matlab中方程根的近似计算

实验一实验一 方程根的近似计算方程根的近似计算 一 问题一 问题 求非线性方程的根 二 实验目的二 实验目的 1 学会使用 matlab 中内部函数 roots solve fsolve fzero 求解方程 并用之 解决实际问题 4 熟悉 Matlab 的编程思路 尤其是函数式 M 文件的编写方法 三 预备知识三 预备知识 方程求根是初等数学的重要内容之一 也是科学和工程中经常碰到的数值 计算问题 它的一般形式是求方程 f x 0 的根 如果有 x 使得 f x 0 则称 x 为 f x 0 的根 或函数 f x 的零点 并非所有的方程都能求出精确解或解析 解 理论上已经证明 用代数方法可以求出不超过 3 次的代数方程的解析解 但对于次数大于等于 5 的代数方程 没有代数求根方法 即它的根不能用方程 系数的解析式表示 至于超越方程 通常很难求出其解析解 不存在解析解的 方程就需要结合具体方程 函数 的性质 使用作图法或数值法求出近似解 而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景 使之成为科学和 工程中最实用的方法之一 下面介绍几种常见的求近似根的方法 1 求方程近似解的简单方法求方程近似解的简单方法 1 1 图形方法图形方法 放大法求根放大法求根 图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法 不过 不要总是想得到根 的精确值 这些值虽然粗糙但直观 多少个根 在何范围 一目了然 并且还 可以借助图形局部放大功能 将根定位得更加准确一些 例 1 1 求方程 x5 2x2 4 0 的所有根及其大致分布范围 解 1 画出函数 f x x5 2x2 4 的图形 确定方程的实数根的大致范围 为此 在 matlab 命令窗中输入 clf ezplot x x grid on hold on ezplot x 5 2 x 2 4 2 pi 2 pi 6 4 20246 6000 4000 2000 0 2000 4000 6000 x x5 2 x2 4 1 1 函数函数 f x x5 2x2 4 的图形的图形 clf x 2 pi 0 1 2 pi y1 zeros size x y2 x 5 2 x 2 4 plot x y1 x y2 grid on axis tight title x 5 2x 2 4 xlabel x 6 4 20246 8000 6000 4000 2000 0 2000 4000 6000 8000 x5 2x2 4 x 从图 1 1 可见 它有一个实数根 大致分布在 2 与 2 之间 2 将作图范围不断缩小 用放大法可得到精度越来越高的根的近似值 在 matlab 命令窗中先后键入 subplot 2 2 1 ezplot x x grid on hold on ezplot x 5 2 x 2 4 2 2 subplot 2 2 2 ezplot x x grid on hold on ezplot x 5 2 x 2 4 2 1 subplot 2 2 3 ezplot x x grid on hold on ezplot x 5 2 x 2 4 1 6 1 5 subplot 2 2 4 ezplot x x grid on hold on ezplot x 5 2 x 2 4 1 55 1 54 2 1012 10 0 10 20 30 x x5 2 x2 4 2 1 5 1 20 10 0 x x5 2 x2 4 1 6 1 55 1 5 1 0 1 x x5 2 x2 4 1 55 1 545 1 54 0 1 0 0 1 x x5 2 x2 4 图 1 2 放大法求函数 f x x5 2x2 4 的根 由图 1 2 可知 方程的根在 1 545 与 1 54 之间 1 2 数值方法数值方法 非线性方程 f x 0 求根的方法有区间法和迭代法两大类 二分法 弦位法 是区间法 简单迭代法和牛顿迭代法及其变形是迭代法 这里只给出二分法 简单迭代法和牛顿迭代法的构造过程 1 根的隔离与二分法 根的隔离与二分法 根的隔离思想来源于连续函数的零点定理 若函数 f x 在闭区间 a b 上连续 且 f a f b 0 则方程 f x 0 在 a b 内至 少有一根 x 二分法是最简单的求根方法 它是利用连续函数的零点定理 将含根区间 逐次减半缩小 取区间的中点构造收敛点列 xn 来逼近根 x 用该方法求 f x 0 的近似解可分两步做 第一步 确定根的近似位置或大致范围 即确定一个区间 a b 使所求根是 位于这个区间内的唯一实根 这个区间称为根的隔离区间 这可以通过函数作 图达到 先画出 y f x 的图形 然后从图上定出它与 x 轴交点的大概位置 第二步 以根的隔离区间 a b 的端点作为根的初始近似值 用二分法逐步 改进根的近似值的精确度 直至求得满足精确度的近似解 具体步骤如下 取 a b 的中点 x0 a b 2 若 f x0 0 则 x0就是 f x 0 的根 x 若 f a f x0 0 则根 x 必在区间 a