等差数列常考题型归纳总结很全面

快乐每一天 收获多一点 第 1 页 共 7 页 等差数列及其前等差数列及其前项和项和n 教学目标 教学目标 1 熟练掌握等差数列定义 通项公式 中项 前项和 性质 n 2 能熟练的使用公式求等差数列的基本量 证明数列是等差数列 解决与等差数列有关 的简单问题 知识回顾 知识回顾 1 定义 定义 一般地 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这2 个数列就叫等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母表示 用递推d 公式表示为或 证明数列是等差数列的关键 2 1 ndaa nn 1 1 ndaa nn 2 通项公式 通项公式 等差数列的通项为 当时 是关于的一次式 它的图象是dnaan 1 1 0 d n an 一条直线上自然数的点的集合 推广 dmnaa mn 3 中项 中项 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 其中 aAbAab 2 ab A 4 等差数列的前等差数列的前 n 项和公式项和公式 可以整理成 Sn n2 当 d 0 时是的一个常 1 1 1 22 n n n aan n Snad 2 d n d a 2 1 n 数项为 0 的二次函数 5 等差数列项的性质等差数列项的性质 1 在等差数列中 若 且 则 特 n amnpqN mnpq mnpq aaaa 别的 若 且 则 mpqN qpm 2 qpm aaa 2 2 已知数列为等差数列 为其前 n 项和 则 nn ba nn TS 12 12 n n n n T S b a 3 若等差数列的前 n 项和为 则也成等差数列 公差 n S 232nnnnn SSSSS dnd 2 4 2 n 1 n 1 1 nn n SS S a 快乐每一天 收获多一点 第 2 页 共 7 页 5 若数列 是公差为 d 的等差数列 则数列也是等差数列 且公差为 n a Sn n 考点分析考点分析 考点一 等差数列基本量计算考点一 等差数列基本量计算 例 1 等差数列中 则的值为 n a 1815 3120aaa 911 3aa 练习 1 设是等差数列的前 n 项和 已知 3 11 则等于 n S n a 2 a 6 a 7 S A 13 B 35 C 49 D 63 2 数列为等差数列 且 则公差 d n a 74 21aa 0 3 a A 2 B C D 2 1 2 1 2 3 在等差数列中 已知 则该数列的前 5 项之和为 n a 3 2a A 10 B 16 C 20 D 32 4 若等差数列 an 的前 5 项和S5 25 且a2 3 则a7等于 A 12 B 13 C 14 D 15 5 记等差数列 an 的前n项和为Sn 若a1 S4 20 则S6等于 1 2 A 16 B 24 C 36 D 48 6 的前n项和为 若 则等于 n a n S2 1 a12 3 S 6 a A 8 B 10 C 12 D 14 考点二 等差数列性质应用考点二 等差数列性质应用 例 1 等差数列中 则该数列前 13 项的和是 n a24 2 3 1310753 aaaaa A 13 B 26 C 52 D 156 练习 1 在等差数列 n a中 19 10aa 则 5 a的值为 A 5 B 6 C 8 D 64 快乐每一天 收获多一点 第 3 页 共 7 页 2 在等差数列 n a 中 135 2 10aaa 则 7 a A 5 B 8 C 10 D 14 3 设数列 an 是等差数列 若a3 a4 a5 12 则a1 a2 a7等于 A 14 B 21 C 28 D 35 例 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9等于 A 63 B 45 C 36 D 27 练习 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且S10 10 S20 30 则S30 例 3 已知Sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 2 014 6 则S2 S2 014 2 014 S2 008 2 008 016 练习 1 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且满足 1 则数列 an 的公差是 S3 3 S2 2 A B 1 C 2 D 3 1 2 例 4 设分别是等差数列 的前n项和 3 27 n n T S n n 则 5 5 