2012高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列四 立体几何 文 教师版

用心 爱心 专心1 考前考前 3030 天之备战天之备战 20122012 高考数学冲刺押题系列四高考数学冲刺押题系列四 立体几何 文 教立体几何 文 教 师版师版 命题趋势命题趋势 综观近几年的高考题 无论是全国卷还是各省市自主命题卷 立体几何考查的重点仍 然是空间的平行关系 垂直关系的判断与证明 空间角 距离的计算以及简单几何体的体 积与表面积的计算 题型涵盖选择题 填空题和解答题 高考对本讲内容的考查比较稳定 大多以选择题 填空题的形式出现 以空间直线 平面的平行关系与垂直关系和球为重点 考查对象 同时考查空间想象能力 思维能力和推理运算能力 题目以中档题为主 难度不 大 求空间角与空间距离的题目对空间想象能力和等价转化能力要求较高 因为空间向平 面的转化 运算技巧及解三角形的方法在这类题目中都会有所体现 所以这类题目一直都 是高考的热点 并呈现稳中有增的发展趋势 这类问题在命题形式上也较为灵活 从考查立 体几何基础的选择题 填空题到具有一定综合程度的解答题都可能出现 因此 这一部分 的复习更要注重知识与能力的全面结合 同时 利用空间向量求空间角和空间距离会降低解 题难度 在复习中要注意这种方法的练习 方法与技巧方法与技巧 4 平面和平面相互垂直 证明方法 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90 证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面 证明两个平面的法向量相互垂 直 2 2 求距离 求距离 求距离的重点在点到平面的距离 直线到平面的距离和两个平面的距离可 以转化成点到平面的距离 一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距 离 1 两条异面直线的距离 求法 利用公式法 2 点到平面的距离 求法 一 找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 等体积法 向量法 3 3 求角 求角 1 两条异面直线所成的角 求法 先通过其中一条直线或者两条直线的 用心 爱心 专心2 平移 找出这两条异面直线所成的角 然后通过解三角形去求得 通过两条异面直线的 方向量所成的角来求得 但是注意到异面直线所成角得范围是 2 0 向量所成的角范围 是 0 如果求出的是钝角 要注意转化成相应的锐角 又4AB 2 2BC 所以 222 ACBCAB 所以90ACB 即 BCAC 又平面ACP 平面ABC 平面ACP 平面ABC AC BC 平面ABC BC 平面ACP 所以APBC 5 分又PCBCC 所以PA 平面PBC 如图 取AC中点O 连接PO OB 并取OB中点H 连接AH EH 因为PA PC 所以PO AC 同 易证PO 平面ABC 又EHPOA 所以EH 平面ABC 则EAH 为直线AE与底面ABC所成角 且sin EH EAH AE 又 1 2 2 POAC 也所以有 12 22 EHPO 由 已证AP 平面PBC 所以APPB 即 22 2 3 3PBABAPPE 故 22 7AEPAPE 于是 2114 sin 2147 EH EAH AE 所以直线AE与底面ABC所成角的正弦值为 14 14 B C E H O P A 用心 爱心 专心3 押题 2 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是边长为2的正方形 侧面 PADABCD 底面 且 2 2 PAPDAD 若E F分别为PC BD的中点 1 求证 EF 平面PAD 2 求证 平面PDC 平面PAD 3 求四棱锥PABCD 的体积 P ABCD V 押题指数 解析 1 证明 连结 AC 则F是AC的中点 在 CPA中 EF PA 且 PA 平面 PAD EF 平 面 PAD EF 平面 PAD 2 证明 因为平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD 又 CD AD 所以 CD 平面 PAD 又 CD 平面 PDC 平面 PAD 平面 PDC 3 2 2 2 PAPDAD 222 PAPDAD 2 