2012高二数学上册 8.2《向量的数量积》教案（1） 沪教版

1 1 1 向量的数量积向量的数量积 1 1 教学目标设计教学目标设计 1 通过物理学中力的做功 领会向量的数量积的定义及几何意义 理解向量数量积的性 质及运算律 2 领略猜想 论证的数学思想 体会其中的数学思维过程 3 感捂数学来自于生活实践 数学与其它自然科学密切相关 增强学习数学的兴趣 教学重点及难点教学重点及难点 重点 平面向量的数量积的定义 性质的及其初步应用 难点 向量的数量积性质的应用 教学用具准备教学用具准备 直尺 投影仪 教学过程设计教学过程设计 一 情景引入 我们学过功的概念 即一个物体在力的作用下产生位移 那么力所做的功f s f 其中表示一个什么角度 cosWfs 表示力的方向与位移的方向的夹角 f s 基于这种运算的大量存在和普遍应用 我们对上述物理意义下的 功 概念进行抽象 就一般向量 来规定的含义 a b cosa b 二 学习新课 首先学习向量的夹角的概念 1 对于两个非零向量 如果以为起点 作 那么射线的夹a b O OAa OBb OA OB 角叫做向量与向量的夹角 其中 a b 0 f s 2 OAB O O O AA A B B B 的夹角为 向量与向量方向相同 OA OB 0a b 的夹角为 向量与向量方向相反 OA OB a b 所以时 表示向量与向量平行 记作 0 a b ab 的夹角为 OA OB AOB 其中当时 表示向量与向量垂直 记作 2 a b ab 的夹角为OA OB 规定 与其它向量的夹角可根据需要确定 0 2 如果两个非零向量的夹角为 那么我们把叫做向量与 a b 0 cosa b a 向量的数量积 记做 即 b a b Acosa ba b A 按数量积的定义 在力的作用下 物体产生位移所做的功可表示为 f s WWfs 特别地 的数量积记作 读作向量的数量平方 显然 a a 2 a a 2 2 aa 规定 零向量与任意向量的数量积为 即 000a 00a 注意 两向量的数量积是一个数量 而不是向量 符号由夹角决定 一种新的运算法则 以前所学的数的运算律 性质不一定适合 不能写成 表示向量的另一种运a b a bab 或a b 算 例 1 如图 已知是边长为 6 的正三角形 求和ABC AB AC AB BC 课本 P64 例 1 O A B 2 A BC 60 120 3 解 因为 所以60ABAC 与的夹角为 AB AC 1 cos606 618 2 ABAC 因为120ABBC 与的夹角为 所以 BABC 1 B cos1206 618 2 ABC 3 数量积的几何意义 定义 叫做向量在方向上的投影 cosb b a 注意 投影也是一个数量 不是向量 当为锐角时投影为正值 1 OB 当为钝角时投影为负值 1 OB 当为直角时投影为 0 当时投影为 0 b 当时投影为 180 b 向量的数量积的几何意义 数量积等于的长度与在方向上投影 的乘积 a b a b a cosb 正如物理上力所做的功实际上是将力正交分解 只有在位移方向上的力做功 思考 向量在方向上的投影 能否由的运算表示 b a cosb a b 答 根据的数量积定义可知 a b cos a b b a a a AO O B O B1 O b A O O B O B1 O b A O O B O B1 O a b 4 由此可知向量在方向上的射影线段长短b a 1 a b OB a 4 向量的数量积的运算性质 对于 有R 1 当且仅当时 2 0 a aa 0a a a 0 2 a bb a 证明 设的夹角为 则 a b cosa ba b cosb ab a a bb a 3 ababa b 证明 若 0 cosaba b cosa ba b cosaba b 若 0 coscoscosaba ba ba b cosa ba b coscoscosababa ba b 4 abca ba c 证明 1 如果至少有一个是 上述等式显然成立 a b c 0 2 如果都是非零向量 a b c 在平面内取一点 作 O OAa OBb BCc 即 在方向上的投影 bc OC a 等于在方向上的投影和 b c a 即 12 coscoscosbcbc O A a b c 2 1 B B C C OA a b c 2 1 C C B B 5 12 coscoscosa bca ba c abca ba c 三 巩固练习 判断下列结论是否正确 1 若 0 则或 a b 0a 0b 2 若 则 a ba c bc 3 若为不共线向量 则 a b c a b ca b c 4 不与垂直 b c ac a b c 四 课堂小结 l 向量的数量的物理模型是力的做功 2 的几何意义 a b cosa b 3 的结果是实数 标量 a b 4 向量的数量积的四条运算性质 五 作业布置 练习 8 2 1 P67 1 1 2 习题 8 2 P34 1 1 2 3 教学设计说明及反思 本节课通过创设物理模型和简单实例等数学情景 使得抽象的数学概念变得具体 形象 而又生动 具体的物理概念先给数学做了铺垫 但是在领悟数学概念的同时 也对物理概念 有了更加深刻的理解 促进了对学科知识之间的融会贯通 探究新课的过程中 通过数与形 的结