x0 内 取 a1 a b1 x0 否则根 x 必在区间 x0 b 内 取 a1 x0 b1 b 这样 得到新区间 a1 b1 其长度为 a b 的一半 如此继续下去 进行 n 等分后 得到一组不断缩小的区间序列 a b a1 b1 a2 b2 an bn 和对应区间的中点数列 xn an bn 2 n 0 1 2 其中每个区间都含有根 x 满 足 a b a1 b1 a2 b2 an bn 且每个区间的长度都是前一区间长度的一半 由于 an bn 的长度为 b a 2n 当 n 不断变大时 这些区间将收敛于一点 x 该点即为所求的根 当做到第 n 步时 有 1 11 2 2 n nnn xxbaba 选择适当的步数 n 就可达到满意的精度 用二分法 理论上区间中点序列 xn 将收敛到根的真值 但收敛速度较慢 所以通常用二分法为其他方法提供初步的近似值 2 简单迭代法 简单迭代法 迭代法的基本原理是构造一个迭代公式 反复用它得出一个逐次逼近方程 根的数列 数列中每一项都是方程根的近似值 只是精度不同 简单迭代法也 成逐次迭代法 是非线性方程求根中各类迭代法的基础 由于对方程作等价变换根不发生变换 将方程 f x 0 等价变换为 xx 构造迭代计算公式 取定初值 x0 算出数列 xn 如果 xn 收敛于 1 nn xx x 则有 1 limlim lim nnn nnn xxxxx 这说明 x 就是方程 f x 0 的根 上面称为不动点方程 称 xx x 为迭代函数 数列 xn 称为迭代数列 3 牛顿迭代法 牛顿迭代法 如果 f x 在 a b 上具有二阶导数 f a f b err x a ya eval f x b yb eval f x c yc eval f if ya yc erfenfa 输入函数 f x x 3 1 1 x 2 0 9 x 1 4 输入区间 0 1 输入误差 0 001 x0 0 5000 x0 0 7500 x0 0 6250 x0 0 6875 x0 0 6563 x0 0 6719 x0 0 6641 x0 0 6680 x0 0 6699 x0 0 6709 由此得到 方程的根的近似值为 0 6709 2 编写牛顿迭代法求根程序 求 1 中方程 x3 1 1x2 0 9x 1 4 0 的实根的近 似值 并计算迭代次数为 6 的近似根 解 由 1 可知 0 5 1 是根所在的区间 在 0 5 1 上 f x x3 1 1x2 0 9x 1 4 f x 3 x2 2 2x 0 9 f x 6x 2 2 f x 与 f x 在 0 5 1 上保持同号 f 1 0 与 f 1 同号 所以取 x0 1 为迭代 初始值 用 matlab 语言编写一般的程序如下 f input 输入函数 输入函数 f x n input 请输入迭代次数 请输入迭代次数 n x0 input 请输入迭代初始值 请输入迭代初始值 x0 f1 diff f format long for i 1 n x x0 fx0 eval f f1x0 eval f1 x0 x0 fx0 f1x0 fprintf x0 12 10f n x0 end 存为文件 niudunfa m 调用及运行结果如下 niudunfa 输入函数 f x x 3 1 1 x 2 0 9 x 1 4 请输入迭代次数 n 6 请输入迭代初始值 x0 1 x0 0 x0 0 x0 0 x0 0 x0 0 x0 0 由此得到 方程的根的近似值为 0 3 用 matlab 中的内部函数求方程的根 1 用 roots 求方程 x9 x8 1 0 的根 2 用 solve 求上述方程的根 3 用 fzero 求方程 x2 4sinx 25 的实根 4 用 fsolve 求方程 x e x在 0 附近的根 解 1 在 matlab 命令窗口输入命令 p zeros 10 1 p 1 2 end 1 1 roots p ans 1 9643 0 8254 0 2893i 0 8254 0 2893i 0 6575 0 3146i 0 6575 0 3146i 0 6573 0 4660i 0 6573 0 4660i 0 8075 0 7906i 0 8075 0 7906i 2 在 matlab 命令窗口输入命令 solve x 9 x 8 1 0 ans RootOf X1 9 X1 8 1 X1 3 首先作图确定根的大致范围 clf ezplot x x grid on hold on ezplot x 2 4 sin x 25 6 4 20246 30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 x x2 4 sin x 25 图 1 6 由图 1 6 可确定两根在 x1 4 x2 5 附近 再具体求根 x1 fzero x 2 4 sin x 25 4 x2 fzero x 2 4 sin x 25 5 x1 4 8049 x2 5 6235 4 在 matlab 命令窗口输入命令 x fsolve x exp x 0 Optimization terminated first order o