1 2 1 2 PAD PAPD S 又由 2 可知 CD 平面 PAD CD 2 12 1 2 33 P ADCC PAD VV 24 22 33 P ABCDP ADC VV 押题 3 如图 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 ABa 1 2AAa E为 1 CC的中点 ACBDO 证明 OE 平面 1 ABC 证明 1 AC 平面 BDE 押题指数 解析 证明 因为 1 ECEC AOOC 所以OE 1 AC 因为 1 AC 面 1 ABC OE 面 1 ABC 所以OE 面 1 ABC 6 分 连接 11 AC 因为ABa 所以 11 2ACa 所以四边形 11 ACC A为正方形所以 11 ACAC 因为OE 1 AC 所以 1 ACOE 8 分又因为BDAC 1 BDAA 1 ACAAA 用心 爱心 专心4 所以BD 面 1 AC所以BD 1 AC因为OEBDO 所以 1 AC 面BDE 12 分 押题 4 如图 三棱柱中 602ACBBCCCC BBCCCAC 面 点 D E 分别为棱 AB AC的中点 1 求证 DEBBCCA平面 2 求四棱锥 D ACEA的体积 押题指数 解析 I 证明 取BC的中点 F 连DF FC D 为 AB 的中点 E 为 A C的中点 1 2 DFAC 1 2 ECAC 所以 DF EC 得平行四边形 C EDF 所以 DEFC 又因为DE 平面 BB C C FC 平面 BB C C 所以 DE平面 BB C C II 取 CC的中点G 连 B G 则 B GCC 因为 AC 面 BB C C 所以 B G 平面 ACC A 3B G 平行四边形 BB C C中 为 的中点 所以 到 C C的距离等于 13 22 B G 即 到平面 ACC A的距离为 3 2 梯形 ACEA的面积 1 12 2 2 四棱锥 DACEA 的体积 V 133 3 322 押题 5 如图 在长方体 1111 DCBAABCD 中 点E在棱 1 CC的延长线上 且1 2 1 11 ABBCECCC 求证 1 D E 平面 1 ACB 求证 平面 11 D B E 平面 1 DCB 求四 面体ACBD 11 的 体积 押题指数 解析 证明 连 1 AD 用心 爱心 专心5 EBBCAD 111 四边形 11ED AB是平行四边形 2 分 则 11 ABED 又 1 AB平面CAB1 ED1平面CAB1 1 D E 平面 1 ACB 5 分 由已知得 22 1 2 1 4CEEBCB 则CBEB 11 6 分 由长方体的特征可知 CD平面BCEB1而 EB1平面BCEB1 则EBCD 1 9 分 EB1平面 1 DCB 又 EB1平面 11 D B E 平面 11 D B E 平面 1 DCB 10 分 四面体 D1B1AC 的体积 11 111 DCBAABCD V 111 DBAA V 1 ACBB V 111 DCBC V 1 ACDD V 3 2 421 2 1 1 3 1 2 14 分 押题 6 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 CCBC BCAB 点NM 分别是 1 CC CB1的中点 G是棱AB上的动点 求证 CB1平面BNG 若CG 平面MAB1 试确定G 点的位置 并给出证明 押题指数 解析 I 证明 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 CCBC 点N是CB1的中点 CBBN 1 BCAB 1 BBAB BBCBB 1 AB 平面 11BCC B CB1平面 11BCC B ABCB 1 即GBCB 1 又BBGBN CB1平面BNG II 当G是棱AB的中点时 CG 平面 MAB1 证明如下 连结 1 AB 取 1 AB的中点 H 连接GCHMHG 用心 爱心 专心6 则HG为BAB1 的中位线 GH 1 BB 1 2 1 BBGH 由已知条件 11BCC B为正方形 1 CC 1 BB 11 BBCC M为 1 CC的中点 1 2 1 CCCM MC GH 且GHMC 四边形HGCM为平行四边形 GC HM又 MABM HABGC 11 平面平面 CG 平面MAB1 押题 7 如图1 在边长为3的正三角形ABC中 E F P分别为AB AC