2012高中数学单元训练51 圆锥曲线的综合问题

用心 爱心 专心1 课时训练课时训练 5151 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 说明 本试卷满分 100 分 考试时间 90 分钟 一 选择题 每小题 6 分 共 42 分 1 2010 南通九校模拟 11 方程 1 所表示的曲线是 2cos3cos2sin3sin 22 yx A 焦点在 x 轴上的椭圆 B 焦点在 x 轴上的双曲线 C 焦点在 y 轴上的椭圆 D 焦点在 y 轴上的双曲线 答案 答案 C 解析 解析 20 cos cos2 0 2 333 又 cos cos2 sin sin2 sin 2 cos 2 0 332 4 2 4 故方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 2 2010 湖北八校模拟 11 设 e1 e2分别为具有公共焦点 F1与 F2的椭圆和双曲线的离心率 P 为两曲线的一个公共点 且满足 0 则的值为 1 PF 2 PF 2 21 2 2 2 1 ee ee A 1 B C 2 D 不确定 2 1 答案 答案 C 解析 解析 设椭圆方程为 1 双曲线方程为 1 则 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 n y m x PF1 PF2 2a PF1 PF2 2m 故 PF1 a m PF2 a m 又 0 1 PF 2 PF a m 2 a m 2 4c2 即 a2 m2 2c2 2 2 2 2 1 11 ee 3 已知 F1 F2是椭圆 1 5 a 10 的两个焦点 B 是短轴的一个端点 则 2 2 a x 2 2 10 a y F1BF2的面积的最大值是 A B C 100 3 2 D 3 3100 9 3100 2 a2 2 1 答案 答案 B 解析 解析 5 a10 a 故 c b 10 a 21BF F S 22 10 aa 50020025 20 10 5 20 232 aaaaa 用心 爱心 专心2 令 t a3 25a2 200a 500 则 t 3a2 50a 200 令 t 0 则 a 或 a 10 又 5 a 10 3 20 故当 a 时 t 取最大值 故 F1BF2的最大值为 3 20 27 500 9 3100 27 10000 4 2010 江苏苏州一模 6 设双曲线 C y2 1 的右焦点为 F 直线 l 过点 F 且斜率为 4 2 x k 若直线 l 与双曲线 C 的左 右两支都相交 则直线 l 的斜率的取值范围是 A k 或 k B k 2 1 2 1 2 1 2 1 C k D k 2 1 2 1 2 1 2 1 答案 答案 C 解析 解析 因渐近线的斜率为 故 k 的线段 AB 的端点在双曲线 b2x2 a2y2 a2b2的右支上 则 AB 中点 M 的 a b22 横坐标的最小值为 A B 22 2ba aL 22 2ba La C D 22 2 2 ba aLa 22 2 2 ba aLa 答案 答案 D 解析 解析 当 AB 过右焦点时 M 的横坐标最小 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 8 平面内有长度为 2 的线段 AB 和一动点 P 若满足 PA PB 6 则 PA 的取值范围是 答案 答案 2 4 解析 解析 PA PB 6 2 所以点 P 的轨迹是以 A B 为焦点的椭圆 a 3 c 1 a c PA a c 故应填 2 4 9 有一系列中心在原点 以坐标轴为对称轴的椭圆 它们的离心率 en n n N N 且都 2 1 以 x 1 为准线 则所有椭圆的长轴之和为 答案 答案 2 解析 解析 因 1 n 故 an n 2an 2 n 故所有椭圆的长轴之和为 n n C a 2 n n a C 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 10 2010 江苏南通九校模拟 18 以下四个关于圆锥曲线的命题中 设 A B 为两个定点 k 为非零常数 k 则动点 P 的轨迹为双曲线 过PAPB 定圆 C 上一定点 A 作该圆的动弦 AB O 为坐标原点 若 则动点 P 的OP 2 1 OA OB 轨迹为椭圆 方程 2x2 5x 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 双曲线 1 与椭圆 y2 1 有相同的焦点 925 22 yx 35 2 x 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 答案 答案 解析 解析 当 k AB 且 k 0 时 才正确 中的 P 点为 AB 中点 故 P 为以 AC 的中点为 圆心 AC 为半径的圆 易知正确 2 1 三 解答题 11 13 题每小题 10 分 14 题 13 分 共 43 分 用心 爱心 专心4 11 2010 湖北黄冈一模 22 已知 OFQ 的面积为 26 且 m OFFQ 1 设 m 4 求向量与的夹角 正切值的取值范围 66OFFQ 2 设以 O 为中心 F 为焦点的双曲线经过点 Q 如右图 c m 1 c2 当OF 4 6 取得最小值时 求此双曲线的方程 OQ 解析 解析 1 cos 62 sin 2 1 mFQOF FQOF tan m 64 又 m 4 1 tan 0 b 0 Q x1 y1 则 x1 c y1 2 2 a x 2 2 b x FQ S OFQ y1 2 2 1 OF6 y1 c 64 又由 c 0 x1 c y1 x1 c c 1 c2 OFFQ 4 6 x1 