度就是周期 T 2s 进而算出频率 f 1 T 0 5Hz 算出摆长 l gT2 4 2 1m 从图中看出纵坐标有最大值的时刻为 0 5 s 末和 1 5s 末 2 若摆球从 E 指向 G 为正方向 为最大摆角 则图象中 O A B C 点分别对应单摆 中的 点 一周期内加速度为正且减小 并与速度同方向的时间范围是 势能增加且速度为正的时间范围是 解析解析 图象中 O 点位移为零 O 到 A 的过程位移为正 且增大 A 处最大 历时 1 4 周 期 显然摆球是从平衡位置 E 起振并向 G 方向运动的 所以 O 对应 E A 对应 G A 到 B 的 过程分析方法相同 因而 O A B C 对应 E G E F 点 摆动中 EF 间加速度为正 且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小 所以是从 F 向 E 的 运动过程 在图象中为 C 到 D 的过程 时间范围是 1 5 2 0s 间 摆球远离平衡位置势能增加 即从 E 向两侧摆动 而速度为正 显然是从 E 向 G 的过 程 在图象中为从 O 到 A 时间范围是 0 0 5 s 间 3 单摆摆球多次通过同一位置时 下述物理量变化的是 A 位移 B 速度 C 加速度 D 动量 E 动能 F 摆线张力 解析解析 过同一位置 位移 回复力和加速度不变 由机械能守恒知 动能不变 速率也 不变 摆线张力 mgcos m v2 L 也不变 由运动分析 相邻两次过同一点 速度方向改 变 从而动量方向也改变 故选 B D 如果有兴趣的话 可以分析一下 当回复力由小变大时 上述哪些物理量的数值是变 小的 从 1 2 3 看出 解决此类问题的关键是把图象和实际的振动 一对应起来 用心 爱心 专心 2 4 当在悬点正下方 O 处有一光滑水平细钉可挡住摆线 且EO EO 则单摆周 期为 s 比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力 解析解析 放钉后改变了摆长 因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期 前已求出摆线长 为 lm 所以 T左 gl 1s 钉右侧的半个周期 T右 gl 4 0 5s 所以 T T左十 T 右 1 5s 由受力分析 张力 T mg mv2 L 因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变 球重力不变 挡后摆线长为挡前的 1 4 所以挡后绳张力变大 5 若单摆摆球在最大位移处摆线断了 此后球做什么运动 若在摆球过平衡位置时摆 线断了 摆球又做什么运动 解析解析 问题的关键要分析在线断的时间 摆球所处的运动状态和受力情 况 在最大位移处线断 此时球速度为零 只受重力作用 所以球做自由落 体运动 在平衡位置线断 此时球有最大水平速度 又只受重力 所以做平 抛运动 例例 2 2 有一个单摆 其摆长 l 1 02m 摆球的质量 m 0 1kg 从和竖 直方向成摆角 40的位置无初速度开始运动 如图所示 问 1 已知振动的次数 n 30 次 用了时间 t 60 8 s 重力加速度 g 多大 2 摆球的最大回复力多大 3 摆球经过最低点时速度多大 4 此时悬线拉力为多大 5 如果将这个摆改为秒摆 摆长应怎样改变 为什么 取 sin40 0 0698 cos40 0 9976 3 14 解析解析 1 50 单摆做简谐运动 其周期 T t n 60 8 30 s 2 027 s 根据 T 2gL 得 g 4 1 02 2 0272 9 791 m s2 2 最大回复力为 F1 mgsin4o 0 1 9 791 0 0698 N 0 068 N 3 单摆振动过程中 重力势能与动能互相转化 不考虑阻力 机械能守恒 其总机械能 E 等于摆球在最高处的重力势能 E 或在最低处的速度 v 0 4cos12 gL 0 219 m s 4 由 T mg mv2 L 得 悬线拉力为 T mg 十 mv2 L 0 l 10 十 0 l 0 2l92 1 02 0 52 N 5 秒摆的周期 