2016全国卷3高考试题及答案-理科数学

绝密绝密 启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型 试题类型 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项 注意事项 1 本试卷分第本试卷分第 卷卷 选择题选择题 和第和第 卷卷 非选择题非选择题 两部分两部分 第第 卷卷 1 至至 3 页 第页 第 卷卷 3 至至 5 页页 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置 3 全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效 4 考试结束后 将本试题和答题卡一并交回考试结束后 将本试题和答题卡一并交回 第第 卷卷 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 设集合 S 则 ST x 2 x 3 0 T0Sxx x PI A 2 3 B 2 3 U C 3 D 0 2 3 U 2 若 z 1 2i 则 4 1 i zz A 1 B 1 C i D i 3 已知向量 则ABC 12 22 BA uu v 3 1 22 BC uu u v A 300 B 450 C 600 D 1200 4 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况 绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图 图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C B 点表示四月的平均最低气 温约为 50C 下面叙述不正确的是 A 各月的平均最低气温都在 00C 以上 B 七月的平均温差比一月的平均温差大 C 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D 平均气温高于 200C 的月份有 5 个 5 若 则 3 tan 4 2 cos2sin2 A B C 1 D 64 25 48 25 16 25 6 已知 则 4 3 2a 3 4 4b 1 3 25c A B C D bac abc bca cab 7 执行下图的程序框图 如果输入的 a 4 b 6 那么输出的 n A 3 B 4 C 5 D 6 8 在中 BC 边上的高等于 则 ABC 4 B 1 3 BCcos A A B C D 3 10 10 10 10 10 10 3 10 10 9 如图 格纸上小正方形的边长为 1 粗实现画出的是某多面体的三视图 则该多面体的 表面积为 A 1836 5 B 54 18 5 C 90 D 81 10 在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1内有一个体积为 V 的球 若 ABBC AB 6 BC 8 AA1 3 则 V 的最大值是 A 4 B C 6 D 9 2 32 3 11 已知 O 为坐标原点 F 是椭圆 C 的左焦点 A B 分别为 22 22 1 0 xy ab ab C 的左 右顶点 P 为 C 上一点 且 PF x 轴 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M 与 y 轴 交于点 E 若直线 BM 经过 OE 的中点 则 C 的离心率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 12 定义 规范 01 数列 an 如下 an 共有 2m 项 其中 m 项为 0 m 项为 1 且对任意 中 0 的个数不少于 1 的个数 若 m 4 则不同的 规范 01 数列 共2km 12 k a aa 有 A 18 个 B 16 个 C 14 个 D 12 个 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 5 分 13 若 x y 满足约束条件 则 z x y 的最大值为 1 0 2 0 2 2 0 14 函数的图像可由函数的图像至少向右平移 sin 3cos sin 3cos 个单位长度得到 15 已知 f x 为偶函数 当时 则曲线 y f x 在带你 1 0 ln 3 3 处的切线方程是 16 已知直线与圆交于 A B 两点 过 A B 分别做 3 3 0 2 2 12 l 的垂线与 x 轴交于 C D 两点 若 则 2 3 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列的前 n 项和 其中0 1 1 I 证明是等比数列 并求其通项公式 II 若 求 5 31 32 18 本小题满分 12 分 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 单位 亿吨 的折线图 I 由折线图看出 可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 请用相关系数加以说明 II 建立 y 关于 t 的回归方程 系数精确到 0 01 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 地面 ABCD AD BC AB AD AC 3 PA BC 4 M 为 线段 AD 上一点 AM 2MD N 为 PC 的中点 I 证明 MN 平面 PAB II 求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 20 本小题满分 12 分 已知抛物线 C 的焦点为 F 平行于 x 轴的两条直线分别交 C 于 A B 两点 2 2yx 12 l l 交 C 的准线于 P Q 两点 I 若 F 在线段 AB 上 R 是 PQ 的中点 证明 AR FQ II 若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍 求 AB 中点的轨迹方程 21 本小题满分 12 分 设函数 f x acos2x a 1 cosx 1 其中 a 0 记的最大值为 A x 求 f x 求 A 证明 2A x 请考生在请考生在 22 23 24 题中任选一题作答 作答时用题中任选一题作答 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题铅笔在答题卡上把所选题目题 号后的方框涂黑 如果多做 则按所做的第一题计分 号后的方框涂黑 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O 中的中点为 P 弦 PC PD 分别交 AB 于 E F 两点 A AB I 若 PFB 2 PCD 求 PCD 的大小 II 若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G 证明 OG CD 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 