2012高考数学 考前冲刺第四部分专题四 数列

用心 爱心 专心1 20122012 考前冲刺数学第四部分专题四考前冲刺数学第四部分专题四 数列数列 1 已知正项数列的前项和为 n an 2 1 1 aSn 当时 点在直线上 数列满足 2Nnn 且 1nn SS 2 1 2 xy n b 2 1 log Nnab nn 1 求数列的通项公式 n a n a 2 设数列的前 n 项和为 求 n n a b n T n T 23 2 2 2 3 2 1 1 0 2 1 1 nn n nn T 10 分 122 2 2 2 3 2 1 2 0 1 1 2 1 nn n nn T 由 得 12122 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 nnnn n nn T 12 分 2 2 2 2 1 n n n n n T 2 数列的前项和为 若且 n an n S 1 2a 1 2 nn SSn 2n n N I 求 n S II 是否存在等比数列满足 若存在 则求出数列 n b 112339 bababa 的通项公式 若不存在 则说明理由 n b 用心 爱心 专心2 解析 I 因为 所以有对 成立 2 分 1 2 nn SSn 1 2 nn SSn 2n Nn 即对成立 又 所以对成立 3 分 2 n an 2n 11 2 1aS 2 n an Nn 3 2012 2012 年合肥一中模拟年合肥一中模拟 若数列的通项公式是 则 n a n an g aaa L A 15 B 12 C D 答案 A 解析 法一 分别求出前 10 项相加即可得出结论 法二 故 故选 A 1234910 3aaaaaa aaa L 4 20122012 年南昌一中模拟年南昌一中模拟 设 为等差数列 公差 d 2 为其前 n 项和 若 n a n S 则 1011 SS 1 a A 18 B 20 C 22 D 24 答案 B 解析 20 10 0 1111 111110 adaa aSS 5 2012 2012 年年 4 4 月沈阳月沈阳 大连第二次联考模拟考试大连第二次联考模拟考试 设等差数列 n a的前n项和为 n S 用心 爱心 专心3 若 2 a 4 a是方程02 2 xx的两个实数根 则 5 S的值是 A 2 5 B 5 C 2 5 D 5 答案 A 7 山山东东实实验验中中学学2 20 01 12 2 届届高高三三第第一一次次诊诊断断性性考考试试 已知 an 为等差数列 其公差 为 2 且 a7是 a3与 a9的等比中项 Sn为 an 的前 n 项和 n N 则 S10的值为 A 110 B 90 C 90 D 110 答案 D 9 北京市西城区北京市西城区 20122012 年年 1 1 月高三期末考试月高三期末考试 已知是公比为的等比数列 若 n a2 则 31 6aa 1 a 222 12 111 n aaa 用心 爱心 专心4 答案 11 21 34n 解析 1 311111 222 12 11 6 46 2 22 2 11 1 11111 44 1 1 34 1 4 nnn n n n n n aaaaaaa a aaa 10 福建省泉州市福建省泉州市 20122012 年年 3 3 月普通高中毕业班质量检查 月普通高中毕业班质量检查 已知等差数列中 n a 则 5 1a 32 2aa 11 S 12 浙江省镇海中学浙江省镇海中学 20122012 届高三测试卷届高三测试卷 设Sn是正项数列 an 的前n项和 且和满 n a n S 足 则Sn 2 4 1 1 2 3 nn San 答案 2 n 解析 由题意知 当时 易得 2 1 22 n n a S 1n 1 1a 22 1 1 11 2222 nn nnn aa aSS 22 1111 1 2222422 nnnnnnnn aaaaaaaa 整理得 所以 所以 22 11 24 nnnn aaaa 1 2 nn aa 21 n an 2 n Sn 用心 爱心 专心5 13 东北四校 东北四校 20122012 届高届高 三第一次高考模拟考试 三第一次高考模拟考试 本小 题满分 12 分 已知为等比数列 为等差数列的前 n 项和 n a 14 1 27 n aaS n b 15 3 35 bS 1 求的通项公式 nn ab和 2 设 求 1 122nnn Taba ba b n T 14 已知是首项为 19 公差为 2 的等差数列 为的前项和 求通项 n a n S n an 及 设是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列的通项公式 n a n S nn ba n b 及其前项和 n n T 解析 因为是首项为 公差为的等差数列 所以 n a 1 19a 2d 192 1 21 2 n ann n S 2 1 19 2 20 2 n n nnn 由题意得所以 1 3n nn ba 1 3n nn ba 则 011011 12 333333 nn nnn TaaaS 22 1 331 2020 1 32 nn nnnn 15 记等差数列的前项和为 