BC上的点 且满足1AEFCCP 将 AEF沿EF折起到 1 AEF的位置 使平 面 1 AEF 平面EFB 连结 1 AB 1 AP 如图2 若Q为 1 AB中点 求证 PQ 平面 1 AEF 求证 1 AE EP 押题指数 解析 取 1 AE中点M 连结 QM MF 在 1 ABE中 Q M分别为 11 AB AE的中 点 所以QM BE 且 1 2 QMBE 因为 1 2 CFCP FAPB 所以PF BE 且 1 2 PFBE 所以QM PF 且QMPF 所以四边形PQMF为平行四边形 所以PQ FM 又因为FM 平面 1 AEF 且PQ 平面 1 AEF 所以PQ 平面 1 AEF 取BE中点D 连结DF 因为1AECF 1DE 所以2AFAD 而60A 即 ADF是正三 角形 又因为1AEED 所以EFAD 所以在图 2 中有 1 A EEF 9 分 用心 爱心 专心7 因为平面 1 AEF 平面EFB 平面 1 AEF 平面EFBEF 所以 1 A E 平面BEF 12 分又EP 平面BEF 所以 1 A E EP 押题 8 如图 把边长为 2 的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起 使6AC 1 求证 面ABEF 面BCDE 2 求五面体ABCDEF的体积 押题指数 解析 设原正六边形中 ACBEO DFBEO 由正六边形的几何性质可知 3OAOC ACBE DFBE 222 1 6OAOCACOAOC OABCDE OAOB OAABEF ABEFBCDE 2 由 BEAOC BEFO D 知 面AOC 面 FO D 故 AOCFO D 是侧 棱长 高 为 2 的直三棱柱 且三棱锥 BAOCEFO D 为大小相同的三棱锥 2 ABCDEFB AOCAOC FO D VVV 22 1 11 2 3 1 3 1 3 22 5 2 押题 9 如图 在四棱锥ABCDP 中 PA底面ABCD 四边形ABCD为长方形 2ADAB 点E F分别是线段PD PC的中点 证明 EF平面PAB 在线段AD上是否存在一点O 使得 BO平面PAC 若存在 请指出点O的位置 并证明 BO平面PAC 若不存在 请说明理由 押题指数 解析 CDEF ABCD ABEF 又 EF平面PAB AB平面PAB EF平面PAB 在线段AD上存在一点O 使得 BO平面PAC 此时点O为线段AD的四等分点 且ADAO 4 1 PA底 面ABCD BOPA 又 长方形ABCD中 ABO ACD BOAC 10 分又 AACPA BO平面PAC 用心 爱心 专心8 押题 10 如图 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 P 为线段 AD1上的点 且满足 1 0 D PPA 1 当1 时 求证 DP 平面 ABC1D1 2 当 变化时 三棱锥 D PBC1的体积是否为定值 若是 求出其体积 若不是 请说明理由 押题指数 解析 正方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 面 AA1D1D 又 AB ABC1D1 平面 ABC1D1 AA1D1D 平面 2 分 1 时 P 为 AD1的中点 DP AD1 4 分 又 平面 ABC1D1 平面 AA1D1D AD1 DP 平面 ABC1D1 6 分 三棱锥 D PBC1的体积恒为定值 7 分易证四边形 ABC1D1为平行四边形 AD1 BC1 又 P 为线段 AD1上的点 PBC1的面积为定值 即 S PBC1 12 2 1 22 9 分 又 CD 平面 ABC1D1 点 D 到平面 PBC1的距离为定值 即 h 2 2 10 分 三棱锥 D BPC1的体积为定值 即 VD PBC1 122 322 1 6 即无论 为何值 三棱锥 D PBC1的体积恒为定值 1 6 12 分 名校试题名校试题 1 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 底面ABC为正三角形 M N G分别是棱CC1 AB BC的中点 且CC1 2AC 求证 CN 平面 AMB1 求证 B1M 平面AMG 试题出处 山东省济南市 2012 届高三 3 月 二模 月考数学 文 试题 解析 设AB1的中点为P 连结NP MP 1 分 CM 1 