曲线的参数方程为 以坐标原点为极点 1 C 3cos sin x y 为参数 以 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 2 Csin 2 2 4 I 写出的普通方程和的直角坐标方程 1 C 2 C II 设点 P 在上 点 Q 在上 求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 1 C 2 C 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 2 f xxaa I 当 a 2 时 求不等式的解集 6f x II 设函数当时 f x g x 3 求 a 的取值范围 21 g xx x R 绝密绝密 启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型 新课标试题类型 新课标 20162016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案理科数学答案 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 D 2 C 3 A 4 D 5 A 6 A 7 B 8 C 9 B 10 B 11 A 12 C 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题 考生都必须作答 第 22 题 第 24 题未选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 5 分 13 3 2 14 3 15 21yx 16 4 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 解 由题意得 故 111 1aSa 1 1 1 1 a0 1 a 由 得 即 由 nn aS 1 11 1 nn aS nnn aaa 11nn aa 1 1 0 1 a 得 所以 0 0 n a 1 1 n n a a 因此是首项为 公比为的等比数列 于是 n a 1 1 1 1 1 1 1 n n a 由 得 由得 即 n n S 1 1 32 31 5 S 32 31 1 1 5 5 1 32 1 解得 1 18 本小题满分 12 分 解 由折线图这数据和附注中参考数据得 4 t28 7 1 2 i i tt55 0 7 1 2 i i yy 89 2 32 9 417 40 7 1 7 1 7 1 ii iii i ii ytytyytt 99 0 646 2 255 0 89 2 r 因为与 的相关系数近似为 0 99 说明与 的线性相关相当高 从而可以用线性回归ytyt 模型拟合与 的关系 yt 由及 得 331 1 7 32 9 y103 0 28 89 2 7 1 2 7 1 i i i ii tt yytt b 92 0 4103 0 331 1 t bya 所以 关于 的回归方程为 ytty10 0 92 0 将 2016 年对应的代入回归方程得 9 t82 1 910 092 0 y 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1 82 亿吨 19 本小题满分 12 分 解 由已知得 取的中点 连接 由为中2 3 2 ADAMBPTTNAT NPC 点知 BCTN 2 2 1 BCTN 又 故平行且等于 四边形为平行四边形 于是 BCAD TNAMAMNTATMN 因为平面 平面 所以平面 ATPAB MNPAB MNPAB 取的中点 连结 由得 从而 且BCEAEACAB BCAE ADAE 5 2 2222 BC ABBEABAE 以为坐标原点 的方向为轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 AAExxyzA 由题意知 4 0 0 P 0 2 0 M 0 2 5 C 2 1 2 5 N 4 2 0 PM 2 1 2 5 PN 2 1 2 5 AN 设为平面的法向量 则 即 可取 zyxn PMN 0 0 PNn PMn 02 2 5 042 zyx zx 1 2 0 n 于是 25 58 cos ANn ANn ANn 20 解 由题设 设 则 且 0 2 1 Fbylayl 21 0 ab 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 22 ba RbQaPb b B a A 记过两点的直线为 则 的方程为 3 分BA ll0 2 abybax 由于在线段上 故 FAB01 ab 记的斜率为 的斜率为 则AR 1 kFQ 2 k 2 22 1 1 1 kb a ab aaba ba a ba k 所以 5 分FQAR 设 与轴的交点为 lx 0 1 xD 则 2 2 1 2 1 2 1 1 ba SxabFDabS PQFABF 由题设可得 所以 舍去 22 1 2 1 1 ba xab 0 1 x1 1 x 设满足条件的的中点为 AB yxE 当与轴不垂直时 由可得 ABx DEAB kk 1 1 2 x x y ba 而 所以 y ba 2 1 1 2 xxy 当与轴垂直时 与重合 所以 所求轨迹方程为 12 分ABxED1 2 xy 21 本小题满分 12 分 解 2 sin2 1 sinfxaxax 当时 1a sin2 1 cos1 fxaxax 2 1 aa 32a 0 f 因此 4 分32Aa 当时 将变形为 01a f x 2 2 cos 1 cos1f xaxax 令 则是在上的最大值 2 2 1 1g tatat A g t 1 1 1 ga 且当时 取得极小值 极小值为 1 32ga 1 4 a t a g t 22 1 1 61 1 488 aaaa g aaa 令 解得 舍去 1 11 4 a a 1 3 a 1 5 a 当时 在内无极值点 1 0 5 a g t 1 1 1 ga 1 23ga 所以 1 1 gg 23Aa 当时 由 知 1 1 5 a 1 1 2 1 0gga 1 1 1 4 a ggg a 又 所以 1 1 17 1 0 48 aaa gg aa 2 161 48 aaa Ag aa 综上 9 分 2 1 23 0 5 61 1 1 85 32 1 aa aa Aa a aa 由 得 2 sin2 1 sin 2 1 fxaxaxaa 当时 1 0 5 a 1242 23 2fxaaaA 当时 所以 1 1 5 a 13 1 884 a A a 12fxaA 当时 所以 1a 31642fxaaA 2fxA 请考生在请考生在 22 22 23 23 24 24 题中任选一题作答 作答时用题中任选一题作答 作答时用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目题铅笔在答题卡上把所选题目题 号后的方框涂黑 如果多做 则按所做的第一题计分 号后的方框涂黑 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 解 连结 则 BCPB BCDPCBPCDBPDPBABFD 因为