浙江省杭州电子科技大学附中2014届高三数学一轮复习 导数及其应用单元能力提升训练

1 杭州电子科技大学附中杭州电子科技大学附中 20142014 届高三数学一轮复习单元能力提升训练 届高三数学一轮复习单元能力提升训练 导数及其应用导数及其应用 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2 则实数 a 等于 A 1B 1C D 答案 B 2 已知函数 f x 的定义域为 2 2 导函数为 0 0 2cos ffxx 且 则满足 2 1 0fxf xx 的实数x的取值范围为 A 1 1 B 11 2 C 1 21 D 1 2 12 答案 C 3 曲线 3 1 3 yxx 在点 4 1 3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 2 9 C 1 3 D 2 3 答案 A 4 当自变量从 x0变到 x1时 函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 A 在区间 x0 x1 上的平均变化率B 在 x0处的变化率 C 在 x1处的导数D 在区间 x0 x1 上的导数 答案 A 5 函数 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 A B 1C 2D 答案 A 6 已知函数 y 3x x2在 x 2 处的增量为 x 0 1 则 y 为 A 0 11B 1 1C 3 80D 0 29 答案 A 2 7 已知lim n an b 则常数 a b 的值分别为 2n2 2 n A a 2 b 4B a 2 b 4 C a b 4 D a b 1 2 1 2 1 4 答案 A 8 曲线 3 xy 在点 1 1 处的切线与x轴 直线2 x所围成的三角形的面积为 A 3 8 B 3 7 C 3 5 D 3 4 答案 A 9 由曲线 y x2和直线 x 0 x 1 y t2 t 0 1 所围成的图形 阴影部分 的面积的 最小值为 A B C D 1 4 1 3 1 2 2 3 答案 A 10 已知二次函数 2 f xaxbxc 的导数为 fx 0 0 f 对于任意实数x 有 0f x 则 1 0 f f 的最小值为 A 3B 5 2 C 2D 3 2 答案 C 11 1 0 1 ax dx 1 0 1bxdx 12 0 1cx dx 的大小关系是 A a b cB a c b C b a cD c b a 答案 A 12 函数 x exy 3 2 的单调递增区是 A 0 B 0 C 1 3 和D 1 3 答案 D 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 由直线2 2 1 xx 曲线 x y 1 及x轴所围图形的面积为 答案 2ln2 3 14 1 0 2 1 1 dxxx 答案 2 1 4 15 若 1 23 2 k xdx 0 则 k 的值为 答案 1 或 1 3 16 由曲线 1 1 x yexy 所围成的图形面积是 答案 2 e 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知函数 f x x3 x2 ax a a R 1 3 1 当 a 3 时 求函数 f x 的极值 2 求证 当 a 1 时 函数 f x 的图象与 x 轴有且只有一个交点 答案 1 当 a 3 时 f x x3 x2 3x 3 1 3 f x x2 2x 3 x 3 x 1 令 f x 0 得 x1 1 x2 3 当 x0 则 f x 在 1 上单调递增 当 1 x 3 时 f x 3 时 f x 0 f x 在 3 上单调递增 当 x 1 时 f x 取得极大值为 f 1 1 3 3 1 3 14 3 当 x 3 时 f x 取得极小值为 f 3 27 9 9 3 6 1 3 2 f x x2 2x a 4 4a 4 1 a 由 a 1 则 0 f x 0 在 R 上恒成立 f x 在 R 上单调递增 f 0 a0 当 a 1 时 函数 f x 的图象与 x 轴有且只有一个交点 18 若函数 f x在 0 xx 处的导数为0 则称点 00 xf x为函数 f x的驻点 若点 1 1 为函数 f x 的驻点 则称 f x 具有 1 1 驻点性 1 设函数 f x 2lnxxax 其中0a 求证 函数 f x 不具有 1 1 驻点性 求函数 f x 的单调区间 2 已知函数 g x bx3 3x2 cx 2 具有 1 1 驻点性 给定 x1 x2 R x1 x2 设 为 实数 且 1 若 g g g x1 g x2 x1 x2 1 x2 x1 1 求 的取值范围 4 答案 x f 1 1 f 1 1 a 0 1 x a x 函数 f x 不具有 1 1 驻点性 由 x f x x a x r x f 1 2 2 a 1 4 x 当 a 0 即 a 时 x f 0 f x 是 0 上的减函数 1 4 1 4 当 a 0 即 a 时 显然 x f 0 f