2 AA1 NP 1 2 AA1 CM NP 2 分 CNPM是平行四边形 CN MP 3 分 CN 平面AMB1 MP 平面AMB1 CN 平面AMB1 4 分 CC1 平面ABC 平面CC1B1B 平面ABC AG BC AG 平面CC1B1B B1M AG 6分 CC1 平面ABC 平面A1B1C1 平面ABC CC1 AC CC1 B1C 设 AC 2a 则CC1 22a 在 Rt MCA中 AM 22 6CMACa 8分 同理 B1M 6a 9分 BB1 CC1 BB1 平面 用心 爱心 专心9 ABC BB1 AB AB1 2222 11 2 3B BABC CABa AM2 B1M2 2 1 AB B1M AM 10 分又 AG AM A B1M 平面AMG 12 分 2 如图所示 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1AB 2BC 1 5CC M为棱 1 CC上一点 若 1 3 2 C M 求异面直线 1 A M和 11 C D所成角的正切值 若 1 1C M 试证明 BM 平面 11 AB M 试题出处 2012 届上海市七校 数学试题 文科 解析 1 过点 M 做 11 MNC DA交 1 DD于 N 并连接 1 AN 则 1 AMN 是异面直线 1 A M和 11 C D所成角 由题可得 在 1 Rt AMN 中 1AB 2 1 35 2 22 AN 1 1 5 tan 2 AN AMN MN 当 1 3 2 C M 时 异面直线 1 A M和 11 C D所成角的正切值为 5 2 2 由 1 1C M 则4CM 在Rt BCM 中 222 20BMBCCM 在 11 Rt BC M 中 222 1111 5B MBCC M 222 11 25BMB MBB 1 BMB M 又 11 ABBM BM 平面 11 AB M 3 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 四边形 ABCD 为正方形 PA AB 4 G 为 PD 中点 E 点在 AB 上 平面 PEC 平面 PDC 求证 AG 平面 PCD 求证 AG 平面 PEC 求点 G 到平面 PEC 的距离 试题出处 洛阳市示范高中联考文科数学试题 测试数学 文 试题 解析 证明 CD AD CD PA CD 平面 PAD CD AG 又 PD AG AG 平面 PCD 4 分 证明 作 EF PC 于 F 因面 PEC 面 PCD EF 平面 PCD 又由 知 AG 平 面 PCD EF AG 又 AG 面 PEC EF 面 PEC AG 平面 PEC 7 分 用心 爱心 专心10 由 AG 平面 PEC 知 A G 两点到平面 PEC 的距离相等 由 知A E F G四点共面 又AE CD AE 平面 PCD AE GF 四边形AEFG为平行四边形 AE GF PA AB 4 G为PD中点 FG 1 2 CD FG 2 AE FG 2 9 分 1 116 2 4 4 3 23 P AEC V 又 EF PC EF AG2 2 11 4 3 2 24 6 22 EPC SPC EF A 又 P AECA PEC VV 116 33 EPC Sh A 即4 616h 2 6 3 h G 点到平面 PEC 的距离为 2 6 3 12 分 4 如图 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形 AB 2 2BC 且侧面 PAB 是正三角形 平面PAB 平面 ABCD E 是棱 PA 的中点 1 求证 PC 平面 EBD 2 求三棱锥 P EBD 的体积 试题出处 河北省 2012 年普通高中高考模拟考试 数学文 解析 I 证明 在矩形 ABCD 中 连结 AC 设 AC BD 交点为 O 则 O 是 AC 中点 又 E 是 PA 中点 所以 EO 是 PAC 的中位线 所以 PC EO 3 分 又 EO 平面 EBD PC 平面 EBD 所以 PC 平面 EBD 6 分 II 取 AB 中点 H 则由 PA PB 得 PH AB 又平面 PAB 平面 ABCD 且平面 PAB 平面 ABCD AB 所以 PH 平面 ABCD 8 分 取 AH 中点 F 由 E 是 PA 中点 得 EF PH 所以 EF 平面 ABCD 11 