设 且成等比数列 求 n an n S 3 12S 123 2 1a a a n S 用心 爱心 专心6 解析解析 设设数列的公差为 依题设有即 n ad 2 132 123 2 1 12 a aa aaa 222 1112 1 22 4 aa ddaa ad 解得解得或故或 1 1 4ad 1 8 4ad 1 31 2 n Snn 2 5 n Snn 16 设等差数列满足 求的通项公式 求 n a 3 5a 10 9a n a 的前项和及使得最大的序号的值 n an n S n Sn 即 3 所以的前项和公式为q n bn 1 1 4 1 3 1 n n n bq S q 18 已知等差数列满足 的前 n 项和为 求 n a 3 7a 57 26aa n a n S n a 及 令 求数列的前 n 项和 n S 2 1 1 n n b a nN n b n T 解析 设等差数列的公差为 d 因为 所以有 n a 3 7a 57 26aa 1 1 27 21026 ad ad 用心 爱心 专心7 解得 所以 1 3 2ad 321 2n 1 n an n S n n 1 3n 2 2 2 n 2n 由 知 所以2n 1 n a bn 2 1 1 n a 2 1 2n 1 1 11 4 n n 1 111 4n n 1 所以 即数列的前n项和 n T 111111 1 4223n n 1 11 1 4n 1 n 4 n 1 n b n T n 4 n 1 19 数列 中 前 n 项和满足 n I 求数列 n aa 1 3 n S 1n S n S 1 1 3 n N 的通项公式以及前 n 项和 II 若 S1 t S1 S2 3 S2 S3 成等差数列 n a n a n S 求实数 t 的值 本小题主要考查数列 等差数列 等比数列等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与 方程思想 化归与转化思想 满分 12 分 解 1 设 an 的公差为d由已知得解得a1 3 d 1 故an 3 n 1 1 1 336 8284 ad ad 1 4 n5 分 2 由 1 的解答得 bn n qn 1 于是 用心 爱心 专心8 Sn 1 q0 2 q1 3 q2 n 1 qn 1 n qn 若q 1 将上式两边同乘以q 得 qSn 1 q1 2 q2 3 q3 n 1 qn n qn 1 将上面两式相减得到 q 1 Sn nqn 1 q q2 qn 1 w nqn 1 1 n q q 于是Sn 若q 1 则Sn 1 2 3 n 1 2 1 1 1 nn nqnq q 1 2 n n 所以 Sn 12 分 1 2 1 1 1 1 1 1 2 nn nqnq q q n n q 21 正实数数列中 且成等差数列 1 证明数列中有无穷多 n a 12 1 5aa 2 n a n a 项为无理数 2 当为何值时 为整数 并求出使的所有整数项的和 n n a200 n a 2 要使为整数 由可知 同为偶数 且其中 n a 1 1 24 1 nn aan 1 1 nn aa 一个必为 3 的倍数 所以有或当时 有16 n am 16 n am 61 n am 又必为偶数 所以 22 361211 12 31 n ammmm mN 31 mm 用心 爱心 专心9 满足即61 n am mN 2 124 1 n an 31 1 2 mm n 时 为整数 同理有mN n a 61 n ammN 22 361211 12 31 n ammmm mN 也满足 即 时 为整数 显然 2 124 1 n an 31 1 2 mm n mN n a 和 是数列中的不同项 所以当 61 n ammN 61 n am mN 和 时 为整数 由 31 1 2 mm n mN 31 1 2 mm n mN n a 有 由 有61200 n am mN 033m 61200 n am mN 设中满足的所有整数项的和为 则133m n a200 n a S 5 11197 17199 S 5 1971 199 33346733 22 22 知数列满足 数列满 n a 1 1 2 a 1 1 3 12 1 11 nn nn aa aa 0 1 a a n n n b 足 n 1 求数列 的通项公式 证明 数列中 n b 2 1n a 2 n a n a n b n b 的任意三项不可能成等差数列 成立 2 srt bbb 用心 爱心 专心10 两边同乘 化简得 111 121212 2 434343 srt AAA 11 32 tt A 2 2323 s rt st rt r A 由于 所以上式左边为偶数 右边为奇数 故上式不能成立 导致矛盾 rst 故数列中的任意三项不可能成等差数列 n b 11 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数 an 的前 n 项和为 满足 n s 15 0 若 S5 5 求及 a1 求 d 的取值范围 65 ss 6 s 解析 解 由题意知 3 8 所以 解得 a1 7 6 s 5 15 S 6 a 56 