b a nn TS n a n b 例 5 已知等差数列的公差为 2 项数是偶数 所有奇数项之和为 15 所有偶数项之 n a 和为 25 则这个数列的项数为 练习 1 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和为 390 则这个数列有 A 13 项 B 12 项 C 11 项 D 10 项 2 等差数列的公差 那么 n a2d 14797 50aaaa 36999 aaaa A 78 B 82 C 148 D 182 考点三 等差数列的证明考点三 等差数列的证明 例 1 在数列中 其中 n a 1 1a 1 1 1 4 n n a a 2 21 n n b a nN 1 求证 数列是等差数列 n b 2 求证 在数列中对于任意的 都有 n a nN 1nn aa 快乐每一天 收获多一点 第 4 页 共 7 页 练习 1 数列满足 n a2221 1221 nnn aaaaa 1 设 证明是等差数列 nnn aab 1 n b 2 求数列的通项公式 n a 2 已知数列 an 中 a1 an 2 n 2 n N N 数列 bn 满足 3 5 1 an 1 bn n N N 求证 数列 bn 是等差数列 1 an 1 3 数列满足 求证 是等差数列 n a2 1 a Nn a a a n n n 2 2 1 n a 1 小结与拓展 小结与拓展 1 定义法 daa nn 1 Nn d是常数 是等差数列 n a 快乐每一天 收获多一点 第 5 页 共 7 页 2 中项法 21 2 nnn aaa Nn 是等差数列 n a 3 通项公式法 bknan bk 是常数 是等差数列 n a 4 前项和法 Sn bk 是常数 是等差数列n 2 knbn n a 考点四 等差数列考点四 等差数列前前项和的最值项和的最值n 1 时 有最大值 时 有最小值 1 0a 0d n S 1 0a 0d n S 2 最值的求法 若已知 可用二次函数最值的求法 找到正负 n S n SnN 项分界的是第几项 例 1 数列中 当数列的前n项和 n S取得最大值时 n n a492 nan n a 练习 1 设等差数列的前n项和为 若 则当取最小值时 n a n S 1 11a 46 6aa n S n等于 A 6 B 7 C 8 D 9 2 若等差数列满足 则当 时的前项和 n a 789 0aaa 89 0aa n n an 最大 例 2 在等差数列中 公差为d 前n项和为 当且仅当n 8 时 取 n a7 1 a n S n S 得最大值 则d的取值范围为 例 3 等差数列中 前项和为 且仅当 则当 时 取最 n a0 1 an n S 125 SS n n S 大值 练习 1 设数列 n a是等差数列 且 2 8a 15 5a n S是数列 n a的前n项和 则 A 1011 SS B 1011 SS C 910 SS D 910 SS 2 设是等差数列 Sn是其前 n 项的和 且则下列结论 Nnan 87665 SSSSS 错误的是 A B C D S6与 S7均为 Sn的最大值0 d0 7 a 59 SS 考点五 等差数列考点五 等差数列和项转换和项转换 2 1 1 1 nSS na a nn n 快乐每一天 收获多一点 第 6 页 共 7 页 例 1 已知数列的前项和为 求 n annnSn 2 1 2 n a 练习 1 已知数列的前项和为 求 n an2 2 nSn n a 2 设数列的前 n 项和 则的值为 n a 2 n Sn 8 a A 15 B 16 C 49 D 64 习题习题 15 215 2 1 在等差数列中 n a 1 已知 n anda求 10 3 2 1 2 已知 ndaa n 求 2 21 3 1 3 已知 daa求 27 12 61 4 已知 17 8 3 1 aad求 2 在等差数列 中 n a 1 已知 求和 812 48 168SS 1 ad 2 已知 求和 65 10 5aS 8 a 8 S 3 求 d 及 n 599 54 20 1 nn Saa 快乐每一天 收获多一点 第 7 页 共 7 页 4 nn aaSnd及求 1 629 37 3 1 5 nn anSda及求 5 6 1 6 5 1 6 nn Saand及求 1 10 15 2 3 等差数列的前项和记为 已知 n an n S 1020 30 50aa 1 求通项公式 n a 2 若 求 242 n S n 4 设 n S为等差数列 n a的前n项和 若 36 324SS 则 9 a 5 等差数列的前项和 若 则 n an n S 13 2 12aS 6 a A 8 B 10 C 12 D 14 6 已知道