2012高考数学 考前冲刺第二部分方法六 参数法突破

用心 爱心 专心1 方法六 参数法突破方法六 参数法突破 参数法是指在解题过程中 通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变 量 参数 以此作为媒介 再进行分析和综合 从而解决问题 直线与二次曲线的参数方 程都是用参数法解题的例证 换元法也是引入参数的典型例子 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的 联系的方式是丰富多采的 科学的任务 就是要揭示事物之间的内在联系 从而发现事物的变化规律 参数的作用就是刻画事物的 变化状态 揭示变化因素之间的内在联系 参数体现了近代数学中运动与变化的思想 其 观点已经渗透到中学数学的各个分支 运用参数法解题已经比较普遍 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数 沟通已知和未知之间的内在联系 利用参 数提供的信息 顺利地解答问题 例 1 实数 a b c 满足 a b c 1 求 a b c 的最小值 222 分析 由 a b c 1 想到 均值换元法 于是引入了新的参数 即设 a t b t c t 代入 a b c 可求 1 3 1 1 3 2 1 3 3 222 注 由 均值换元法 引入了三个参数 却将代数式的研究进行了简化 是本题此种 解法的一个技巧 本题另一种解题思路是利用均值不等式和 配方法 进行求解 解法是 a b c a b c 2 ab bc ac 1 2 a b c 即 a b c 2222222222 1 3 两种解法都要求代数变形的技巧性强 多次练习 可以提高我们的代数变形能力 例 2 椭圆 1 上有两点 P Q O 为原点 连 OP OQ 若 k k x 2 16 y 2 4 OPOQ 1 4 用心 爱心 专心2 求证 OP OQ 等于定值 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程 22 分析 由 换元法 引入新的参数 即设 椭圆参数方程 参数 x y 4 2 cos sin 为 P Q 两点 先计算 k k得出一个结论 再计算 OP OQ 并运用 12OPOQ 22 参数法 求中点 M 的坐标 消参而得 即 OP OQ 等于定值 20 22 由中点坐标公式得到线段 PQ 的中点 M 的坐标为 x y M M 2 12 12 coscos sinsin 所以有 y 2 2 cos cos sin sin 2 x 2 22 1212 即所求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程为 1 x 2 8 y 2 2 注 由椭圆方程 联想到 a b 1 于是进行 三角换元 通过换元引入新的参 22 数 转化成为三角问题进行研究 本题还要求能够熟练使用三角公式和 平方法 在由中 点坐标公式求出 M 点的坐标后 将所得方程组稍作变形 再平方相加 即 cos 1 cos sin sin 这是求点 M 轨迹方程 消参法 的关键一步 一般 2 2 12 2 地 求动点的轨迹方程运用 参数法 时 我们可以将点的 x y 坐标分别表示成为一个或 几个参数的函数 再运用 消去法 消去所含的参数 即得到了所求的轨迹方程 用心 爱心 专心3 本题的第一问 另一种思路是设直线斜率 k 解出 P Q 两点坐标再求 设直线 OP 的斜率 k 则 OQ 的斜率为 由椭圆与直线 OP OQ 相交于 1 4k PQ 两点有 消 y 得 1 4k x 16 即 x xy ykx 22 4160 22 P 4 14 2 k 消y 得 1 x 16 即 x xy y k x 22 4160 1 4 1 4 2 k 2 Q 8 14 2 k k 所以 OP OQ 22 1 2 k 4 14 2 k 2 1 1 16 2 k 8 14 2 k k 2 20 即 OP OQ 等于定值 20 2080 14 2 2 k k 22 在此解法中 利用了直线上两点之间的距离公式 AB x x 求 OP 1 2 kAB AB 和 OQ 的长 例 3 已知正四棱锥 S ABCD 的侧面与底面的夹角为 相邻两侧面的夹角为 求证 cos cos 2 分析 要证明 cos cos 考虑求出 的余弦 则在 和 所在的三角 2 形中利用有关定理求解 解 连 AC BD 交于 O 连 SO 取 BC 中点 F 连 SF OF 作 BE SC 于 E 连 DE 则 SFO DEB 设 BC a 为参数 则 SF OF cos a 2cos SC SFFC 22 cos aa 22 22 S E D C O F A B 用心 爱心 专心4 所以 cos cos 2 注 设参数 a 而不求参数 a 只是利用其作为中间变量辅助计算 这也是在参数法 中参数可以起的一个作用 即设参数辅助解决有关问题 专题突破专题突破 1 设 2 3 5 1 则 2x 3y 5z 从小到大排列是 xyz 2 理 直线上与点 A 2 3 的距离等于的点的坐标是 xt yt 22 32 2 文 若 k0 时 f x 0 则 f x 的 R 上是 函数 填 增 或 减 6 椭圆 1 上的点到直线 x 2y 0 的最大距离是 x 2 16 y 2 4 2 A 3 B C D 211102 简解 1 小题 设 2 3 5 t 分别取 2 3 5 为底的对数 解出 x y z xyz 再用 比较法