2012高中数学 第九章 二面角练习课教学案 苏教版

用心 爱心 专心1 二面角练习课二面角练习课 教学目标 1 使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念 2 使学生掌握求二面角平面角的基本方法 不断提高分析问题和解决问题的能力 教学重点和难点 重点 使学生能够作出二面角的平面角 难点 根据题目的条件 作出二面角的平面角 教学设计过程 重温二面角的平面角的定义 本节课设计的出发点 空间图形的位置关系是立体几何的重要内容 解决立体几何 问题的关键在于做好 定性分析 定位作图 定量计算 其中定性是定位 定量的基础 而定量则是定位 定性的深化 在面面关系中 二面角是其中的重要概念之一 它的度量 归结为平面上角的度量 一般说来 对其平面角的定位是问题解决的关键一步 可是学生 往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱 甚至错误地定位 使问题的解决徒劳无 益 这正是本节课要解决的问题 教师 二面角是怎样定义的 学生 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角 教师 二面角的平面角是怎样定义的 学生 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角 教师 请同学们看下图 用心 爱心 专心2 如图 1 是由 l 出发的两个半平面 O 是 l 上任意一点 OC 且 OC l OD 且 OD l 这就是二面角的平面角的环境背景 即 COD 是二面角 l 的平面角 从中我们可以得到下列特征 1 过棱上任意一点 其平面角是唯一的 2 其平面角所在平面与其两个半平面均垂直 另外 如果在 OC 上任取一点 A 作 AB OD 垂足为 B 那么由特征 2 可知 AB 突出 l OC OD AB 这便是另一特征 3 体现出一完整的三垂线定理 或逆定理 的环境背影 教师 请同学们对以上特征进行剖析 学生 由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成 所以二面角的定位可化归为 定点 或 定线 的问题 教师 特征 1 表明 其平面角的定位可先在棱上取一 点 耐人寻味的是这一 点可以随便取 但又总是不随便取定的 它必须与问题背影互相沟通 给计算提供方便 上面的引入力争符合练习课教学的特点 练习是形成技能的重要途径 练习课主要 是训练学生良好的数学技能 同时伴随着巩固知识 发展智能和培育情感 特别要注意做 到第一 知识的激活 激活知识有两个目的 一是突出了知识中的重要因素 二是强化知 识中的基本要素 第二 思维的调理 练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度 学 生跃跃欲试正是思维准备较好的体现 因此 准备阶段安排一些调理思维的习题 确保学 生思维的启动和运作 请看下面两道例题 例 1 已知 如图 2 四面体 V ABC 中 VA VB VC a AB BC CA b VH 面 ABC 垂足 为 H 求侧面与底面所成的角的大小 分析 由已知条件可知 顶点 V 在底面 ABC 上的射影 H 是底面的中心 所以连结 CH 交 AB 于 O 且 OC AB 由三垂线定理可知 VO AB 则 VOC 为侧面与底面所成二面角的平面角 图 2 用心 爱心 专心3 正因为此四面体的特性 解决此问题 可以取 AB 的中点 O 为其平面角的顶点 而且 使得题设背影突出在面 VOC 上 给进一步定量创造了得天独厚的条件 特征 2 指出 如果二面角 l 的棱 l 垂直某一平面 那么 l 必垂直 与 的交线 而交线所成的角就是 l 的平面角 如图 3 由此可见 二面角的平面角的定位可以考虑找 垂平面 例 2 矩形 ABCD AB 3 BC 4 沿对角线 BD 把 ABD 折起 使点 A 在平面 BCD 上的射 影 A 落在 BC 上 求二面角 A BD C 的大小的余弦值 这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题 解决问题的关键在于搞清折叠前后的 变 与 不变 如果在平面图形中过 A 作 AE BD 交 BD 于 O 交 BC 于 E 则折叠后 OA OE 与 BD 的垂 直关系不变 但 OA 与 OE 此时变成相交两线并确定一平面 此平面必与棱垂直 由特征 2 可知 面 AOE 与面 ABD 面 CBD 的交线 OA 与 OE 所成的角 即为所求二面 角的平面角 另外 A 在面 BCD 上的射影必在 OE 所在的直线上 又题设射影落在 BC 上 所以 E 点 就是 A 这样的定位给下面的定量提供了可能 在 Rt AA O 中 AA O 90 用心 爱心 专心4 通过对例 2 的定性分析 定位作图和定量计算 特征 2 从另一角度告诉我们 要 确定二面角的平面角 我们可以把构成二面角的两个半平面 摆平 然后 在棱上选取 一适当的垂线段 即可确定其平面角 平面图形 与 立体图形 相映生辉 不仅便于 定性 定位 更利于定量 特征 3 显示 如果二面角 l 的两个半平面之一 存在垂线段 AB 那么过垂 足 B 作 l 的垂线交 l 于 O 连结 AO 由三垂线定理可知 OA l 或者由 A 作 l 的垂线交 l 于 O 连结 OB 由三垂线定理的逆定理可知 OB l 此时 AOB 就是二面角 l 的平 面角 如图 6 由此可见 二面角的平面角的定位可以找 垂线段 课堂练习 1 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 棱长为 2 E 为 BC 的中点 求面 B1D1E 与面 BB1C1C 所 成的二面角的大小的正切值 用心 爱心 专心5 练习 1 的环境背景表明 面 B1D1E 与面 BB1C1C 构成两个二面角 由特征 2 可知 这两个二面角的大小必定互补 为创造一完整的三垂线定理的环境背景 线段 C1D1会让我们眼睛一亮 我们只须由 C1 或 D1 作 B1E 的垂线交 B1E 于 O 然后连结 OD1 或 OC1 即得面 D1B1E 与面 CC1B1E 所成 二面角的平面角 C1OD1 2 将棱长为 a 