2012高考数学二轮复习 第16讲 圆锥曲线的定义 方程与性质专题限时集训 理

用心 爱心 专心1 专题限时集训专题限时集训 十六十六 第第 1616 讲讲 圆锥曲线的定义 方程与性质圆锥曲线的定义 方程与性质 时间 10 分钟 35 分钟 1 设抛物线的顶点在原点 准线方程为x 2 则抛物线的方程是 A y2 8x B y2 8x C y2 4x D y2 4x 2 椭圆 1 a b 0 的两顶点为A a 0 B 0 b 且左焦点为F FAB是以 x2 a2 y2 b2 角B为直角的直角三角形 则椭圆的离心率e为 A B C D 3 1 2 5 1 2 1 5 4 3 1 4 3 已知双曲线 1 的离心率为e 则它的渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 A y x B y x e 1e2 1 C y x D y x 1 e21 e 4 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A 与抛物 线准线的交点为B 点A在抛物线准线上的射影为C 若 12 则p的值为 AF FB BA BC 图 16 1 1 如图 16 1 抛物线C1 y2 2px和圆C2 2 y2 其中p 0 直线l经过 x p 2 p2 4 抛物线C1的焦点 依次交抛物线C1 圆C2于A B C D四点 则 的值为 AB CD A B p2 4 p2 3 C D p2 p2 2 2 设F1 F2分别是双曲线x2 1 的左 右焦点 若点P在双曲线上 y2 9 且 0 则 PF1 PF2 PF1 PF2 A 2 B 210 C 4 D 2 210 3 已知M是椭圆 1 a b 0 上一点 两焦点为F1 F2 点P是 MF1F2的内心 x2 a2 y2 b2 用心 爱心 专心2 连接MP并延长交F1F2于N 则的值为 MP PN A B a a2 b2 b a2 b2 C D a2 b2 b a2 b2 a 4 已知抛物线y2 2px p 0 F为其焦点 l为其准线 过F任作一条直线交抛物线 于A B两点 A B 分别为A B在l上的射影 M为A B 的中点 给出下列命题 A F B F AM BM A F BM A F与AM的交点在y轴上 AB 与 A B交于原点 其中真命题的个数为 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 5 已知双曲线的右焦点为 5 0 一条渐近线方程为 2x y 0 则此双曲线的标准方 程是 6 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点F与椭圆 1 a b 0 的一个焦点重合 它 x2 a2 y2 b2 们在第一象限内的交点为T 且TF与x轴垂直 则椭圆的离心率为 7 点P是椭圆 1 上一点 F1 F2是椭圆的两个焦点 且 PF1F2的内切圆半径 x2 25 y2 16 为 1 当P在第一象限时 P点的纵坐标为 用心 爱心 专心3 8 已知椭圆C的中心在原点 焦点在x轴上 离心率为 并与直线y x 2 相切 6 3 1 求椭圆C的方程 2 如图 16 2 过圆D x2 y2 4 上任意一点P作椭圆C的两条切线m n 求证 m n 图 16 2 9 如图 16 3 已知点D 0 2 过点D作抛物线C1 x2 2py p 0 的切线l 切 点A在第二象限 如图 16 3 1 求切点A的纵坐标 2 若离心率为的椭圆 1 a b 0 恰好经过切点A 设切线l交椭圆的另一点 3 2 x2 a2 y2 b2 为B 记切线l OA OB的斜率分别为k k1 k2 若k1 2k2 4k 求椭圆方程 用心 爱心 专心4 图 16 3 专题限时集训 十六 基础演练 1 B 解析 由题意设抛物线方程为y2 2px p 0 又 其准线方程为 x 2 p 4 所求抛物线方程为y2 8x p 2 2 B 解析 根据已知a2 b2 a2 a c 2 即c2 ac a2 0 即 e2 e 1 0 解得e 负值舍去 故所求的椭圆的离心率为 1 5 2 5 1 2 3 B 解析 故双曲线的渐近线方程是y x b a c2 a2 a2e2 1e2 1 4 1 解析 设A B F 由 得 t2 2p t p 2 yB p 2 0 AF FB p yB 由此得t2 3p2 yB t 设C 则 p 2 t2 2p t p 2 t BA t2 2p p 2 2t 0 2t 所以 12 得 4t2 12 故p 1 BC BA BC 提升训练 1 A 解析 当l斜率存在时 设l y k 与y2 2px联立消去y得 x p 2 k2x2 pk2 2p x 0 设A x1 y1 D x2 y2 抛物线的焦点为F 则 p2k2 4 AB AF BF x1 x1 同理 CD x2 AB CD x1x2 当 p 2 p 2 AB CD p2 