2012高考数学一轮复习 AB小练习 第十一章概率第三节几何概型

用心 爱心 专心 1 第三节第三节 几何概型几何概型 A A 组组 1 在长为 1 的线段上任取两点 则这两点之间的距 离小于 的概 1 2 率为 解析 利用几何概型知识 结合线性规划可求出答案 如图 x y x y x 0 1 y 0 1 设 1 2 1 2 1 2 阴影部分的 区域面积为d 可知d 整个正方形的面积为 3 4 D 可知 D 1 则所求概率P 答案 d D 3 4 3 4 2 在等腰直角三角形ABC中 若M是斜边AB上的点 则AM小 于AC的概率为 解析 可用相应线段长度之比来度量 易知P 答案 a 2a 2 2 2 2 3 2009 年高考山东卷 在区间 上随机取一个数x 则 cosx的值介于 0 到 之间 2 2 1 2 的概率为 解析 当 x 时 由 0 cos x 得 x 或 x 2 2 1 2 2 3 3 2 根据几何概型概率公式得所求概率为 答案 1 3 1 3 4 平面上有一组平行线 且相邻平行线间的距离为 3 cm 把一枚半径为 1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上 则硬币 不与任何一条平行线相碰的概率是 解析 如图所示 当硬币中心落在阴影区域时 硬币不 与任何一条平行线相碰 故所求概率为 答案 1 3 1 3 5 原创题 向面积为S的 ABC内任投一点P 则 PBC的面 积小于 的概率为 S 2 解析 S PBC S ABC h 其中h 为 PBC中BC边上的高 h为 ABC中BC边上 1 2 h 2 的高 设DE为 ABC的中位线 则点P应在梯形BCED内 如图阴影部分 P S梯形BCED S ABC 3 4 答案 3 4 用心 爱心 专心 2 B B 组组 1 2009 年高考福建卷 点A为周长等于 3 的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点 B 则劣弧的长度小于 1 的概率为 解析 设事件M为 劣弧的长度小于 1 则满足事件M的点B可以在定点A的两侧 与定点A构成的弧长小于 1 的弧上随机取一点 由几何概型的概率公式得 P M 答案 2 3 2 3 2 2010 年苏 锡 常 镇四市调研 已知如图所示的矩形 长 为 12 宽为 5 在矩形内随机地投掷 1000 粒黄豆 数得落在阴 影部分的黄豆数为 600 粒 则可以估计出阴影部分的面积约为 解析 设所求的面积为S 由题意得 600 1000 S 5 12 S 36 答案 36 3 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1内任取一点P 则点P到点A的距离小于等于a的概 率为 解析 P 答案 1 8 4 3 a3 a3 6 6 4 2010 年扬州调研 已知集合A x 1 x0 在集合A中任取一个元素x x 2 3 x 则事件 x A B 的概率是 解析 由题意得A x 1 x 5 B x 2 xR 此时 N1ON2 180 故所求的概率为 2 180 360 1 2 答案 1 2 7 已知 x y x y 6 x 0 y 0 E x y x 2y 0 x 4 y 0 若向区域 内随机投一点P 则点P落入区域E的概率为 解析 如图 区域 表示的平面区域为 AOB边界及其内部的部 分 区域E表示的平面区域为 COD边界及其内部的部分 所以 点P落入区域E的概率为 答 S COD S AOB 1 2 2 4 1 2 6 6 2 9 案 2 9 8 已知函数f x x2 ax b 若a b都是从区间 0 4 任取 的一个数 则f 1 0 成立的概率是 解析 f 1 1 a b 0 即a b 1 如图 A 1 0 B 4 0 C 4 3 S ABC P 答案 9 2 S ABC S矩 9 2 4 4 9 32 9 32 9 在区间 0 1 上任意取两个实数a b 则函数f x x3 ax b在区间 1 1 上有且仅 1 2 有一个零点的概率为 解析 f x x2 a 故f x 在x 1 1 上单调递增 又因为函数f x 3 2 x3 ax b在 1 1 上有且仅有一个零点 即有f 1 f 1 0 成立 即 a b 1 2 1 2 a b 0 可化为Error 或Error 由线性规划知识在平面直角坐 1 2 1 2 1 2 标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域 再由几何概型可以知道 函数f x x3 ax b在 1 1 上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线 1 2 a 0 a 1 b 0 b 1 围成的正方形的面积 计算可得面积之比为 答案 7 8 7 8 10 设不等式组Error 表示区域为A 不等式组Error 表示的区域为B 1 在区域A中任取一点 x y 求点 x y B的概率 2 若x y分别表示甲 乙两人各掷一次骰子所得的点数 求点 x y 在区域B中的概 率 解 1 设集合A中的点 x y B为事件M 区域A的面积为S1 36 区域B的面积为 S2 18 P M S2 S1 18 36 1 2 2 设点 x y 在区域B为事件N 甲 乙两人各掷一次骰子所得的点 x y 的个数为 36 个 其中在区域B中的点 x y 有 21 个 故P N 21 36 7 12 11 2010 年江苏南通模拟 已知集合A x 1 x 0 集合 用心 爱心 专心 4 B x ax b 2x 1 0 0 a 2 1 b 3 1 若a b N N 求A B 的概率 2 若a b R R 求A B 的概率 解 1 因为a b N N a b 可取 0 1 0 2 0 3 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 共 9 组 令函数f x ax b 2x 1 x 1 0 则f x a bln2 2x 因为a 0 2 b 1 3 所以f x 0 即f x 在 1 0 上是单调递增函数 f x 在 1 0 上的最小值为 a 1 要使A B 只需 a 1 0 b 2 b 2 即 2a b 2 0 所以 a b 只能取 0 1 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 7 组 所以A B 的概率为 7 9 2 因为a 0 2 b 1 3 所以 a b 对应的区域为边长为 2 的正方形 如图 面积为 4 由 1 可知 要使A B 只需f x min a 1 0 2a b 2 0 所 b 2 以满足 A B 的 a b 对应的区域是如图阴影部分 所以S阴影 1 所以A B 的概率为P 1 2 1 2 1 4 1 4 4 1 16 12 将长为 1 的棒任意地折成三段 求 三段的长度都不超过a a 1 的概率 1 3 解 设第一段的长度为x 第二段的长度为y 第三段的长度为 1 x y 则基本事件组所对应的几何区域可表示为 x y 0 x 1 0 y 1 0 x y 1 此区域面积为 1 2 事件 三段的长度都不超过a a 1 所对应 1 3 的几何区域 可表示为 A x y x y x a y a 1 x y a 即图中六边形区域 此