x 是 0 上的减函数 1 4 1 4 当 a 0 即 a 时 由 x f 0 得 1 4 1 4x 1 2 a 1 4 当 a 0 时 0 x 0 a 时 x f 0 1 4 1 2 a 1 4 1 2 a 1 4 x a a 时 x f 0 x a 时 x f 0 1 2 a 1 4 1 2 a 1 4 1 2 a 1 4 综上所述 当 a 时 函数 f x 的单调递减区间为 0 1 4 当 a 0 时 函数 f x 的单调递减区间为 0 a 和 a 1 4 1 2 a 1 4 1 2 a 1 4 函数 f x 的单调递增区间为 a a 1 2 a 1 4 1 2 a 1 4 由题设得 x g 3bx2 6x c g x 具有 1 1 驻点性 1 1 g且0 1 g 即解得 x g 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 故 g x 在定义 b 3 c 2 1 3b 6 c 0 b 1 c 3 域 R 上单调递减 当 0 时 x1 x2 即 x1 x2 1 x1 x1 1 x1 x2 1 x2 x2 1 x1 x2 同理 x1 x2 11 分 由 g x 的单调性可知 g g g x2 g x1 g g g x1 g x2 与 题设 g g g x1 g x2 不符 当 1 0 时 x1 x2 x1 x2 1 x1 x1 1 x2 x1 1 x2 x2 1 即 x1 x2 g g x2 g x1 g g g g x1 g x2 符合 题设 当 1 时 x2 x1 即 x1 x2 1 x2 x2 1 x2 x1 1 x1 x1 1 x1 x2 g g x2 g x1 g g g g x1 g x2 也符合题设 5 由此 综合 得所求的 的取值范围是 0 且 1 19 设 y f x 是二次函数 方程 f x 0 有两个相等的实根 且 f x 2x 2 1 求 y f x 的表达式 2 求 y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积 2 若直线 x t 0 t 1 把 y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分 求 t 的值 答案 1 设 f x ax2 bx c 则 f x 2ax b 又已知 f x 2x 2 a 1 b 2 f x x2 2x c 又方程 f x 0 有两个相等实根 判别式 4 4c 0 即 c 1 故 f x x2 2x 1 2 依题意 有所求面积 3 1 3 1 12 0 1 2320 1 xxxdxxx 3 依题意 有xxxxxx t t d 12 d 12 202 1 023 1 23 3 1 3 1 t t xxxxxx 3 1 t3 t2 t 3 1 3 1 t3 t2 t 2t3 6t2 6t 1 0 2 t 1 3 1 于是 t 1 3 2 1 20 已知函数 32 f xxxaxb a b R 的一个极值点为 1x 1 求a的值和 f x 的单调区间 2 若方程 2 0 xbxab 的两个实根为 函数 f x 在区间 上单调 求b的取值范围 答案 1 32 f xxxaxb 2 32fxxxa 32 f xxxaxb 的一个极值点为 1x 2 13 12 10fa 1a 2 321311fxxxxx 当 1 3 x 时 0fx 当 1 1 3 x 时 0fx 当 1x 时 0fx 6 函数 f x 在 1 3 上单调递增 在 1 1 3 上单调递减 在 1 上单调递增 2 方程 2 0 xbxb 的两个不等实根为 b2 4b 0 b4 函数 f x 在区间 上是单调的 区间 只能是区间 1 3 1 1 3 1 之一的子区间 记 2 g xxbxb g x 的对称轴为x 2 b 1 3 则 1 23 114 0 393 b gb 解得无解 1 1 3 则 1 1 32 0 114 0 393 1 0 b gb g A 解得 1 0 12 b 1 则 1 2 1 10 0 b g A 解得b 4 实数b的取值范围为 1 0 4 12 21 已知函数 32 1 2 3 f xxbxxa 2x 是 f x的一个极值点 1 求函数 f x的单调区间 2 若当 1 x 时 2 2 3 f xa 恒成立 求a的取值范围 答案 1 2 22fxxbx 且2x 是 f x的一个极值点 2 4420fb 3 2 b 7 2 32 1 2 fxxxxx 由 0fx 得2x 或1x 函数 f x的单调增区间为 1 2 由 0fx 得12x 函数 f x的单调减区间为 1 2 2 由 1 知 函数 f x在 1 2 上单调递减 在 2 上单调递增 当2x 时 函数 f x取得最小值 min 2 f xf 2 3 a 1 x 时 2 2 3 f xa 恒成立等价于 2 min 2 1 3 af xx 即 2 001aaa 22 2008 年奥运会在中国召开 某商场预计 2008 年从 1 月份起前 x 个月 顾客对某种商 品的需求总量件与月份的近似关系是 该商品的进价元