ss 85 5105 1 1 da da 所以 3 a1 7 6 s 解 因为 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 65 ss 即 2a12 9da1 10d2 1 0 故 4a1 9d 2 d2 8 所以 d2 8 故 d 的取值范围为 d 2或 d 22 2 23 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前n项和Sn 解 由题设知公 差d 0 由a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d 解得d 1 d 0 舍去 故 an 的通项an 1 n 1 1 n 由 知 2n 由等比数列前 n 项和公式得 Sm 2 22 23 2n 2n 1 2 2 m a 2 1 2 1 2 n 24 已知数列的前项和为 且 1 证明 是 n an n S585 nn Sna nN 1 n a 等比数列 2 求数列的通项公式 并求出使得成立的最小正整数 n S 1nn SS n 用心 爱心 专心11 其公差为 2k 证明成等比数列 求数列的通项公式 记 456 a a a n a 证明 222 23 23 n n n T aaa A A A n 3 2nT2 n 2 2 III 证明 由 II 可知 以下分两种情况进行讨论 21 21 k ak k 2 2 2 k ak 1 当 n 为偶数时 设 n 2m若 则 mN 1m 2 2 22 n k k k n a 用心 爱心 专心12 若 则2m 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk 1131 22112 22 mmn mn 所以 从而 2 2 31 2 2 n k k k n an 2 2 3 22 4 6 8 2 n k k k nn a 2 当 n 为奇数时 设 21 nmmN 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 所以 从而 1131 42 22121 mn mn 2 2 31 2 21 n k k k n an 2 2 3 22 2 n k k k n a 综合 1 和 2 可知 对任意有 3 5 7 n 2 nnN 3 22 2 n nT 25 证明以下命题 1 对任一正整数 都存在正整数 使得成a b c bc 222 a b c 等差数列 2 存在无穷多个互不相似的三角形 其边长为正整数且 n nnn a b c 成等差数列 222 nnn abc 证明 1 易知成等差数列 故也成等差数列 所以对任一正整 222 1 5 7 222 5 7 aaa 数 用心 爱心 专心13 易验证满足 因此成等差数列 当时 有且 nnn abc 222 nnn abc4n nnn abc 因此为边可以构成三角形 2 410 nnn abcnn nnn a b c 其次 任取正整数 假若三角形与相似 则有 m n 4 m nmn 且 m n 据比例性质有 222 222 21121 21121 mmmmm nnnnn 2222 2222 121 21 1 1 121 21 1 1 mmmmmmm nnnnnnn 2222 2222 121 21 1 1 121 21 1 1 mmmmmmm nnnnnnn 所以 由此可得 与假设矛盾 即任两个三角形与 11 11 mm nn mn mn m n 互不相似 所以存在无穷多个互不相似的三角形 其边长为 4 m nmn n nnn a b c 正整数且成等差数列 222 nnn abc 20 设数列 n a的首项 1 5 4 a 且 4 1 2 1 1 为为为 为为为 na na a n n n 记 用心 爱心 专心14 3 2 1 4 1 12 nab nn 求数列 n b的通项公式 若设数列 n c的前n项和为 nnn S cnb 求 n S 20 已知数列 n a满足 1 NnaS nn 其中 n S为数列 n a的前n项和 试求 n a的通项公式 若数列 n b满足 Nn a n b n n 试求 n b的前n项和公式 n T III 设 1 11 11 n nn c aa 数列 n c的前n项和为 n P 求证 2 1 2 nPn 用心 爱心 专心15 整理得 1 22 1 NnnT n n 8 分 III 12 1 12 1 2 12 1 1 12 1 1 12 2 12 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 nnnn n n n n nn nn n aa c 又 1 1 12121 1 1 2 1 2 1 12 1 122 2 122 22 12 12 12 12 12 1 12 1 n n n nn n nn n nn nn nn 12 分 1 2 14322 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 NnnnnnP n n nn 18 设函数 2 f xxa