T 2 s 设其摆长为 L0 根据 T 2gL 得 g 不变 则 T L 即 T T0 L 0 L 故 L0 T02L T2 22 l 02 2 0272 0 993m 其摆长要缩短 L L L0 l 02 m 0 993 m 0 027m 二 振动的能量二 振动的能量 1 对于给定的振动系统 振动的动能由振动的速度决定 振动的势能由振动的位移决 定 振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和 用心 爱心 专心 3 2 振动系统的机械能大小由振幅大小决定 同一系统振幅越大 机械能就越大 若无 能量损失 简谐运动过程中机械能守恒 做等幅振动 3 阻尼振动与无阻尼振动 1 振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动 2 振幅不变的振动为等幅振动 也叫做无阻尼振动 注意 注意 等幅振动 阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的 等幅振动不一定不受阻力 作用 4 受迫振动 1 振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动 2 受迫振动稳定时 系统振动的频率等于驱动力的频率 跟系统的固 有频率无关 5 共振 1 当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时 物体的振幅最大的现象叫做共振 2 条件 驱动力的频率等于振动系统的固有频率 3 共振曲线 如图所示 例例 3 3 行驶着的火车车轮 每接触到两根钢轨相接处的缝隙时 就受到一次撞击使车 厢在支着它的弹簧上面振动起来 已知车厢的固有同期是 0 58s 每根钢轨的长是 12 6 m 当车厢上 下振动得最厉害时 火车的车速等于 m s 解析解析 该题应用共振的条件来求解 火车行驶时 每当通过铁轨的接缝处就会受到一 次冲击力 该力即为策动力 当策动周期 T策和弹簧与车厢的国有周期相等时 即发生共 振 即 T策 T固 0 58 s T策 t L v 将 代入 解得 v L 0 58 21 7 m s 答案答案 21 7m s 规律方法规律方法 1 1 单摆的等效问题 单摆的等效问题 等效摆长 如图所示 当小球垂直纸面方向运动时 摆长为 CO 等效重力加速度 当单摆在某装置内向上运动加速度为 a 时 T 2 agl 当向上减速时 T 2 agl 影响回复力的等效加 速度可以这样求 摆球在平衡位置静止时 摆线的张力 T 与摆球质量的比值 例例 4 4 如图所示 在光滑导轨上有一个滚轮 A 质量为 2m 轴上系一根长 为 L 的线 下端悬挂一个摆球 B 质量为 m 设 B 摆小球作小幅度振动 求振 动周期 分析分析 将 2m 的 A 球和 m 的 B 球组成系统为研究对象 系统的重心 O 点可 视为单摆的悬点 利用水平方向动量守恒可求出等效摆长 解析解析 A 和 B 两物体组成的系统由于内力的作用 在水平方向上动量守恒 因此 A 和 B 速度之比跟质量成反比 即 vA vB mB mA 1 2 因此 A 和 B 运动过 程中平均速度 A v B v 1 2 亦即位移 SA SB 1 2 因为 OAA OBB 则 OB OA 2 1 对 B 球来说 其摆长应为 2 3 L 因此 B 球的周期 T 2 gL 3 2 说明说明 据动量守恒条件 2m 在 A 位置时 m 在 B 位置 当 2 m 运动到 A 时 m 运动到 B 例例 5 5 如图所示 三根细线 OA OB OC 结于 O 点 A B 端固 30 0 BA C O 用心 爱心 专心 4 定在同一水平面上且相距为 L 使 AOB 成一直角三角形 BAO 300 已知 OC 绳长也为 L 下端 C 点系一个可视为质点的小球 下面说法中正确的是 A 当小球在纸面内做小角度振动时 周期为 g l T 2 B 当小球在垂直纸面方向做小角度振动时 周期为 3 2 2 l T g C 当小球在纸面内做小角度振动时 周期为 3 2 2 l T g D 当小球在垂直纸面内做小角度振动时 