33 P EBDP ABDE ABDABDABD VVVSPHSEF 由 题意可求得 ABD S 2 PH 3 EF 3 2 10 分则 1136 232 3326 P EBD V 12 分 5 如图 在直三棱柱 111 ABCABC中 ACBC 且 1 2 ACBCCC M是 1 AB 1 AB的交点 N是 11 BC的中点 用心 爱心 专心11 求证 MN 平面 ACC1A1 求三棱锥 N A1BC 的体积 试题出处 陕西省咸阳市 2012 届高三下学期高考模拟考试试题 二 数学文 解析 如图 连结 1 AC 易知 11 AB BA是平行四边形 M是 1 AB与 1 AB的交点 M 是 1 AB的中点 又N是 11 BC的中点 1 MN AC 又 11 MNACC A 11 AMN ACC平面 6 分 11 11111 11 11 14 2 2 2 33 23 23 NA BCANBCNBC VVSACBC CCAC 12 分 6 已知三棱锥PABC 的底面ABC是直角三角形 且90ACB PA 平面ABC 1PAACBC D是线段PC的中点 如图所示 证明 AD 平面PBC 求三棱锥PABD 的体积 试题出处 陕西省西安市八校 2012 届高三年级数学 文科 试题 解析 因为PAAC D是线段PC的中点 所以 ADPC 1 因为BCAC BCPA 所以BC 平面 PAC 可得BCAD 2 由 1 2 得AD 平面PBC 6 分 因为点D是线段PC的中点 所以点D到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的 距离的一半 因此 1 2 P ABDD PABC PAB VVV 9 分 而 C PABP ABC VV 又 1 3 P ABCABC VSPA 且 11 22 ABC SACBC 1PA 所以 1 6 P ABC V 即得 1 12 P ABD V 即三棱锥PABD 的体积为 1 12 7 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PC 底面 ABCD ABCD 是直角梯形 AB AD AB CD AB 2AD 2CD 2 E 是 PB 的中点 I 求证 平面 EAC 平面 PBC II 若 PC 2 求三 棱锥 C ABE 高的大小 A B C 1 A 1 C N 1 B M 用心 爱心 专心12 8 如图所示 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别为 1 DD DB的中 点 求证 EF 平面 11 ABC D 求证 1 EFBC 求三棱锥 EFCB V 1 的体积 试题出处 2012 年 3 月北京市东城区示范校联考 高三数学文科试题 解析 连结 1 BD 在BDD1 中 E F分别为 1 D D DB的中点 则 1 11111 11 EFD B D BABC DEFABC D EFABC D 平面平面 平面 1 11 111 1 BCAB BCBC AB BCABC D ABBCB 平面 111 111 BCABC D BDABC D 平面 平面 11 1 BCBD EFBD 1 EFBC 11 CFBDD B 平面 1 CFEFB 平面 10 分 用心 爱心 专心13 且 2CFBF 1 1 3 2 EFBD 2222 11 2 26B FBFBB 2222 1111 1 2 2 3B EB DD E 222 11 EFB FB E 即 1 90EFB 12 分 111 1 3 BEFCC B EFB EF VVSCF 1 11 32 EF B F CF 11 3621 32 14 分 9 如图 平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直 1AB 2AD 60ADC 3 2 AF 求证 ACBF 求多面体ABCDEF的体积 试题出处 安徽省马鞍山市 2012 届高三 4 月第二次教学质量检 测 数学文 解析 1AB 2AD 60ADC 由余弦定理 222 2cos60ACCDADCD AD 1 142 1 23 2 于是 222 ADCDAC 90ACD ABCD ACAB 2 分 又 四边形ACEF是矩形 所以FAAC 于是 ACAF ACAB AFABA 6 ACAFB ACBF BFAFB 平面 分 又平面 