c 4 6 OQ 2 2 2 1 2 1 8 396 c c yx 12 当且仅当 c 4 时 最小 这时 Q 点坐标为 或 OQ6666 用心 爱心 专心5 16 1 66 22 22 ba ba 12 4 2 2 b a 故所求的双曲线方程为 1 4 2 x 12 2 y 12 2010 江苏苏州一模 22 已知点 P 是圆 x2 y2 1 上的一个动点 过点 P 作 PQ x 轴于点 Q 设 OMOP OQ 1 求点 M 的轨迹方程 2 求向量和夹角的最大值 并求此时 P 点的坐标 OPOM 解析 解析 1 设 P x0 y0 M x y 则 x0 y0 OP x0 0 2x0 y0 OQOMOP OQ 2 1 2 0 0 0 0 yy xx yy xx x02 y02 1 y2 1 4 2 x 2 设向量与的夹角为 则OPOM cos 13 1 4 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 x x yx yx OMOP OMOP 令 t 3x02 1 则 cos 4 4 3 1 2 3 1 2 t t t t 3 22 当且仅当 t 2 时 即 P 点坐标为 时 等号成立 3 3 3 6 用心 爱心 专心6 与夹角的最大值是 arccos OPOM 3 22 13 2010 湖北八校摸拟 21 P Q M N 四点都在中心为坐标原点 离心率 e 左焦 2 2 点 F 1 0 的椭圆上 已知与共线 与共线 0 求四边PFFQMFFNPFMF 形 PMQN 的面积的最大值与最小值 解析 解析 椭圆方程为 y2 1 2 2 x 0 PQ MN PFMF 设 PQ 的方程为 ky x 1 代入椭圆方程消去 x 得 2 k2 y2 2ky 1 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 PQ y1 y2 2 1k 2 1k 21 2 21 4 yyyy 2 1k 2 2 2 2 1 4 2 2 kk k 2 2 2 1 22 k k 1 当 k 0 时 MN 的斜率为 同理可得 k 1 MN 2 2 1 2 1 1 22 k k 故四边形面积 S PQ MN 2 1 2 2 2 2 2 25 1 2 4 k k k k 令 u k2 则 u 2 即 S 2 1 2 1 ku u 25 2 4 u25 1 当 k 1 时 u 2 S 且 S 是以 u 为自变量的增函数 S 2 9 16 9 16 2 当 k 0 时 MN 为椭圆的长轴 MN 2 PQ S PQ MN 2 22 2 1 用心 爱心 专心7 综合 1 2 知 四边形 PQMN 面积的最大值为 2 最小值为 9 16 14 2010 湖北十一校大联考 22 在直角坐标平面中 ABC 的两个顶点为 A 0 1 B 0 1 平面内两点 G M 同时满足 0 0 GA GB GCMAMBMC GMAB 1 求顶点 C 的轨迹 E 的方程 2 设 P Q R N 都在曲线 E 上 定点 F 的坐标为 2 0 已知 PFFQRF 且 0 求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值 FNPFRF 解析 解析 1 设 C x y 2 由 知 2 GA GBGOGCGO G 为 ABC 的重心 G 3 3 yx 由 知 M 是 ABC 的外心 M 在 x 轴上 由 知 M 0 3 x 由 MCMA 得 222 3 1 3 y x x x 化简整理得 y2 1 x 0 3 2 x 2 F 0 恰为 y2 1 的右焦点 2 3 2 x 设 PQ 的斜率为 k 0 且 k 则直线 PQ 的方程为 y k x 2 2 2 由 3k2 1 x2 6k2x 6k2 3 0 033 2 22 yx xky 2 设 P x1 x2 Q x2 y2 则 x1 x2 x1 x2 则 PQ 13 26 2 2 k k 13 36 2 2 k k 21 2 21 2 4 1xxxxk 用心 爱心 专心8 13 1 32 13 36 4 13 26 1 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k k k k k RN PQ 把 k 换成 得 RN k 1 2 2 3 1 32 k k S PQ RN 2 1 10 1 3 8 2 3 13 1 6 2 2 22 22 k k kk k 3 k2 10 2 1 kS 2 8 k2 2 2 1 k 16 S 2 8 S 2 当 k 1 时取等号 2 3 又当 k 不存在或 k 0 时 S 2 综上可得 S 2 2 3 Smax 2 Smin 2 3 轻松阅读轻松阅读 数学之美数学之美 钱定平 数学物理学美和文学艺术美共享着一个特点 是不追求实用 所以可以驰骋恢弘和扬鞭 辽阔 竭尽全心致力于美的追求索取 达 芬奇绘蒙娜丽莎不是为了卖钱 正如物理学家发现 某某效应 数学家证明某某定理时 并不亟亟乎想着出售一样 当前理论物理学已经奏起了 超弦理论 Superstring 论证基本粒子本身都是由弦线 String 环组成的 琴弦 弹 奏 着不同乐曲 从而织成万事万物 可是 这根根琴弦毕竟不能演奏交响乐 到大剧场去 卖票 有些科学一接触用途问题 简直可以说对艺术还要礼让三分 例如 前面提到过的哈 代又说过 音乐可以用来触发群众激情 而数学却无能为力 表达数学简洁明了而囊括宇内的美 人们常常称道的是 欧拉公式 这个公式把数学 里面既富有魅力又具备霸权的三个量扭结合成一个明晰爽朗的式子 ei 1 0 欧拉公式里面 e 是自然对数的底 i 是虚数单位 而 则是众所周知的圆周率 这1 三个量经常在非常繁复奇崛的运算或推导中扮演重要的角色 有