周期为 g l T 2 解析解析 当小球在纸面内做简谐振动时 是以 0 点为圆心 OC 长 L 为半径做变速圆周运动 OA 和 OB 绳没有松弛 其摆长为 L 所以周期是 g l T 2 当小球在垂直于纸面的方向上 做简谐振动时 摆球是以 OC 的延长线与 AB 交点为圆心做振动 其等效的摆长为 L 十 Lsin600 2 L 十3L 4 其周期为 43 2 4 L T g 故选 A 拓展拓展 若将上题中的小球改为装满沙子的漏斗 在漏斗摆动的过程中 让沙子匀速的从 漏斗底部漏出 则单摆的周期如何变化 因沙子遂渐漏出 其重心的位置先下移后上升 等效摆长先增加后减小 所以周期先变长后减小 例例 5 5 在图中的几个相同的单摆在不同的条件下 关于它们的周期关系 判断正确的 是 A T1 T2 T3 T4 B T1 T2 T3 T4 C T1 T2 T3 T4 D T1 T2 T3 T4 解析解析 单摆的周期与重力加速度有 关 这是因为是重力的分力提供回复力 当 单摆处于 1 图所示的条件下 当摆球偏离 平衡位置后 是重力平行斜面的分量 mgsin 沿切向分量提供回复力 回复力相对竖直放置的单摆是减小的 则运动中的加 速度减小 回到平衡位置的时间变长 周期 T1 T3 对于 2 图所示的条件 带正电的摆 球在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力 但是两球间的斥力与运动的方向总是 垂直 不影响回复力 故单摆的周期不变 T2 T3 在 4 图所示的条件下 单摆与升降 机一起作加速上升的运动 也就是摆球在该升降机中是超重的 相当于摆球的重力增大 沿摆动的切向分量也增大 也就是回复力在增大 摆球回到相对平衡的位置时间变短 故 周期变小 T4 T3 综上所述 只有 C 选项正确 点评点评 对于单摆的周期公式 在摆长不变的条件下 能影响单摆振动的周期的因素就是 运动过程中的回复力发生的变化 回复力增大 周期变小 回复力变小 周期变大 这是 用心 爱心 专心 5 判断在摆长不变时单摆周期变化的唯一 2 2 摆钟问题 摆钟问题 单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟 在计算摆钟类的问题时 利用 以下方法比较简单 在一定时间内 摆钟走过的格子数n与频率f成正比 n可以是分钟 数 也可以是秒数 小时数 再由频率公式可以得到 ll g fn 1 2 1 例例 6 6 有一摆钟的摆长为 ll时 在某一标准时间内快 amin 若摆长为 l2时 在同一标 准时间内慢 bmin 求为使其准确 摆长应为多长 可把钟摆视为摆角很小的单摆 解析解析 设该标准时间为 ts 准确摆钟摆长为 lm 走时快的钟周期为 T1s 走慢时的周期为 T2s 准确的钟周期为 T3 不管走时准确与否 钟摆 每完成一次全振动 钟面上显示时间都是 Ts 法一 由各摆钟在 ts 内钟面上显示的时间求解 对快钟 t 60a 1 T t T 对慢钟 t 60a 2 T t T 联立解 可得 b a 2 1 1 1 TT TT 22 11 LLL LLL 最后可得 L 2 21 21 2 LbLa LLba 法二 由各摆钟在 ts 内的振动次数关系求解 设快钟的 t s 内全振动次数为 nl 慢钟为 n2 准确的钟为 n 显然 快钟比准确的 钟多振动了 60a T 次 慢钟比准确的钟少振动 60b T 次 故 对快钟 nl t T1 n 60a T t T 60a T 对慢钟 n2 t T2 n 60b T t T 60b T 联解 式 并利用单摆周期公式 T 2gL 同样可得 L 2 21 21 2 LbLa LLba 点窍点窍 对走时不准的摆钟问题 解题时应抓住 由于摆钟的机械构造所决定 钟摆每 完成一次全振动 摆钟所显示的时间为一定值 也就是走时准确的摆钟的周期 T 3 3 单摆的综合应用 单摆的综合应用 例例 7 7 图中两单摆摆长相同 平衡时两摆球刚好触 现将摆球 A 在两摆线所在平面向 左拉开一小角度后释放 碰撞后 两球分开各自做简谐运动 以 mA mB分别 表示摆球 A B 