的正四面体的一个面与棱长为 a 的正四棱锥的一个侧面吻合 则吻合 后的几何体呈现几个面 分析 这道题 考生答 7 个面 的占 99 9 少数应服从多数吗 从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色 它们的目标分别是找 点 垂面 垂线段 事实上 我们只要找到其中一个 另两个就接踵而来 掌握这种 关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要 本题如果能融合三个特征对思维的监控 可有效地克服 抑制思维的消极作用 培养 思维的广阔性和批判性 如图 9 过两个几何体的高线 VP VQ 的垂足 P Q 分别作 BC 的垂线 则垂足重合于 O 且 O 为 BC 的中点 OP 延长过 A OQ 延长交 ED 于 R 考虑到三垂线定理的环境背影 AOR 为二面角 A BC R 的平面角 结合特征 1 2 可得 VAOR 为平行四边形 VA BE 所以 V A B E 共面 用心 爱心 专心6 同理 V A C D 共面 所以这道题的正确答案应该是 5 个面 这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题 或边练边评 或由 学生一鼓作气练完后再逐题讲评 达到练习的目的 其间要以学生 练 为主 教师 评 为辅 为了提高 导练 质量 教师要力求解决好三个问题 1 设计好练习 设计好练习是成功练习的前提 如何设计好练习是一门很深的学问 要注意 围绕重点 精选习题 由易到难 呈现题组 形式灵活 题型多变 2 组织好练习 组织练习是 导练 的实质 导练 就是有指导 有组织的练习 过程 要通过一题多用 一题多变 一题多解等使学生举一反三 从而提高练习的效 果 有组织的练习还包括习题的临时增删 节奏的随时控制 要求的适时调整等 3 讲评好练习 讲评一般安排在练习后进行 也可以在练习前或练习时 练习前的 讲评 目的是唤起学生的注意 提醒学生避免出错起到前馈控制的作用 练习时的讲评 属于即时反馈 即学生练习 教师巡视 从中发现共性问题及时指出来 以引起学生的注 意 更多的是练习后的讲评 如果采用题组练习 那么最常用的办法是一组练习完毕后教 师讲评 再进行下一组练习 以此类推 教师 由例 1 例 2 和课堂练习 我们已经看到二面角的平面角有三个特征 这三个 特征互相联系 客观存在 但在许多问题中却表现得含糊而冷漠 三个特征均藏而不露 在这种形势下 需认真探索 学生 应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景 有了 垂线段 便可以定 位 教师 请大家研究下面的例题 例 3 如图 10 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 是 BC 的中点 F 在 AA1上 且 A1F FA 1 2 求平面 B1EF 与底面 A1C1所成的二面角大小的正切值 用心 爱心 专心7 分析 在给定的平面 B1EF 与底面 A1C1所成的二面角中 没有出现二面角的棱 我们 可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点 则这两个公共点的连线即为二面角的棱 最后借助这条棱作出二面角的平面角 略解 如图 10 在面 BB1CC1内 作 EH B1C1于 H 连结 HA1 显然直线 EF 在底面 A1C1的射影为 HA1 延长 EF HA1交于 G 过 G B1的直线为所求二面角的棱 在平面 A1B1C1D1内 作 HK GB1于 K 连 EK 则 HKE 为所求二面角的平面角 在平面 A1B1C1D1内 作 B1L GH 于 L 利用 Rt GLB1 Rt GKH 可求得 KH 又在 Rt EKH 中 设 EH a 容易得到 所求二面角大小的正切值 教师 有时我们也可以不直接作出二面角的平面角 而通过等价变换或具体的计算得 出其平面角的大小 例如我们可以使用平移法 由两平面平行的性质可知 若两平行平面同时与第三个平 面相交 那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补 因而例 3 中的二面 角不易直接作出其平面角时 可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置 以便等 价地作出该二面角的平面角 略解 过 F 作 A B 的平行线交 BB 于 G 过 G 作 B C 的平行线交 B E 于 H 连 FH 显见平面 FGH 平面 A B C D 用心 爱心 专心8 则二面角 B FH G 的平面角度数等于所求二面角的度数 过 G 作 GM HF 垂足为 M 连 B M 由三垂线定理知 B M HF 所以 B MG 为二面角 B FH G 的平面角 其大小等于所求二面角平面角的大小 练习课的一个重要特征是概括 解题重要的不是统计做了多少题目 而是是否掌握 了一类题的实质 即有无形成基本的解题模式 只有真正掌握了一类问题的解题思路 才 算掌握了解答这类题目的基本规律 当学生练习到一定程度就应不失时机地引导他们总结 和概括出练习的基本经验和教训 获得有意义的练习成果 例 4 已知 如图 12 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点 PA PB PC PD a AB a 求 平面 APB 与平面 CPD 相交所成较大的二面角的余弦值 分析 为了找到二面角及其平面角 必须依据题目的条件 找出两个平面的交线 解 因为 AB CD CD 平面 CPD AB 平面 CPD 所以 AB 平面 CPD 又 P 平面 APB 且 P 平面 CPD 因此 平面 APB 平面 CPD l 且 P l 所以 二面角 B l C 就是平面 APB 和平面 CPD 相交所得到的一个二面角 因为 AB 平面 CPD AB 平面 APB 平面 CPD 平面 APB l 所以 AB l 过 P 作 PE AB PE CD 因为 l AB CD 用心 爱心 专心9 因此 PE l PF l 所以 EPF 是二面角 B l C 的平面角 因为 PE 是正三角形 APB 的一条高线 且 AB a 因为 E F 分别是