4 l x轴时 易得 AB CD 故选 A p 2 AB CD p2 4 2 D 解析 根据已知 PF1F2是直角三角形 向量 2 根据直角三角 PF1 PF2 PO 形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出 0 则 PF1 PF2 2 2 PF1 PF2 PO F1F2 10 3 A 解析 由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点 利用三角形内角平分 线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系 如图 连接PF1 PF2 在 MF1N中 F1P是 MF1N的角平分线 根据三角形内角平分线性质定理 同理 MP PN MF1 F1N 可得 故有 根据等比定理 MP PN MF2 F2N MP PN MF1 F1N MF2 F2N MP PN MF1 MF2 F1N F2N 2a 2a2 b2 a a2 b2 用心 爱心 专心5 4 D 解析 如图 设A x1 y1 B x2 y2 则A B F p 2 y1 p 2 y2 M 根据抛物线焦点弦的性质y1y2 p2 kA F kB F p 2 0 p 2 y1 y2 2 y1 p y2 p 1 y1y2 p2 kAM kBM 其中 2x1 p y1 y1 y2 2 x1 p 2 y2 y1 y2 2 x2 p 2 y1 y2 2 2x1 p 2x2 p 2x2 p 4x1x2 2px1 2px2 p2 4 y y p2 y y 2p2 y y 2y1y2 y1 y2 2 y2 1y2 2 4p22 12 22 12 22 12 2 所以kAM kBM 1 kA F kBM y1 p p y2 y2 y1 y2 2 x2 p 2 y2 y1 2x2 p y2 p2 y2 y2 2 p p p y2 设A F与y轴的交点是 0 t 则 即t y1 设AM与y轴的交点坐标 t p 2 y1 p 1 2 是 0 r 则 由于 所以 r y1 x1 y1 y2 2 y1 p 2 x1 y1 y2 2 y1 p 2 x1 y1 y2 2x1 p y1 p2 y1 y2 1 p p p y1 r y1 x1 即r x1 y1 y1 y1 故A F与AM的交点在y轴上 p y1 p y1 p y1 y2 1 2p 1 2 kOA kOB 故A O B 三点共线 同理可证A O B三 y1 x1 2p y1 2y2 p 2y2 p 点共线 用心 爱心 专心6 5 1 解析 设所求的双曲线方程为 1 a 0 b 0 则 x2 5 y2 20 x2 a2 y2 b2 c 5 2 解得a2 5 b2 20 b a 6 1 解析 依题意c 由 1 求得y 得T的坐标 即 2 p 2 c2 a2 y2 b2 b2 a c b2 a p b2 2ac c2 2ac a2 0 b2 a e2 2e 1 0 解得e 1 负值舍去 2 7 解析 PF1 PF2 10 F1F2 6 S 8 3 PF1F2 PF1 PF2 F1F2 1 8 F1F2 yP 3yP 所以yP 1 2 1 2 8 3 8 解答 1 由e 知a2 3b2 6 3 椭圆方程可设为 1 x2 3b2 y2 b2 又直线y x 2 与椭圆相切 代入得方程 4x2 12x 12 3b2 0 满足 0 由此得b2 1 故椭圆C的方程为 y2 1 x2 3 2 证明 设P x0 y0 当x0 时 有一条切线斜率不存在 此时 刚好 3 y0 1 可见 另一条切线平行于x轴 m n 当x0 时 则两条切线斜率存在 设直线m的斜率为k 则其方程为 3 y y0 k x x0 即y kx y0 kx0 代入 y2 1 并整理得 x2 3 1 3k2 x2 6k y0 kx0 x 3 y0 kx0 2 3 0 由 0 可得 3 x k2 2x0y0k 1 y 0 2 02 0 注意到直线n的斜率也适合这个关系 所以m n的斜率k1 k2就是上述方程的两根 由韦达定理 k1k2 1 y2 0 3 x2 0 由于点P在圆D x2 y2 4 上 3 x 1 y 2 02 0 所以k1k2 1 所以m n 综上所述 过圆D上任意一点P作椭圆C的两条切线m n 总有m n 9 解答 1 设切点A x0 y0 且y0 由切线l的斜率为k 得l的方程 x2 0 2p x0 p 为y x 又点D 0 2 在l上 x0 p x2 0 2p 2 即切点A的纵坐标为 2 x2 0 2p 2 由 1 得A 2 2 切线斜率k p 2 p 用心 爱心 专心7 设B x1 y1 切线方程为y kx 2 由e 得a2 4b2 3 2 所以设椭圆方程为 1 且过A 2 2 x2 4b2 y2 b2p b2 p 4 由Error 1 4k2 x2 16kx 16 4b2 0 Error k1 2k2 y