令多面体ABCDEF的体积为V 2 DACEFBACEFDACEF VVVV 8 分 又 平面ABCD 平面ACEF DCAC 根据两平面垂直的性质定理 DCAFEC 平面 所以DC为四棱锥DAFEC 的高 10 分 33 3 3 22 AFEC S 矩形 所以 13 33 1 322 DAFEC V 23 DAFEC VV 即多面体ABCDEF的体积为3 12 分 10 如图所示 圆柱的高为2 底面半径为7 AE DF是圆柱的 两条母线 过AD作圆柱的截面交下底面于BC 1 求证 BCEF 2 若四边形ABCD是正方形 求证BCBE 3 在 2 的 条件下 求四棱锥ABCE 的体积 试题出处 2012 届高三惠州三模数学文科试题 解析 1 由圆柱的性质知 ADBCFEA平面又过AD作 圆柱的截面交下底面于BC ADBC A又 AE DF 是圆柱的两条母线 用心 爱心 专心14 AEDFAE DF A且 ADFE 四边形是平行四边形ADEF A BCEF 2 四边形 ABCD 是正方形 BCAB 又AEBC BCABE 平面 BCBE 3 设正方形 ABCD 的边长为 x 则在 22 4Rt AEBx 中有 BE 在 22 28Rt FEBx 中有 BE4x 118 3 2 34 4 323 四棱锥A BC E的体积V 11 如图 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 上平面 ABCD AB DC PAD 是等边三角形 已知 BD 2AD 8 AB 2DC 4 5 I 设 M 是 PC 上的一点 证明 平面 MBD 平面 PAD 求三棱锥 C PAB 的体积 试题出处 河南省 2012 年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题 文 解析 在ABD 中 由于4AD 8BD 4 5AB 所以 222 ADBDAB 故ADBD 2 分 又平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCDAD BD 平面ABCD 所以 BD 平面PAD 4 分 又BD 平面MBD 故平面MBD 平面PAD 6 分 过P作POAD 交AD于O 由于平面PAD 平面ABCD所以PO 平面ABCD 因此PO为棱锥P ABC的高 8 分 又PAD 是边长为 4 的等边三角形 因此 3 42 3 2 PO 又 1 16 2 ABCABD SSAD BD VV 棱锥棱锥C PABP ABC 132 3 16 2 3 33 12 分 12 如图 矩形ABCD中 3AB 4 BC E F分别在线段BC和AD上 EF AB 将矩形ABEF沿EF折起 记折起后的矩形为MNEF 且平面 MNEF平 面ECDF 求证 NC 平面MFD 若3EC 求证 FCND 求四面体NFEC体积的最大值 A B C D E F 用心 爱心 专心15 试题出处 2012 年北京市西城区高三一模文科数学 解析 证明 因为四边形MNEF EFDC都是矩形 所以 MN EF CD MNEFCD 所以 四边形MNCD是平行四边形 2 分 所以 NC MD 3 分 因为 NC 平面MFD 所以 NC 平面MFD 4 分 证明 连接ED 设EDFCO 因为平面 MNEF平面ECDF 且EFNE 所以 NE平面ECDF 5 分所 以 FCNE 6 分 又 ECCD 所以四边形ECDF为正方形 所以 FCED 7 分 所以 FC平面NED 8 分 所以 FCND 9 分 解 设xNE 则xEC 4 其中04x 由 得 NE平面FEC 所以四面体NFEC的体积为 11 4 32 NFECEFC VSNExx 11 分 所以 2 1 4 2 22 NFEC xx V 13 分当且仅当xx 4 即2 x时 四面体 NFEC的体积最大 13 已知菱形ABCD中 AB 4 60BAD 如图 1 所示 将菱形ABCD沿对角线 BD翻折 使点C翻折到点 1 C的位置 如图 2 所示 点E F M分别是AB DC1 BC1的 中点 证明 BD 平面EMF 证明 1 ACBD 当EFAB 时 求线段AC1 的长 试题出处 2012 年北京市海淀区高三一模文科数学 解析 因为点 F M分别是 11 C D C B的中点 所以 FMBD 2 分 又FM 平面EMF BD 平面EMF 所以 BD平面EMF 