的质量 则 A 如果 mA mB 下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B 如果 mA mB 下一次碰撞将发生在平衡位置左侧 C 无论两摆球的质量之比是多少 下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧 D 无论两摆球的质量之比是多少 下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧 解析解析 由于两球线长相等 所以两球做单摆运动的周期必然相等 两球相碰后有这几种可 能 碰后两球速度方向相反 这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等 故两球只能在平衡位置相遇 碰后两球向同一方向运动 则每个球都先到达最大位移处然 后返回平衡位置 所用的时间也都是半个周期 两球仍只能在平衡位置相遇 碰后一球静止 而 用心 爱心 专心 6 另一球运动 则该球先到最大位移又返回到平衡位置 所用时间还是半个周期 在平衡位置相 遇 因此 不管 mA mB 还是 mA mB 还是 mA mB 无论摆球质量之比为多少 下一次碰 撞都只能发生在平衡位置 也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧 所以选项 C D 正确 拓展拓展 两球的碰撞是否是弹性碰撞 例例 8 8 如图所示 两个完全相同的弹性小球 1 2 分别挂在长 L 和 L 4 的细 线上 重心在同一水平面上且小球恰好互相接触 把第一个小球向右拉开一个不 大的距离后由静止释放 经过多长时间两球发生第 10 次碰撞 解析 因将第 1 个小球拉开一个不大的距离 故摆动过程应符合单摆的周期公式 有 1 2 L T g 2 4 2 L T g 系统振动周期为 12 3 222 TTL T g 在同一个 T 内共 发生两次碰撞 球 1 从最大位移处由静止释放后 经 15 5 2 L T g 发生 10 次碰撞 且第 10 次碰后球 1 又摆支最大位移处 1 15 7 24 TLL t gg 例例 9 9 如图所示 AB 为半径 R 7 50 m 的光滑的圆弧形导轨 BC 为长 s 0 90m 的光滑 水平导轨 在 B 点与圆弧导轨相切 BC 离地高度 h 1 80 m 一质量 m1 0 10 kg 的小球置 于边缘 C 点 另一质量 m2 0 20 kg 的小球置于 B 点 现给小球 m1一个瞬时冲量使它获得 大小为 0 90 m s 的水平向右速度 当 m1运动到 B 时与 m2发生弹性正碰 g 取 10 m s2 求 1 两球落地的时间差 t 2 两球落地点之间的距离 s 解析 1 m1与 m2发生弹性正碰 则设碰后 m1和 m2速度分别为 v1 和 v2 有 101 122 mvmvm v 2 2 2 101122 111 222 mvmvm v 得 v1 一 0 3 m s v 2 0 6 m s 可见 m1以 0 3 m s 速度反弹 从 B 到 C t s v1 3s m2以 0 6 m s 速度冲上圆弧轨道 可证明 m2运动可近似为简谐运动 在圆弧上运动时间为 2 TR g 2 72 s 再从 B 到 C t2 s v2 1 5s 则 t t2 T 2 一 t1 1 22 s 2 利用平抛运动知识不难求得 s 0 18 m 例例 10 10 在长方形桌面上放有 秒表 细绳 铁架台 天平 弹簧秤 钩码 怎样从中选 取器材可较为准确地测出桌面面积 S 并写出面积表达式 解析 用细绳量桌面长 并用此绳 包括到钩码重心 钩码 铁架台做成单摆 由秒表 测出其振动周期 T1 同理量桌面宽 做单摆 测出周期 T2 答案 S 4 2 2 2 1 2 16 TTg 试题展示试题展示 用心 爱心 专心 7 1 1 一单摆的摆长为 L 摆球的质量为 m 原来静止 在一个水平冲量 I 作用下开始摆 动 此后 每当摆球经过平衡位置时 便给它一个与其速度方向一致的冲量 I 求摆球经 过多长时间后其摆线与竖直方向间的夹角可以达到 50 不计阻力