4 分 在菱形ABCD中 设O为 AC BD的交点 则ACBD 5 分 所以 在三棱锥 1 CABD 中 1 C OBD AOBD 又 1 COAOO 所以 BD 平 A B C D 图 1 M F E A B C1 D 图 2 用心 爱心 专心16 面 1 AOC 7 分又 1 AC 平面 1 AOC 所以 BD 1 AC 9 分 连结 1 DE C E 在菱形ABCD中 60DAABBAD 所以 ABD 是等边三角形 所以 DADB 10 分 因为 E为AB中点 所以 DEAB 又 EFAB EFDEE 所以 AB 平面DEF 即AB 平面 1 DEC 12 分 又 1 C E 平面 1 DEC 所以 AB 1 C E 因为 4AEEB AB 1 BCAB 所以 11 4ACBC 14 分 14 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD是菱形 PA PD BAD 60 E是AD的中点 点Q在侧棱PC上 求证 AD 平面PBE 若Q是PC的中点 求证 PA 平面BDQ 若VP BCDE 2VQ ABCD 试求 CP CQ 的值 试题出处 2012 年北京市丰台区高三一模文科数学 解析 因为 E是AD的中点 PA PD 所以 AD PE 1 分 因为 底面ABCD是菱形 BAD 60 所以 AB BD 又因为E是AD的中点 所以 AD BE 2 分因为 PE BE E 3 分 所以 AD 平面PBE 4 分 连接AC交BD于点O 连结OQ 5 分 因为O是AC中点 Q是PC的中点 所以OQ为 PAC中位 线 所以OQ PA 7 分因为PA 平面BDQ OQ 平面 BDQ 8 分所以PA 平面BDQ 9 分 设四棱锥P BCDE Q ABCD的高分别为 1 h 2 h所以VP BCDE 1 3 SBCDE 1 h VQ ABCD 1 3 SABCD 2 h 10 分 M F E A B C1 D 用心 爱心 专心17 因为VP BCDE 2VQ ABCD 且底面积SBCDE 3 4 SABCD 12 分 所以 1 2 8 3 h h 13 分因为 1 2 hCP hCQ 所以 8 3 CP CQ 14 分 15 如图所示 在正方体 1111 ABCDABC D 中 E是 棱 1 DD的中点 证明 平面 11 ADC B 平面 1 ABE 在棱 11D C上是否存在一点F 使FB1 平面 BEA1 证明你的结论 试题出处 2012 年 3 月北京市东城区示范校联考高 三数学文科试题 解析 证明 因为多面体 1111 DCBAABCD 为正方体 所以 1111 BCA 面ABB 因为 111 ABA 面ABB 所以 111 BCA B 2 分 又因为 11 AAB B 1111 BCABB 所以 111 DCAAB B面 4 分 因为 11 AA B面BE 所以平面 11 ADC B 平面 1 ABE 6 分 当点 F 为 11D C中点时 可使FB1 平面BEA1 7 分 以下证明之 易知 EF 1 1 2 C D 且EF 1 1 2 C D 9 分设 11 ABABO 则 1 BO 1 1 2 C D且 1 BO 1 1 2 C D所以EF 1 BO且EF 1 BO 所以四边形 1 BOEF为平行四 边形 所以 1 B F OE 11 分 又因为 11 B FABE 面 1 OEABE 面 所以 FB1 平面BEA1 用心 爱心 专心18 16 如图 已知三棱柱 111 CBAABC 的各棱长均为 2 P是BC的中点 侧面 11A ACC底面ABC 且侧 棱 1 AA 与底面ABC所成的角为 60 证明 直线CA1 平面PAB1 求直线 1 AB与平面 11A ACC所成角的正弦值 试题出处 浙江省嘉兴市 2012 届高三第二次教学 检测 文数 解析 连接A1B交AB1于Q 则Q为A1B中点 连结PQ P是BC的中点 PQ A1C 4分 PQ 平面 AB1P A1C 平面AB1P A1C 平面AB1P 6 分 取 11C A中点M 连MB1 AM 则 111 CAMB 平面 11A ACC平面ABC 平面 11A ACC平面 111 CBA MB1平面 11A ACC AMB1 为直线 1 AB与平面 11A ACC所成的角 9 分 在正 111 CBA 中 边长为 2 M是 11C A中点 3 1 MB 10 分 面 1